【下雨啦】2011年高考数学总复习精品课件：三角函数与三角恒等变换.ppt

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1、5.3 三角函数的图象和性质知识框架考试要求5.1 三角函数的概念、同角关系、诱导公式5.2 三角恒等变换5.4 三角函数应用知识框架知识框架任意的概念角的度量方法(角度制与弧度制)同角三角函数关系式任意角的三角函数三角函数的图象和性质诱导公式两角和与差的三角函数二倍角的三角函数三角函数式的恒等变形(求值、化简、证明)函数y=Asin(x+)的图象考试要求考试要求理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.能利用单位圆中的三角函数线推导出诱导公式能利用单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（的正弦、余弦、正切），能画出的正弦、余弦、正切），能画出 y=

2、sinx,y=cosx,y=tanx 的图象，了解三角函数的周期性的图象，了解三角函数的周期性.借助图象理解正弦函数、余弦函数在借助图象理解正弦函数、余弦函数在 0,2，正切函数在，正切函数在 上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）轴交点等）.理解同角三角函数的基本关系式：理解同角三角函数的基本关系式：实例，了解实例，了解y=Asin(x+)+)的实际意义；能画出的实际意义；能画出y=Asin(x+)+)的的图象，观察参数图象，观察参数A，,对函数图象变化的影响对函数图象变化的影响.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期会

3、用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型变化现象的重要函数模型.考试要求考试要求会用向量的数量积推导两角差的余弦公式.能从两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）.知识要点例题剖析1.1.角的概念角的概念2.2.弧度制弧度制3.3.任意角的三角函数任意角的三角函数.（1 1）设角）设角是一任意角，它的终边与单位圆交于点是一任意角，它的终边与单位圆交于点P（x,y)，那么，那么sin=y,cos,cos=x,

4、tan=（2 2）三角函数的符号：）三角函数的符号：由于由于sin0 0 y0,0,故故的终边在第一、二象限及的终边在第一、二象限及y轴非负半轴时，轴非负半轴时，sin为正为正.由于由于cos0 0 x0 0，故，故的终边在第一、四象限及的终边在第一、四象限及x轴的非负半轴时，轴的非负半轴时，cos为正为正.由于由于tan0 0 xy0 0，即，即x与与y同号，故当同号，故当终边在第一、三象限时，终边在第一、三象限时，tan为正为正.知识要点知识要点4.4.同角三角函数关系同角三角函数关系同角三角函数关系是由三角函数的定义推导得到的，所以各同角三角函数关系是由三角函数的定义推导得到的，所以各“

5、恒等恒等”的含义是使各三角函数及各式有意义的含义是使各三角函数及各式有意义.5.5.同角三角函数的基本关系式：同角三角函数的基本关系式：平方关系平方关系:sin2 2+cos2 2=1=1商数关系商数关系:tan=6.6.诱导公式：诱导公式：2 2k+(kZ),-Z),-,，2-2-的三角函数值等于的三角函数值等于的同名函数值，的同名函数值，前面加上一个把前面加上一个把“看成看成”锐角时原函数值的符号，即锐角时原函数值的符号，即“函数名不变，函数名不变，符号看象限符号看象限”.知识要点知识要点知识要点知识要点 的三角函数值等于的三角函数值等于的余函数值，前面加上一个把的余函数值，前面加上一个把

6、“看成看成”锐角时原函数值的符号锐角时原函数值的符号,即即“函数名改变，符号看象限函数名改变，符号看象限”.诱导公式可以将任意角的三角函数转化为诱导公式可以将任意角的三角函数转化为0 09090角的三角函数角的三角函数值值.例题剖析例题剖析例1 化简 sin420cos330+sin(-690)cos(-660)解析 原式=sin(360+60)cos(360-30)+sin(-720+30)cos(-720+60)=sin 60 cos 30+sin 30cos 60=原式=点评点评 应用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数应用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数是应掌握

