齐次方程的分离变量法.ppt

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1、第八章第八章 分离变数分离变数(傅里叶级数傅里叶级数)法法 分离变数法分离变数法是定解问题的一种基本解法，适用于大量的是定解问题的一种基本解法，适用于大量的第一节、齐次方程的分离变数法第一节、齐次方程的分离变数法（一）分离变数法介绍（一）分离变数法介绍（一）分离变数法介绍（一）分离变数法介绍研究两端固定的均匀弦的自由振动，即：研究两端固定的均匀弦的自由振动，即：边界边界初始初始征值征值问题，本章限于本征函数是三角函数的情况。问题，本章限于本征函数是三角函数的情况。个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件，构成个常微分方程，其中有的常微分方程带有附加条件，构成本本各种各样的定解问题，其基本思

2、想是把偏微分方程各种各样的定解问题，其基本思想是把偏微分方程分解分解成几成几1这里弦是有限长的，即有两个端点，波在端点时间来回反射这里弦是有限长的，即有两个端点，波在端点时间来回反射同频率的反向波形成同频率的反向波形成驻波驻波在驻波中，有的点振幅最大，叫做波腹，还有些最小，叫做波节在驻波中，有的点振幅最大，叫做波腹，还有些最小，叫做波节驻波没有波形传播，即各振动项位点不依次滞后，他们按统一方驻波没有波形传播，即各振动项位点不依次滞后，他们按统一方此时，驻波的一般表达式具有分离变数的形式！此时，驻波的一般表达式具有分离变数的形式！把上式代入振动方程和边界条件可得：把上式代入振动方程和边界条件可得

3、：（与（与t无关）无关）式随时间式随时间t振动，可以表示成振动，可以表示成T（t）但各点振幅随地点而异，即是）但各点振幅随地点而异，即是x的函数的函数X（x），则驻波的一般表达式为：），则驻波的一般表达式为：2对于方程对于方程同除同除则可得则可得左边是时间左边是时间t的函数，与坐标的函数，与坐标x无关，右边是坐标无关，右边是坐标x的函数，与的函数，与就把原方程分为两个常微分方程，即：就把原方程分为两个常微分方程，即：我们先来求解我们先来求解X，根据，根据的不同来考察的不同来考察（1）时间时间t无关，显然不等，除非等于无关，显然不等，除非等于常数常数，记常数为，记常数为3方程的解是方程的解是积分

4、常数由初始条件确定：积分常数由初始条件确定：由此可得由此可得即即驻波驻波没有意义，故排除！没有意义，故排除！（2）此时方程的解是：此时方程的解是：积分常数由初始条件确定：积分常数由初始条件确定：由此可得由此可得即即没有意义，故排除！没有意义，故排除！4（2）此时方程解为：此时方程解为：积分常数由初始条件来确定积分常数由初始条件来确定此时如果此时如果仍然可得仍然可得从而从而应该予以排除！应该予以排除！只剩下一种可能：只剩下一种可能：则则即：即：而此时而此时C2为任意常数为任意常数注：注：上式正是傅里叶正弦级数的基本函数族！上式正是傅里叶正弦级数的基本函数族！5由以上过程可知道，分离变数过程中所引

5、入的常数由以上过程可知道，分离变数过程中所引入的常数不能不能为负数或者零，也不是任意的正数，必须取特定的数值，才能为负数或者零，也不是任意的正数，必须取特定的数值，才能使原方程有有意义的解。常数使原方程有有意义的解。常数 的这种特殊数值叫做的这种特殊数值叫做本征值本征值，而此时而此时T的方程应该写成：的方程应该写成：此方程的解为：此方程的解为：其中，其中，A，B为积分常数为积分常数把把X（x）和）和T（t）代入原方程就可得分离变数形式的解：）代入原方程就可得分离变数形式的解：相应的解叫做相应的解叫做本征函数本征函数，即构成，即构成本征值问题本征值问题。6这就是两端固定弦上的可能的驻波，每个自然

