《复变函数与积分变换》2-2(全集).ppt

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1、2-2 柯西积分定理与原函数柯西积分定理与原函数1 1.柯西积分定理柯西积分定理该定理有时也称为:柯西古萨定理.黎曼证法例例1 1解解根据柯西积分定理根据柯西积分定理,有有:例例2 2解解根据柯西积分定理得根据柯西积分定理得:由定理由定理2可知可知:解析函数在单连通域内的积分只与起点和解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关终点有关,(如下页图如下页图)定理定理3：证明证明:利用导数的定义来证利用导数的定义来证.由于积分与路线无关由于积分与路线无关,此定理与微积分学中的对变上限积分的求导此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似定理完全类似.证毕证毕原函数的定义原函数的定义:原函数

2、之间的关系原函数之间的关系:证证:那末它就有无穷多个原函数那末它就有无穷多个原函数,根据以上讨论可知根据以上讨论可知:证毕证毕 不定积分的定义不定积分的定义:定理定理4:4:(类似于牛顿类似于牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式)证明证明:根据柯西根据柯西-古萨基本定理古萨基本定理,证毕证毕说明说明:有了以上定理有了以上定理,复变函数的积分就可以复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算用跟微积分学中类似的方法去计算.例题:例例1:1:解解:由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知,例例2:2:解解:(使用了微积分学中的使用了微积分学中的“凑微分凑微分”法法)例例3:3:解解:由牛顿由牛顿

3、-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知,例例3 3：另解：另解：此方法使用了微积分中此方法使用了微积分中“分部积分法分部积分法”例例4 4：解：解：利用分部积分法可得利用分部积分法可得课堂练习课堂练习答案答案1）闭路变形原理闭路变形原理得得 解析函数沿闭曲线的积分解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值区域内作连续变形而改变它的值.闭路变形原理闭路变形原理说明说明:在变形过程中曲线不经在变形过程中曲线不经过函数过函数 f(z)的不解析的点的不解析的点.2）复合闭路定理）复合闭路定理那末那末典型例题例例1 1解解依题意知依题意知,根据复合闭路定理根据复合闭路定理,例例2 2：解：解：圆环域的边界构成一条复合闭路圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理根据闭路复合定理,例例3 3：解：解：由复合闭路定理由复合闭路定理,此结论非常重要此结论非常重要,用起来很方用起来很方便便,因为因为 不必是圆不必是圆,a也不必也不必是圆的圆心是圆的圆心,只要只要a在简单闭曲在简单闭曲线线 内即可内即可.例例4 4：由上例作业:P89:7:1),3),6);8:1);作业柜分配(四教西305门外):电气06A-01:B7;06A-02:B8;06A-03:B9;06A-04:B10;重修的同学:抽时间直接到四教 西311找我.