【数学】2.3.1《双曲线及其标准方程》课件.ppt

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1、双曲线及其标准方程（1）椭圆椭圆 定义：定义：图形：图形：标准方程：标准方程：性质：性质：从图形来看从图形来看从方程来推从方程来推复习 到平面上两定点到平面上两定点F1，F2的距离之差（小于的距离之差（小于|F1F2|）为）为非零常数非零常数的点的的点的轨迹是什么轨迹是什么?问题画画看画画看如图如图如图如图(A)(A)，|MF|MF1 1|-|MF|MF2 2|=|F|=|F2 2F|=2F|=2a a如图如图如图如图(B)(B)，上面上面上面上面 两条合起来叫做两条合起来叫做两条合起来叫做两条合起来叫做双曲线双曲线双曲线双曲线由由由由可得：可得：可得：可得：|MF|MF1 1|-|MF|MF

2、2 2|=2|=2a a （差的绝对值）差的绝对值）|MF|MF2 2|-|MF|MF1 1|=|F|=|F1 1F|=2F|=2a a双曲线的定义双曲线的定义:平面内与两定点平面内与两定点F F1 1，F F2 2的距离的差的距离的差的绝对值等于常数的绝对值等于常数2a 2a 的的点的轨迹叫做双曲线点的轨迹叫做双曲线。F1,F2-焦点焦点|MF|MF1 1|-|MF|-|MF2 2|=2a|=2a|F|F1 1F F2 2|-|-焦距焦距.F2.F1Myox注意：对于双曲线定义须注意：对于双曲线定义须抓住两点：抓住两点：一是平面内的一是平面内的动点到两定点的距离动点到两定点的距离之之差差的绝

3、对值的绝对值是一个是一个常数（不为常数（不为0）；二是这个常数要二是这个常数要小于小于|F|F1 1F F2 2|M 常数等于常数等于|F1F2|、大于、大于|F1F2|、等于、等于0呢呢?问题|MF|MF1 1|MF|MF2 2|=|F|=|F1 1F F2 2|时，时，M M点一定在上图中的射线点一定在上图中的射线F F1 1P P，F F2 2Q Q 上，此时点的轨迹为两条射线上，此时点的轨迹为两条射线F F1 1P P、F F2 2Q Q。常数大于常数大于|F|F1 1F F2 2|时时常数等于常数等于|F|F1 1F F2 2|时时|MF|MF1 1|MF|MF2 2|F|F1 1F

4、 F2 2|F F2 2F F1 1P PMQ QM 是不可能的，因为三角是不可能的，因为三角形两边之差小于第三边。此时无轨迹。形两边之差小于第三边。此时无轨迹。此时点的轨迹是线段此时点的轨迹是线段F F1 1F F2 2的垂直平分线。的垂直平分线。则则|MF|MF1 1|=|MF|=|MF2 2|F1F2M常数等于常数等于0 0时时若常数若常数2a=|MF2a=|MF1 1|MF|MF2 2|=0|=0试说明在下列条件下试说明在下列条件下动点动点M的轨迹各是什么图形？的轨迹各是什么图形？（F1、F2是两定点是两定点,|F1F2|=2c(0ac，动点，动点M的轨迹的轨迹 .xyo如图建立坐标系

5、，使如图建立坐标系，使x x轴经过轴经过F F1 1、F F2 2，并并且原点且原点O O与线段与线段F F1 1F F2 2的中点重合。设的中点重合。设M(M(x x,y y)为双曲线上任一点为双曲线上任一点,双曲线焦距为双曲线焦距为2 2c c(c c0),0),则则F F1 1(c c,0),F,0),F2 2(c c,0),0)F1F2M双曲线的标准方程：P=M|MF1|-|MF2|=+2a 再次平方，得再次平方，得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)由双曲线的定义知由双曲线的定义知，2c2a,即即ca,故故c2-a20,令令c c2 2-a-a2 2=b=b2 2,其中

6、其中b0,b0,代入整理得：代入整理得：x2a2-y2b2=1(a0,b0)cx-a2=a (x-c)2+y2 移项平方整理得移项平方整理得_F2F1MxOyOMF2F1xy双曲线的标准方程双曲线的标准方程问题：如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？练习：写出以下双曲线的焦点坐标练习：写出以下双曲线的焦点坐标练习：写出以下双曲线的焦点坐标练习：写出以下双曲线的焦点坐标(二二次项次项系数为正系数为正,焦点在相应的轴上焦点在相应的轴上)F(c,0)F(0,c)OxyF2F1MxOy（1）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。）先把非标准方程化成标准方程，再判断焦点所在的坐标轴。（2）是否表