6、数这就是两端固定弦上的可能的驻波，每个自然数n对应一个对应一个在在共计共计n1个点上，个点上，则则U（x,t）=0,这些点是驻波的节点这些点是驻波的节点相邻节点间隔相邻节点间隔l/n为半波长，故为半波长，故波长波长应为：应为：2l/n本征振动的角频率为本征振动的角频率为则则频率频率为为:当当n=1的驻波的驻波,除了两端除了两端x=0和和x=l之外没有其他的节点之外没有其他的节点,波长波长2l在在N1的各个驻波叫做的各个驻波叫做n次谐波次谐波,波长波长2l/n是基波的是基波的1/n,频率频率na/2l驻波，这些驻波也叫做两端固定弦的驻波，这些驻波也叫做两端固定弦的本征振动本征振动。所有本征振动里

7、边是最长的所有本征振动里边是最长的,频率最低频率最低,这个驻波叫做这个驻波叫做基波基波.是基波的是基波的n倍倍.7以上的本征振动是满足弦振动方程以上的本征振动是满足弦振动方程和边界条件和边界条件的线性独立的特解的线性独立的特解,由于方程和边界由于方程和边界条件都是齐次的条件都是齐次的,故所有的本征振动的线性叠加故所有的本征振动的线性叠加:仍然满足仍然满足原方程和边界条件原方程和边界条件,此即满足方程的一般解此即满足方程的一般解,其中其中A,B为任意常数为任意常数但此时未考虑初始条件但此时未考虑初始条件!以下就是考虑到初始条件求定解问题的确定解以下就是考虑到初始条件求定解问题的确定解,就是选取适

8、当的就是选取适当的把上述一般解代入初始条件把上述一般解代入初始条件,可得可得:叠加系数叠加系数An和和Bn,满足初始条件满足初始条件:8左边是傅里叶正弦级数左边是傅里叶正弦级数,我们只要把函数我们只要把函数展开成展开成傅里叶正弦级数傅里叶正弦级数,比较系数就可以得到比较系数就可以得到An和和Bn:这样这样,我们就得到了原定解问题的解我们就得到了原定解问题的解:系数由以上的傅里叶级系数确定系数由以上的傅里叶级系数确定,展开成傅里叶正弦级数是由展开成傅里叶正弦级数是由第一类边界条件确定的第一类边界条件确定的!9偏微分偏微分方方 程程分离分离变数变数常微分方程常微分方程2解解2本本 征征 解解解解2

9、解解1齐次边齐次边界条件界条件分离分离变数变数常微分方程常微分方程1条件条件解解1（本征函数）（本征函数）所求解所求解初始初始条件条件关键在于关键在于分离变数分离变数，使偏微分问题化为，使偏微分问题化为常微分常微分问题，同时把边界问题，同时把边界分离变数法分离变数法条件化为常微分方程的附加条件，构成条件化为常微分方程的附加条件，构成本征值本征值问题。可以推广到问题。可以推广到线性齐次方程和线性齐次边界条件的多种定解问题中！线性齐次方程和线性齐次边界条件的多种定解问题中！10求解求解:11（二）例题（二）例题（二）例题（二）例题例例例例1 1：磁致伸缩换能器、鱼群探测换能器等核心是两端自由的磁致

10、伸缩换能器、鱼群探测换能器等核心是两端自由的（边界条件）（边界条件）（初始条件）（初始条件）（泛定方程）（泛定方程）解解分离变量：分离变量：代入泛定方程和边界条件代入泛定方程和边界条件即：即：均匀杆，作纵振动，定解问题如下：均匀杆，作纵振动，定解问题如下：12对于方程对于方程化为：化为：两边分别是两边分别是x和和t的函数，不可能相等，除非是一常数，设为的函数，不可能相等，除非是一常数，设为则则于是可分解为关于于是可分解为关于X和和T的的常微分方程常微分方程（1）（2）对于本征值问题（对于本征值问题（1）如果如果则则X（x）恒为零，无意义。）恒为零，无意义。如果如果则方程的解是：则方程的解是：代