7、的基本技能，在有弦有切的题中，切化弦是常用的方法是应掌握的基本技能，在有弦有切的题中，切化弦是常用的方法.例题剖析例题剖析例题剖析例题剖析例2解析例题剖析例题剖析点评 知sin+cos，sin-cos,sincos三个式子中的一个，可以求出其余两个式子的值.延伸拓展延伸拓展1解析例题剖析例题剖析 例3 解析代入原式得例题剖析例题剖析延伸拓展延伸拓展2解析延伸拓展延伸拓展2点评 将关于sin、cos的齐次式变换为关于tan的表达式在三角变换中有广泛的应用，其中“1”用“sin2+cos2”等反代是常用的技巧.知识要点例题剖析知识要点知识要点1.两角和与差的三角函数公式2.2.二倍角公式二倍角公式

8、3.3.平方降幂扩角公式平方降幂扩角公式4.4.5.5.公式应用讲究一个公式应用讲究一个“活活”字，即正用、逆用、变形用，还要创造字，即正用、逆用、变形用，还要创造条件应用公式，如拆角、拼角等技巧，如条件应用公式，如拆角、拼角等技巧，如知识要点知识要点例题剖析例题剖析例1 不查表求值解析 原式=cos40(1+)例题剖析例题剖析点评 不查表求含非特殊角的三角函数式的值，应注意题中各角的特征与相互之间的关系，特别注意这些角的和、差、倍、半是否为特殊角.例题剖析例题剖析例2 已知解析例题剖析例题剖析点评 给出角的三角函数值,求另一角的三角函数值时,要注意活用二角和、差的三角函数公式，将待求角配凑出

9、用已知角表示的式子，再应用三角公式进行求解，如本例的2用（+）+（-)表示，2用（+）-(-)表示.延伸拓展延伸拓展1解析 法(一)由条件可得法(二)由条件得延伸拓展延伸拓展1例题剖析例题剖析例3 已知 且解析例题剖析例题剖析点评 已知的某种三角函数值,可求的其它三角函数值,利用二倍角及两角和差关系式,可求2或+(为特殊角)的三角函数值.延伸拓展延伸拓展2解析 法(一)由条件得延伸拓展延伸拓展2知识要点例题剖析知识要点知识要点1.1.y=sinsinx,y=coscosx,y=tantanx的图象和性质的图象和性质图象定义域值域奇偶性单调性周期性2.2.y=A Asinsin(wx+）的图象）

10、的图象作图方法：（1）五点作图法（2）图象变换法a.相位变换y=sinx图象向左（0)或向右（0）平移|个单位得到y=sin(x+)的图象.b.周期变换y=sinx横坐标伸长（0w1)到原来的 倍（纵坐标不变）得到y=sinwx的图象.c.振幅变换y=sinx纵坐标伸长（A1)或缩短（0A1)到原来的A倍（横坐标不变）得到y=Asinx图象.3.y=Asin(wx+），y=Acos(wx+)（A0，w0）的最小正周期为 ,y=Atan(wx+)(A0,w0)的最小正周期为 .4.由y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象可得y=sinx图象关于直线x=k+对称，关于点（k,0）对称;知识

11、要点知识要点y=cosx图象关于直线x=k对称，关于点（k+,0）对称;y=tanx图象关于点（,0）对称(以上kZ).5.5.三角函数中的最值问题三角函数中的最值问题知识要点知识要点例题剖析例题剖析例1 已知函数（1）求它的振幅、周期、初相；（2）用五点法作出它的图象；（3）说明该函数的图象可以由y=sinx的图象经怎样的变换得到.x0020-20解析（1）振幅A=2，周期T=，初相 （2）列表：描点作图（如右图）（3）把y=sinx的图象上所有的点向左平移 个单位得到y=sin(x+)的图象;再把y=sin(x+)图象上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)倍,得到y=sin(2x+)的图

12、象;再把y=sin(2x+)图象上各点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)即可得到y=2sin(2x+)的图象.点评 作y=Asin(wx+)+B的图象以五点法最为方便,但必须清楚它的图象与y=sinx图象的关系.例题剖析例题剖析 动态演示动态演示例题剖析例题剖析例2 已知函数（1）求其最小正周期、单调增区间；（2）求其最大值及取得最大值时x的集合.解析例题剖析例题剖析例题剖析例题剖析点评点评 求函数的最小正周期求函数的最小正周期,若能化为形如若能化为形如y=Asin(wx+)+B成成y=Acos(wx+)+B或或y=Atan(wx+)+B,则只须分别代入则只须分别代入 即可求即可求y=As

