专题七二次函数直角三角形的存在性问题.ppt

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1、专题七专题七 二次函数综合题二次函数综合题自学指导自学指导2（6分钟）分钟）A已知：已知：O为坐标原点，为坐标原点，A(2,1)，点，点P是是x轴上一动点，当轴上一动点，当AOP是直角三角形求是直角三角形求P点坐标点坐标已知：已知：O为坐标原点，为坐标原点，A(2,4),点点P是直线是直线x=3上一动点，当上一动点，当AOP是直角三角形求是直角三角形求P点坐标点坐标.A03A03P1P2P3P4两线一圆两线一圆类型二类型二 直角三角形的存在性问题直角三角形的存在性问题(安顺2018.26(3)【方法指导】【方法指导】问题问题找点找点直直角角三三角角形形已知点A、B和直线l，在l上求点P，使PA

2、B为直角三角形分别过点A、B作AB的垂线，再以线段AB为直径作圆，两垂线和圆与l的交点即为所有P点求点坐求点坐标标“万能法万能法”其他方法其他方法先假设点P存在，分别表示出点A、B、P的坐标，再表示出线段AB、BP、AP的长度，由AB2BP2AP2；BP2AB2AP2；AP2AB2BP2列方程，若方程无解，则点P不存在；若方程有解，则满足的点P存在作垂线，用勾股定理或相似建立等量关系典例精讲典例精讲例例如图，在平面直角坐标系中，抛物线图象过点C(6，6)，并与x轴交于原点O和A(4，0)，且抛物线顶点为D.(1)求此抛物线的解析式；例题图【思维教练】要求抛物线的解析式，已知抛物线与x轴有两个交

3、点，故可考虑设抛物线的两点式，再将C点代入即可解：解：抛物线图象与x轴交于原点O和A(4，0)，设抛物线的解析式为ya(x0)(x4)，将C(6，6)代入，得a，yx(x4)，即此抛物线的解析式为yx22x;(2)连接CD，过点A作x轴的垂线交CD于点B，连接OB，求线段OB的长；例题图【思维教练】要求线段OB的长度，需求得B点的纵坐标，利用勾股定理即可求出其长度，B点的横坐标已知，且在直线CD上，故可以借助直线CD的解析式来求其纵坐标解：解：抛物线的解析式为yx22x，y(x2)22，顶点D的坐标为(2，2)，设直线CD的解析式为ykxb(k0)，将D(2，2)，C(6，6)代入，得，解得，

4、直线CD的解析式为y2x6，当x4时，y2,B(4，2)，即AB2，OA4，在RtBOA中，由勾股定理，得OB；(3)连接OD,OC，判断OCD的形状，并说明理由；例题图【思维教练】判断OCD的形状，可先目测，得到初步猜想OCD为直角三角形，进而证明，得出结论，在这里DOC90的判断方法可根据勾股定理的逆定理，由三角形的边长入手，也可以从角度入手，甚至可以考虑圆的直径所对的圆周角是90.解：解：OCD是直角三角形，理由如下：由勾股定理，得OC2626272，OD222(2)28，CD2(62)2(62)280，OC2OD2CD2，OCD是直角三角形；(4)在x轴上是否存在一点E，使COE是以O

5、C为斜边的直角三角形；例题图【思维教练】要使COE是以OC为斜边的直角三角形，则OEC90，故过点C作x轴的垂线，垂足即为所求解：解：存在，如解图，过点C作CEx轴于点E，则COE是以OC为斜边的直角三角形C(6，6)，E(6，0)；例题解图(5)点N是抛物线上一动点，且DCN为直角三角形，求出点N的坐标例题图【思维教练】要使DCN为直角三角形，需对哪个点作直角顶点进行讨论，故需分DCN90，CDN90，DNC90这三种情况讨论解：解：DCN为直角三角形，分以下三种情况讨论：当DCN90时，如解图，由(2)可知直线CD的解析式为y2x6，CNCD，设直线CN的解析式yxa，直线CN过点C(6，