11、入常微条件得：代入常微条件得：D00则则13为对应于本征值为对应于本征值的本征函数的本征函数如果如果方程方程的解是：的解是：积分常数满足：积分常数满足：故故C20若若C10，则无意义！，则无意义！则则可得：可得：即即相应的本征函数为：相应的本征函数为：以下把以下把的情况合二为一。的情况合二为一。14C1为任意常数，上式是傅里叶余弦级数的基本函数族。为任意常数，上式是傅里叶余弦级数的基本函数族。将本征值代入将本征值代入T的方程的方程可以得到：可以得到：解分别为：解分别为：其中系数均为独立的任意常数。其中系数均为独立的任意常数。把把X（x），），T（t）分别代回）分别代回得到本征振动如下：得到本征

12、振动如下：15注意，上式是傅里叶余弦级数的基本函数族。注意，上式是傅里叶余弦级数的基本函数族。所有本征振动叠加即得所有本征振动叠加即得一般解一般解：其中系数由初始条件其中系数由初始条件确定。确定。把一般解代入初始条件，可以得到：把一般解代入初始条件，可以得到：16把左边的函数把左边的函数展开成傅里叶余弦级数，比较系数展开成傅里叶余弦级数，比较系数由上可知，由上可知，A0和和B0分别表示平均初始位移和平均初始速度，由于分别表示平均初始位移和平均初始速度，由于例例例例2 2：研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端问题为零，另一端研究细杆导热问题，初始时刻杆的一端问题为零，另一端一端为第一类边界条件，另

13、一端为第二类边界条件一端为第一类边界条件，另一端为第二类边界条件类齐次边界条件所决定的。类齐次边界条件所决定的。不受外力作用，以不变的速度不受外力作用，以不变的速度B0移动，傅里叶余弦级数是由第二移动，傅里叶余弦级数是由第二另一端跟外界绝热，试求杆上温度的变化。另一端跟外界绝热，试求杆上温度的变化。温度为温度为U0，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，杆上温度梯度均匀，零度的一端保持温度不变，17可得杆上温度可得杆上温度U（x，t）满足的泛定方程和定解条件：）满足的泛定方程和定解条件：这里泛定方程和边界条件都是齐次的，利用分离变数法，得：这里泛定方程和边界条件都是齐次的，利用分离变数法，

14、得：代入泛定方程和边界条件可得关于代入泛定方程和边界条件可得关于X（x）和常微分方程及条件）和常微分方程及条件及关于及关于T的常微分方程：的常微分方程：X（x）的方程和条件构成）的方程和条件构成本征值本征值问题，只能得到问题，只能得到无意义无意义18则当则当时得到常微方程的通解为：时得到常微方程的通解为：代入常微分方程的初始条件，可得：代入常微分方程的初始条件，可得：除非是除非是否则还是得到无意义的解否则还是得到无意义的解则此时可得：则此时可得：C20即：即：这里给出本征值，相应的本征函数为：这里给出本征值，相应的本征函数为：19而关于而关于T的方程的方程此时变为：此时变为：此方程的解为：此方

15、程的解为：U（x,t）的一般解是：）的一般解是：其中其中Ck由初始条件确定：由初始条件确定：20左边是以左边是以为基本函数族的级数，启发我们把右边为基本函数族的级数，启发我们把右边也展开成以也展开成以为基本函数族的级数（傅里叶正弦级数）为基本函数族的级数（傅里叶正弦级数）比较系数可得：比较系数可得：21此时可得最后结果为：此时可得最后结果为：注注注注对于本征函数即对于本征函数即既不同于第一类齐次边界条件既不同于第一类齐次边界条件又不同于第二类齐次边界条件的又不同于第二类齐次边界条件的边界条件边界条件表明应该把导热细杆从区间表明应该把导热细杆从区间0，l偶延拓到偶延拓到l，2l延拓后条件为：延拓