13、in(wx+)+B的单调区间的单调区间问题问题,实位是利用实位是利用y=sinx的单调性及复合函数的问题来解决的单调性及复合函数的问题来解决,特特别应注意别应注意w0或或A0,aR),且且f(x)的的图象在图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐为轴右侧的第一个最高点的横坐为(1)求求w的值的值;(2)若若f(x)在区间在区间 上的最小值为上的最小值为 ,求求a的值的值.解析例题剖析例题剖析点评关于给出条件求y=Asin(wx+)+B的表达式,求解时应注意y=sinx图象及性质,原因是y=Asin(wx+)+B图象必可由y=sinx图象平移成伸缩得到,在求y=Asin(wx+)+B且x给定范围的最值

14、时,应注意不能直接把给定区间的边界值代入.例题剖析例题剖析例4 如下图,是函数y=2sin(wx+)(|w0)的一段图象,则w、的值是（）例题剖析例题剖析解析 如上图，给我们的信息是(1)点(0,1),(,0)在图象上(2)函数的最小正周期例题剖析例题剖析点评 在给出图象求表达式时，应注意充分挖掘图中的信息，如对称性、单调性、特殊点等，对三角函数来说还应注意其最小正周期.知识要点例题剖析知识要点知识要点1.利用三角函数的图象和性质，解决与三角函数有关的最值问题、不等式问题、奇偶问题等.2.通过引入三角函数，解决给出有一定实际背景的问题.例题剖析例题剖析例1 如下图所示，函数y=-xcosx的部

15、分图象是 （）解析 f(x)=-xcosx有f(-x)=-(-x)cos(-x)=xcosx=-f(x)又当 时,f(x)0,排除B选D点评 给出函数的解析式来认图象的，可以从给出的解析式的定义域、值域、奇偶性、对称性、特殊点、单调性等方面进行排除.例题剖析例题剖析例题剖析例题剖析例2 某港口的水深y(米)与时间t(0t24,单位：时）的函数关系记为y=f(t)，下面是该港口某日的水深数据表：t(时)03691215182124y(米)10.0 13.09.97.010.013.010.17.010.0 由上述数据描出函数y=f(t)的图象（如图）,经过长期的观察和拟合知该图象可近似地看作函数

16、y=Asinwt+B的图象.(1)试根据所给数据和图象，求出函数的表达式；(2)在一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不得小于4.5米才能保证航行的安全，如果某船的吃水深度（船底距水面的距离）为7米，那么该船在何时段内航行时才是安全的？例题剖析例题剖析解析(1)根据表中的数据并结合图象可知例题剖析例题剖析(2)依题意,要使船安全通过,水深不得少于11.5米令y11.5得3.0sin1t 5或13 t 17点评 由图象或表数据求形如y=Asin(wx+)+B的解析式时，通常由图象的最高点和最低点(数据的最大值和最小值)来求A和B，由周期来求w，由特殊点来求 .例例3 已知已知OPQ是半径为是半

17、径为1,圆心角为圆心角为 的扇形的扇形,C是扇形弧上的动点是扇形弧上的动点,ABCD是扇形的内接矩是扇形的内接矩形形.记记COP=,求当角求当角 取何值时取何值时,矩形矩形ABCD的面积最大的面积最大?并求出这个最大面积并求出这个最大面积.OAB PCDQ矩形矩形ABCD内接于直径为内接于直径为4的半圆的半圆,试求矩形面积试求矩形面积S最最大值大值.巩固练习巩固练习ABCDOMN从先后顺序看：三角函数从先后顺序看：三角函数向量向量三三角变换角变换v用向量的数量积推导出两角差的余弦公用向量的数量积推导出两角差的余弦公式式v建议在简单的三角恒等变换增加一些与建议在简单的三角恒等变换增加一些与向量综合的题（课本没有）向量综合的题（课本没有）已知向量已知向量a(sin，1)，b(1，cos)，（）若）若a b，求，求；（）求）求ab的最大值的最大值小结小结v熟悉内容为主，教学方式有变熟悉内容为主，教学方式有变v整体把握为主，渗透思想方法整体把握为主，渗透思想方法v课本题目为主，少量补充拓展课本题目为主，少量补充拓展v变换运算为主，计算器要少用变换运算为主，计算器要少用