《测量学》第6章.ppt

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1、第五章第六章第五章第六章第六章第六章 测量误差基本知识测量误差基本知识第五章 测量误差基本知识第六章第六章 测量误差基本知识测量误差基本知识 学习要点 建立测量误差的基本概念 观测值的中误差 观测值函数的中误差 误差传播定律 权的概念#测量误差的基本概念测量误差的基本概念一一.产生产生测量测量误差的原因误差的原因二二.测量误差的分类和处理原则测量误差的分类和处理原则三三.偶然误差的特性偶然误差的特性讨论测量误差的目的：讨论测量误差的目的：用误差理论分析、处理测量误差，评定 测量成果的精度，指导测量工作的进行。一.产生测量误差的原因一一.产生产生测量测量误差的原因误差的原因产生产生测量测量误差的

2、三大因素：误差的三大因素：仪器原因仪器原因 仪器精度的局限,轴系残余误差,等。人的原因人的原因 判断力和分辨率的限制,经验,等。外界影响外界影响 气象因素(温度变化,风,大气折光,结论：结论：观测误差不可避免观测误差不可避免(粗差除外)有关名词：有关名词：观测条件，等精度观测。上述三大因素总称为观测条件观测条件，在上述条件基本 一致的情况下进行的各次观测，称为等精度观测等精度观测。二.测量误差的分类和处理原则二二.测量误差的分类和处理原则测量误差的分类和处理原则 处理方法：处理方法：1.1.对测量结果加改正数消除 2.2.外业操作时抵消1.1.系统误差系统误差 误差出现的大小、符号相同，或按

3、规律性变化，具有积累性。结论结论：系统误差可以消除。两类测量误差：两类测量误差：系统误差、偶然误差系统误差、偶然误差例：例：误差误差 处理方法处理方法 钢尺尺长误差Dk 计算改正 钢尺温度误差Dt 计算改正 水准仪视准轴误差i 操作时抵消(前后视等距)经纬仪视准轴误差C 操作时抵消(盘左盘右取平均)2.偶然误差2.2.偶然误差偶然误差误差出现的大小、符号各不相 同，表面看无规律性。例：例：估读数、气泡居中判断、瞄准、对中等误差，导致观测值产生误差。特点：特点：具有抵偿性抵偿性。处理原则：处理原则：采用多余观测多余观测，减弱其影响，提 高观测结果的精度。偶然误差是由人力所不能控制的因素所引起 的

4、误差。三.偶然误差的特性三三.偶然误差的特性偶然误差的特性 1.1.偶然误差的定义：偶然误差的定义：设某一量的真值为X，对该量进行了n次观测，得n个观测值 ，则产生了n个真误 差 ：(6-1-1)(6-1-1)当观测次数很多时，偶然误差的出现，呈现出统 计学上的规律性：偶然误差具有正态分布正态分布的特性。(P138 表6-1 图6-1)2.2.偶然误差的特性偶然误差的特性2.2.举例：举例：(P138 表6-1)在某测区，等精度观测了358个三角形的内角之 和，得到358个三角形闭合差i(偶然误差，也即 真误差)，然后对三角形闭合差i 进行分析。分析结果表明，当观测次数很多时，偶然误差 的出现

5、，呈现出统计学上的规律性。而且，观测 次数越多，规律性越明显。见见 表表5-15-1 表6-1 偶然误差的统计误差区间 d()负误差正误差误差绝对值个数频率个数个数频率频率03.0 45 0.126 46 0.128 91 0.2543.16.0 40 0.112 41 0.115 81 0.2266.19.0 33 0.092 33 0.092 66 0.1849.112.0 23 0.064 21 0.059 44 0.12312.115.0 17 0.047 16 0.045 33 0.09215.118.0 13 0.036 13 0.036 26 0.07318.121.0 6 0.

6、017 5 0.014 11 0.03121.124.0 4 0.011 2 0.006 6 0.01724.1以上 0 0 0 0 0 0 181 0.505 177 0.495 358 1d=3kn用频率直方图频率直方图表示(表6-1)的偶然误差统计：频率直方图的中间高、两边低，并向横轴逐 渐逼近，对称于y轴。频率直方图中，每一条形 的面积表示误差出现在该 区间的频率k/n，而所有条 形的总面积等于1。各条形顶边中点连线 经光顺后的曲线形状，表现出偶然误差的普 遍规律(正态分布)。-21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21 -24 -18 -12 -6 0 +6 +12 +18

7、 +24x=yknd从误差统计表和频率直方图中，可以归纳出偶然误 差的四个特性如下：(1)在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定 的限值(有界性)；(2)绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会多(趋向性)；(3)绝对值相等的正误差和负误差出现的机会相等(对称性)；(4)当观测次数无限增加时，偶然误差的算术平均值趋近于零 (抵偿性)：特性(1)、(2)、(3)决定了特性(4)，特性(4)具有实用意义。3.3.偶然误差的特性偶然误差的特性(6-1-2)频率直方图偶然误差具有正态分布正态分布的特性 -21 -15 -9 -3 +3 +9 +15 +21 -24 -18 -12 -6 0

8、+6 +12 +18 +24x=y正态分布曲线四个特性：四个特性：有界性，趋向性，对称性，抵偿性抵偿性：(6-1-2)(6-1-2)频率直方图#观测值的中误差观测值的中误差测量工作中，用中误差中误差作为衡量观测值精度 的标准。一一.用真误差计算中误差的公式用真误差计算中误差的公式由偶然误差：标准差公式：(6-1-5)(6-1-5)观测次数n有限时，用中误差m表示偶然误差的离散情形。(6-2-1)(6-2-1)中误差公式为：中误差公式为：中误差算例表5-2中误差算例中误差算例1 1两组观测值中误差图形的比较m1较小,误差分布比较集中，观测值精度较高；m2较大，误差分布比较离散，观测值精度较低。两