16、后条件为：一，三决定了本征函数为一，三决定了本征函数为n是正整数是正整数第二个条件则第二个条件则限定限定n只能是奇数，只能是奇数，边界条件边界条件22若若n为偶数，则为偶数，则不为零，综上所述可得本征函数为：不为零，综上所述可得本征函数为：即即注注注注对于一般解，如果考虑早先的时刻即对于一般解，如果考虑早先的时刻即t0却不能却不能反推反推反推反推早先时刻的温度分布，这是输运过程的特点。早先时刻的温度分布，这是输运过程的特点。，从某个时刻的温度分布可以推算出以后时刻的温度分布，但，从某个时刻的温度分布可以推算出以后时刻的温度分布，但边界条件相同，不管初始温度分布如何，总趋于统一平衡状态边界条件相

17、同，不管初始温度分布如何，总趋于统一平衡状态23随随k的增大而急剧减小，此时一般解级数的增大而急剧减小，此时一般解级数收敛很快，在收敛很快，在t0.18l2/a2时，可以只保留第一项时，可以只保留第一项k0，此时误差，此时误差例例例例3 3：散热片的横截面为矩形，一边散热片的横截面为矩形，一边yb处于较高温度处于较高温度U，其他，其他不超过不超过1%解横截面上的稳定温度分布解横截面上的稳定温度分布u（x，y），即定解问题：），即定解问题：三边三边y0，x0和和xa处于冷却介保持较低的温度处于冷却介保持较低的温度u0，求，求24xyUu0u0u0Oab如右图所示：如右图所示：解解解解这是二维拉普

18、拉斯方程的第一类边界值这是二维拉普拉斯方程的第一类边界值把把u（x，y）分解为）分解为v（x，y）和）和w（x，y）的线性叠加：）的线性叠加：其中其中v和和w分别满足一组齐次边界条件即：分别满足一组齐次边界条件即：化为齐次的，可以带来方便。化为齐次的，可以带来方便。是齐次的，此时恒为零，但可以把边界是齐次的，此时恒为零，但可以把边界问题，没有初始条件，边界条件不能都问题，没有初始条件，边界条件不能都25可以验证，把可以验证，把w和和v的泛定方程叠加起来就是的泛定方程叠加起来就是u的泛定方程的泛定方程把把v和和w的边界条件叠加起来就是的边界条件叠加起来就是u的边界条件，则原问题化为的边界条件，则

19、原问题化为另解另解另解另解令令把原来的温度把原来的温度U0作为新作为新的温标的温标v（x，y）的零点，代入泛定方程和边界条件可得：）的零点，代入泛定方程和边界条件可得：分离变数令：分离变数令：问题解出。问题解出。求解求解v和和w，而此时，而此时v和和w各有两个齐次边界条件可以利用本征值各有两个齐次边界条件可以利用本征值26代入上述泛定方程和齐次边界条件，可得代入上述泛定方程和齐次边界条件，可得X和和Y的常微分方程的常微分方程和和X的边界条件：的边界条件：（1）（2）则显然（则显然（1）构成本征值问题，可得本征值为：）构成本征值问题，可得本征值为：本征函数为：本征函数为：将本征值代入（将本征值代

20、入（2）可得：）可得：分离解为：分离解为：叠加即得一般解：叠加即得一般解：27为确定系数为确定系数An和和Bn,j将上式代入非齐次边界条件：将上式代入非齐次边界条件：右边展开比较系数右边展开比较系数由此可得：由此可得：可得最后结果：可得最后结果：28例例例例4 4：带电的云跟大地之间的静电场带电的云跟大地之间的静电场可近似看成匀强电场，电场强度为可近似看成匀强电场，电场强度为E0竖直竖直 表示为定解问题，取圆柱的轴为表示为定解问题，取圆柱的轴为z轴，如果把导线看成无限轴，如果把导线看成无限+带电云带电云AByx大地大地在在xy平面的剖面是个圆：平面的剖面是个圆：x2+y2=a2,a为半径。为半