6、6)，a9，直线CN的解析式为yx9，联立，解得(舍去),，N1(3，)；例题解图当CDN90时，如解图，点N在抛物线上，故可设点N的坐标为(x，x22x)，D(2，2)，C(6，6)，CN2(x6)2(x22x6)2，DN2(x2)2(x22x2)2，CD2(62)2(62)280，CDN90，在RtCDN中，CN 2DN 2CD 2，即(x6)2(x22x6)2(x2)2(x22x2)280，解得x11，x22(舍去)将x1代入yx22x中，得y，N2(1，)；例题解图当DNC90时，如解图，设CD中点为B，由(3)可知OCD为直角三角，以点B为圆心，CD为直径的圆与抛物线交于点O，此时N

7、3(0，0)综上所述，DCN为直角三角形时，点N的坐标为N1(3，)，N2(1，)，N3(0，0)例题解图针对演练针对演练1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc(a0)与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，直线ykxn(k0)经过B、C两点已知A(1，0)，C(0，3)，且BC5.(1)分别求直线BC和抛物线的解析式(关系式)；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B、C、P三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由第1题图解解：(1)点C的坐标为(0，3)，OC3，在RtBOC中，OC3，BC5，OB4，点B的坐标为(4，0)，将点

8、B(4，0)，点C(0，3)代入直线ykxn(k0)中，得，解得，直线BC的解析式为y=x3，点A(1，0)，B(4，0)，C(0，3)在抛物线上，解得，抛物线的解析式为；(2)存在由(1)知抛物线解析式为，对称轴l为直线x=，设点P的坐标为(，t)，如解图，过点C作CDl于点D，连接PC，PB，设直线l与x轴的交点为点M，则点D的坐标为(，3)，点M的坐标为(，0)，第1题解图则CD，PD|t3|，PM|t|，BM4，PC2CD2PD2(t3)2，PB2PM2BM2t2，BC225，当BCP是直角三角形时，则有：()当BCP90时，即PCBC，PC2BC2PB2，即(t3)225t2，解得t

9、=，此时点P的坐标为(，)；()当PBC90时，即BPBC，BP2BC2PC2，即t225(t3)2，解得t2，此时点P的坐标为(，2)；()当BPC90时，即CPBP，BP2PC2BC2，即t2(t3)225，解得t1，t2，此时点P的坐标为(，)，(，)综上所述，存在满足条件的点P，点P的坐标为(，)或(，)或(，)2.设抛物线的解析式为yax2，过点B1(1，0)作x轴的垂线，交抛物线于点A1(1，2)；过点B2(，0)作x轴的垂线，交抛物线于点A2；过点Bn()n1，0)(n为正整数)作x轴的垂线，交抛物线于点An.连接AnBn1，得RtAnBnBn1.(1)求a的值；(2)直接写出线

10、段AnBn，BnBn1的长(用含n的式子表示)；第2题图(2)AnBn()2n3，BnBn1()n.AnBn232n，2()n12，2()2n2或2，BnBn12n或()n1()n；(3)在系列RtAnBnBn1中，探究下列问题：当n为何值时，RtAnBnBn1是等腰直角三角形？设1kmn(k，m均为正整数)，问：是否存在RtAkBkBk1与RtAmBmBm1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由解：解：(1)点A1(1，2)在抛物线上，2a12，得a2；(3)由AnBnBnBn1，得()2n3()n，解得n3，所以，当n3时，RtAnBnBn1是等腰直角三角形；依题意得：AkBkBk1AmBmBm190，()当RtAkBkBk1RtAmBmBm1时，即，第2题解图所以，km，(舍去)；()当RtAkBkBk1RtBm1BmAm时，即，2k3mk2m3，mk6，1kmn(k，m均为正整数)，取或，当时，RtA1B1B2RtB6B5A5，相似比为：2664;当时，RtA2B2B3RtB5B4A4，相似比为：238.