7、示双曲线？是否表示双曲线？表示焦点在表示焦点在 轴上的双曲线；轴上的双曲线；表示焦点在表示焦点在 轴上的双曲线。轴上的双曲线。表示双曲线，求表示双曲线，求 的范围。的范围。答案：答案：。定定 义义 方方 程程 焦焦 点点a.b.c的关系的关系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线与椭圆之间的区别与联系|MF1|MF2|=2a|MF1|+|MF2|=2a 椭椭 圆圆双曲线双曲线F（0，c）F（0，c）小结：小结：求标准方程要做到先定型，后定量。求标准方程要做到先定型，后定量。变式变式3 已知双

8、曲线的焦距为已知双曲线的焦距为10，双曲线上一点，双曲线上一点P到两焦点到两焦点F1、F2的距离的差的绝对值等于的距离的差的绝对值等于6，求双，求双曲线的标准方程曲线的标准方程.解解:2 2a a=6,=6,c=5c=5a a=3,c=5=3,c=5b b2 2=5=52 2-3 32 2=16=16所以所求双曲线的标准方程为：所以所求双曲线的标准方程为：所以所求双曲线的标准方程为：所以所求双曲线的标准方程为：或或例例2：已已知知双双曲曲线线的的焦焦点点在在y轴轴上上，并并且且双双曲曲线线上上两两点点P1、P2的的坐坐标标分分别别为为（3，）、（,5），求求双双曲曲线线的的标标准准方方程程.解

9、解：因因为为双双曲曲线线的的焦焦点点在在y轴轴上上，所所以以设设所所求求双双曲曲线线的的标准方程为：标准方程为：把点把点P1、P2的坐标代入双曲线方程得：的坐标代入双曲线方程得：解得：解得：a2=16,b2=9.故所求双曲线故所求双曲线的标准方程为：的标准方程为：变变式式练练习习：已已知知双双曲曲线线上上两两点点P1、P2的的坐坐标标分分别别为为（3，）、（,5），求求双双曲线的标准方程曲线的标准方程.例例3 3已知已知A,BA,B两地相距两地相距800800m,在在A A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B B地地晚晚2 2s,且声速为且声速为340340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程

10、求炮弹爆炸点的轨迹方程.分析分析:首先根据题意首先根据题意,判断轨迹的形状判断轨迹的形状.解解:如图所示，建立直角坐标系如图所示，建立直角坐标系xO Oy,设爆炸点设爆炸点P的坐标为的坐标为(x,y)，则则即即 2a=680，a=340 xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为因此炮弹爆炸点的轨迹方程为 由声速及在由声速及在A A地地听到炮弹爆炸声比在听到炮弹爆炸声比在B B地晚地晚2 2s,可知可知A A地与爆炸点的距离比地与爆炸点的距离比B B地与爆炸地与爆炸点的距离远点的距离远680680m.因为因为|AB|680|AB|680m,所以所以爆炸点的轨迹是以爆炸点的轨迹是以A A、B B为焦

11、为焦点的双曲线在靠近点的双曲线在靠近B B处的一支上处的一支上.使使A、B两点在两点在x轴上，轴上，并且点并且点O与线段与线段AB的中点重合的中点重合解：连接QA由已知得|QA|=|QP|所以|QA|-|QO|=|QP|-|QO|=|OP|=r又因为A在圆外，所以|OA|OP|根据双曲线的定义，点Q的轨迹就是以O,A为焦点，a=r的双曲线。小结1.双曲线定义及标准方程双曲线定义及标准方程4.双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线与椭圆之间的区别与联系2.焦点位置的确定方法焦点位置的确定方法3求双曲线标准方程关键（定位，定量）求双曲线标准方程关键（定位，定量）定义定义定义定义图象图象图象图象方程方程方程方程焦点焦点焦点焦点a.b.c a.b.c 的关的关的关的关系系系系|MF1|-|MF2|=2a（2a0，b0，但a不一定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系：双曲线与椭圆之间的区别与联系：双曲线与椭圆之间的区别与联系：双曲线与椭圆之间的区别与联系：|MF1|MF2|=2a|MF1|+|MF2|=2a x2a2+y2b2=1椭椭 圆圆双曲线双曲线y2x2a2-b2=1F（0，c）F（0，c）