21、径。解解解解柱外空间没有电荷，电势柱外空间没有电荷，电势u满足二维拉普拉斯方程满足二维拉普拉斯方程（柱外空间）（柱外空间）长，则静电场的强度电势与长，则静电场的强度电势与z无关，我们只在无关，我们只在xy平面研究。平面研究。体圆柱如何改变静电场。体圆柱如何改变静电场。“无限远无限远”的静电场保持匀强，现在来看导的静电场保持匀强，现在来看导临近的电场也就不再是匀强电场，离圆柱临近的电场也就不再是匀强电场，离圆柱输电线是导电圆柱体，柱面产生感应电荷输电线是导电圆柱体，柱面产生感应电荷水平架设的输电线处在静电场中，如图：水平架设的输电线处在静电场中，如图：29对于导体来说，电荷不再移动，说明导体中各

22、处的电势相同，对于导体来说，电荷不再移动，说明导体中各处的电势相同，分离变数法代入拉普拉斯方程可以分解为两个常微分方程，但分离变数法代入拉普拉斯方程可以分解为两个常微分方程，但边界条件为：边界条件为：不能分解为不能分解为X（x）或）或Y（y）的边界条件，无法进行下去！）的边界条件，无法进行下去！边界是圆，提示我们采用平面边界是圆，提示我们采用平面极坐标系极坐标系。在极坐标系中，方程可表示为：在极坐标系中，方程可表示为：其中其中为极径，为极径，为极角为极角 导体电势为零表示为齐次的边界：导体电势为零表示为齐次的边界：如下：如下：又电势只是相对高低，可以把导体的电势作为零点，边界条件又电势只是相对

23、高低，可以把导体的电势作为零点，边界条件30在无限远处，电势保持为在无限远处，电势保持为E0，故在无限远处，故在无限远处，Ey0，ExE0即即隐含着非齐次边界条件：隐含着非齐次边界条件：现在问题转化成极坐标系中的定解问题：现在问题转化成极坐标系中的定解问题：解解解解分离变数设：分离变数设：代入泛定方程可得代入泛定方程可得左边与左边与无关，右边与无关，右边与无关，除非为一无关，除非为一常数常数！31把此常数记为：把此常数记为：此时分解为两个常微分方程：此时分解为两个常微分方程：对于第一个方程，隐含着附加条件，某点的极角可以相差对于第一个方程，隐含着附加条件，某点的极角可以相差的整数倍，但电势在某

24、点是确定值，故：的整数倍，但电势在某点是确定值，故：即：即：自然的周期条件自然的周期条件此条件与常微分方程构成本征值问题，可以求得常微方程解：此条件与常微分方程构成本征值问题，可以求得常微方程解：32从而可求得本征值和本征函数：从而可求得本征值和本征函数：把本征值代入常微分方程把本征值代入常微分方程可得：可得：欧拉型常微分方程欧拉型常微分方程作代换作代换方程可化为：方程可化为：由此我们可得到分离变数形式的解为：由此我们可得到分离变数形式的解为：33拉普拉斯方程是线性的，其一般解为所有本征解的叠加：拉普拉斯方程是线性的，其一般解为所有本征解的叠加：为了确定上式中的系数，先代入为了确定上式中的系数

25、，先代入齐次齐次边界条件：边界条件：一个傅里叶级数为零，所有的系数为零，即：一个傅里叶级数为零，所有的系数为零，即：34再来看非齐次边界条件：再来看非齐次边界条件：对于非常大的对于非常大的一般解中的一般解中的远远小于远远小于可以略去，代入非齐次边界条件可得：可以略去，代入非齐次边界条件可得：这里如果出现这里如果出现则主要部分就不是则主要部分就不是而是而是主部主部故可得：故可得：由第一项由第一项可得可得可得：可得：35最后我们可得柱外的静电势为：最后我们可得柱外的静电势为：对于此一般解，中间一项，即对于此一般解，中间一项，即是原来静电场的电势是原来静电场的电势分布，最后一项分布，最后一项当当充分

