不定积分的换元法第一篇.ppt

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1、不不定积分与定积分的运算定积分与定积分的运算第三节第三节二、定积分的换元法三、分部积分法一、一、不定积分的换元法不定积分的换元法定积分的定积分的分部积分法分部积分法不定积分的不定积分的分部积分法分部积分法四、积分的其它例子法2、第二类换元法、第二类换元法1、第一类换元法、第一类换元法一、换元积分法 第四四章 第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法基本思路基本思路 设可导,则有 1 1第一换元积分法第一换元积分法(凑微分法凑微分法)直接验证得知直接验证得知,计算方法正确计算方法正确 我们可以把原积分作下列变形后计算：我们可以把原积分作下列变形后计算：换和计算：换和计算：第一类换元公式（

2、第一类换元公式（凑微分法凑微分法）计算步骤：计算步骤：定理定理1 1例例1.求解解:令则则原式原式=注注:当时例例2 2 求求解解例例3.(1)求解解:令则想到公式练习练习：求求解解练习练习 被积函数的分母为二次式，分母为一次时，而分母的被积函数的分母为二次式，分母为一次时，而分母的 导数正好为一次式，我们将分子凑成如下形式导数正好为一次式，我们将分子凑成如下形式解解例例3(2).求想到解解:(直接配元直接配元)练习练习：求求解解例例3(3).求解解:原式原式=例例4 4 求求解解练习：练习：例例5 求求解解例例6 求求解解类似地类似地即即 例例7解解例例8解解例例9解解规律规律1：例例101

3、0 求求解解规律规律2：例例11解解例例12 求求解解例例13 求求解解1解解2解解3思考与练习思考与练习1.下列各题积分方法有何不同?第一类换元法解决的问题难求难求易求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，问题问题解决方法解决方法做变量替换做变量替换,消去根号消去根号.过程过程令令（应用（应用“凑微分凑微分”即可求出结果）即可求出结果）二、第二类换元法二、第二类换元法困难困难:含有根号含有根号定理定理2.2.设是单调可导函数,且具有原函数,证明略证明略.则有换元公式例例1.求解解:令则 原式例例1 1 求求解解 令令例例1 1.求解解:令则 原式令于是说明说明(1)(1)以上几例所

4、使用的均为以上几例所使用的均为三角代换三角代换.三角代换的目的是化掉根式三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令可令可令可令更一般地更一般地,方法：方法：配方化成以上三种形式之一。配方化成以上三种形式之一。例例2 例例2 求求解解例例3 求求解解例例4 求求解解令令说明说明 被积函数含有两个根式时被积函数含有两个根式时,取根指数的取根指数的最小公倍最小公倍数数.令令说明说明(2)(2)以上几例所使用的均为以上几例所使用的均为根式代换根式代换.令例例5 5 求求解解 令令例例6 6 求求原式原式例例7 7 求求令令解解说明说明(3)(3)

5、当分母中因子次数较高时当分母中因子次数较高时,可采用可采用倒代换倒代换基基本本积积分分表表P204常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充(P204)（补充）（补充）必须熟记！必须熟记！小结小结:1.第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型:令令令令令2.常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充(P204)(7)分母中因子次数较高时分母中因子次数较高时,可试用可试用倒代换倒代换 令思考思考.求提示提示:法法1法法2法法3法法4倒代换倒代换作业作业P222 习题习题4.3(A)部分：部分：2(1)(5)(7)(13)(17)(21)(23)(29)(31)(33)(35)(38)；(B)部分：部分：1(1)(3)(7)