26、大时，可以忽略，代表充分大时，可以忽略，代表在圆柱附近对匀强电场的修正，是柱面感应电荷的影响。在圆柱附近对匀强电场的修正，是柱面感应电荷的影响。对于对于系数是任意常数，表明有不确定的因素！系数是任意常数，表明有不确定的因素！在物理上，此不确定因素出在原来导体所带电量上，这一项正在物理上，此不确定因素出在原来导体所带电量上，这一项正是圆柱原来带的电量。是圆柱原来带的电量。讨论讨论讨论讨论设原来圆柱体不带电，则设原来圆柱体不带电，则D00，此时，此时36若只看若只看y轴下方，则如图，可以看成平行轴下方，则如图，可以看成平行+带电云带电云AByx大地大地此时，上下两端，即此时，上下两端，即A和和B点

27、的电场强度为：点的电场强度为：是原来电场的两倍！且与半径无关！是原来电场的两倍！且与半径无关！此处最容积击穿！此处最容积击穿！Y轴上的电势轴上的电势与导体圆柱相同与导体圆柱相同A电容器的极板必须加工的非常平滑！电容器的极板必须加工的非常平滑！两倍！对于高压电容器来说，很危险！容易击穿，故高压两倍！对于高压电容器来说，很危险！容易击穿，故高压此突起的电场强度是其他匀强电场强度的此突起的电场强度是其他匀强电场强度的板电容器之间的静电场，但上面带有突起板电容器之间的静电场，但上面带有突起37例例例例5 5：长为长为l的理想传输线，一端的理想传输线，一端x0接交流电，电动势为接交流电，电动势为另一端另

28、一端xl是开路，求解线上的稳恒电振荡。是开路，求解线上的稳恒电振荡。理想传输线理想传输线是一种理想化的模型，实际上总有损耗，初始条件引起的自是一种理想化的模型，实际上总有损耗，初始条件引起的自由振荡总是逐渐衰减，经过许多个周期之后，自由振荡消失，此时的电由振荡总是逐渐衰减，经过许多个周期之后，自由振荡消失，此时的电振荡完全是由交流电源引起的，电源提供的能量正好补偿了消耗，使得振荡完全是由交流电源引起的，电源提供的能量正好补偿了消耗，使得振荡可以维持而不衰减，这就是现实中的振荡可以维持而不衰减，这就是现实中的稳恒电振荡稳恒电振荡。解解解解初始条件所引起的自由振荡已经消失，故不用考虑初始初始条件所

29、引起的自由振荡已经消失，故不用考虑初始条件，这里的定解问题是没有初始条件的。条件，这里的定解问题是没有初始条件的。最后取结果的最后取结果的虚部即可虚部即可38稳恒振荡完全由交流电源引起，故周期相同，则：稳恒振荡完全由交流电源引起，故周期相同，则：代入泛定方程，可得代入泛定方程，可得X的常微分方程：的常微分方程：方程的解为：方程的解为：故：故：第二项是电源发出的波，第一项是反射波第二项是电源发出的波，第一项是反射波系数系数A和和B由边界条件确定，边界中有电流，故还需要由边界条件确定，边界中有电流，故还需要j的表达式的表达式由物理定律可得电流：由物理定律可得电流：（具体参看相关资料）（具体参看相关

30、资料）把把v和和j分别代入边界条件可得：分别代入边界条件可得：39则稳恒振荡由则稳恒振荡由给出，系数给出，系数A和和B由上面的关系给出。由上面的关系给出。40输入端电压同电流之比叫做输入端电压同电流之比叫做输入阻抗：输入阻抗：输入阻抗：输入阻抗：当当此时对电源来说，相当于一个此时对电源来说，相当于一个短路短路短路短路元件！元件！41Method of Separation of Variables（分离变量法）分离变量法）for One-Dimensional Mixed Problems Solution.利用驻波的特点，得到某时刻的波形可以用一系列驻波的叠加来表示。代入方程：（1）1.分离变量法分离变量法42（2）（3）Eq.(2)is a Sturm-Liouville problem.The general solution of Eq.(2)is 434445The solution of(1)is 46