9、组观测值中误差图形的比较：m1=2.7m2=3.6 二二.相对误差相对误差(相对中误差)误差绝对值与观测量之比。例例2 2：用钢尺丈量两段距离分别得S1=100米,m1=0.02m；S2=200米,m2=0.02m。计算S1、S2的相对误差。用于表示距离的精度。用分子为1的分数表示。分数值较小相对精度较高；分数值较大相对精度较低。0.02 1 0.02 1 T1=；T2=100 5000 200 10000 T2T1，所以S2精度较高。解：三三.容许误差容许误差(极限误差)根据误差分布的密度函数，误差出现在微分区间d内的概率为：(6-2-2)误差出现在K倍中误差区间内的概率为：(6-2-3)将

10、K=1、2、3分别代入上式，可得到偶然误差分别出现在一倍、二倍、三倍中误差区间内的概率：测量中，一般取两倍中误差(2m)作为容许误差，也称为 限差：容=2m(6-2-4)用改正数计算中误差的公式6-3.6-3.用改正数计算中误差的公式用改正数计算中误差的公式观测值的真值未知时，用似真误差V计算中误差。(6-3-4)(6-3-4)设某未知量的观测值为：(6-3-1)(6-3-1)则该量的算术平均值为：得似真误差(改正数)：(6-4-1)(6-4-1)观测值的中误差：观测值的中误差：例用改正数计算中误差解：解：用算术平均值改正数V计算中误差：(6-4-1)按观测值的改正数计算中误差 表5-3次序

11、观测值 改正数 计 算1 854249 -4 162 854240 +5 253 854242 +3 94 854246 -1 15 854248 -3 9平均854245 0 60 例例2.对某水平角等精度观测了5次，求其算术平均值及 观测值的中误差。算术平均值:854245观测值的中误差：#观测值观测值函数的中函数的中误差误差观测值函数的中误差 误差传播定律一一.观测值的函数观测值的函数例：例：高差平均距离实地距离三角边和或差函数线性函数倍数函数一般函数坐标增量一般函数二二二二.误差传播误差传播误差传播误差传播定律定律定律定律转换成中误差关系式即误差传播定律误差传播定律：(6-5-10)二

12、二.一般函数的中误差公式一般函数的中误差公式误差传播定律误差传播定律设有函数为独立独立观测值 (a)对(a)全微分(b)用偶然误差 、代替微量元素 、得：(c)例例3：已知某矩形长a=500米，宽b=440米。如边长测量 的相对中误差为1/4000，求矩形的面积中误差mp。三.几种常用函数的中误差三三.几种常用函数的中误差几种常用函数的中误差 求观测值函数中误差的步骤：求观测值函数中误差的步骤：(1).列出函数式；(2).对函数式求全微分；(3).套用误差传播定律，写出中误差式。面积公式求全微分面积中误差解：解：由题意1.倍数函数的中误差 1.倍数函数的中误差倍数函数的中误差 设有函数式 (x

13、为观测值，K为x的系数)全微分 得中误差式(6-5-15)解：解：例例4 量得 地形图上两点间长度 =168.5mm0.2mm,计算该两点实地距离S及其中误差ms：列函数式求全微分中误差式2.线性函数的中误差2.线性函数的中误差线性函数的中误差 设有函数式 (6-5-11)全微分 中误差式 (6-5-12)解：解：对上式全微分：由中误差式得：例例5：设有某线性函数 其中 、分别为独立观测值，它们的中误差分 别为 求Z的中误差 。由于等精度观测时，代入上式：得 (6-5-13)由此可知，算术平均值的中误差比观测值的中误差缩小了缩小了 倍。对某观测量进行多次观测(多余观测)取平均，是提高观测成果精

14、度最有效的方法。3.算术平均值的中误差式 函数式 (6-5-1)全微分 中误差式 3.算术平均值的中误差式算术平均值的中误差式 例6距离误差例例6：对某距离用精密量距方法丈量六次，求该距离的算术 平均值 ；观测值的中误差 ；算术平均值的中误 差 ；算术平均值的相对中误差 ：凡是相对中误差，都必须用分子为1的分数表示。4.和或差函数的中误差4.和或差函数的中误差和或差函数的中误差 函数式：全微分：中误差式：(6-5-17)当等精度观测时：上式可写成：(6-5-18)例例7 测定A、B间的高差 ，共连续测了9站。设测量 每站高差的中误差 ，求总高差 的中 误差 。解：解：由(5-5-18)式：观测

15、值函数中误差公式汇总 观测值函数中误差公式汇总观测值函数中误差公式汇总 函数式 函数的中误差一般函数倍数函数 和差函数 线性函数 算术平均值 四.误差传播定律应用例8四四.误差传播定律的应用误差传播定律的应用解：解：由题意：每个角的测角中误差：由于DJ6一测回角度中误差为：由角度测量n测回取平均值的中误差公式：例例8：要求三角形最大闭合差 ，问用DJ6经 纬仪观测三角形每个内角时须用几个测回？用DJ6经纬仪观测三角形内角时，每个内角观测4个测回取平均，可使得三角形闭合差 。误差传播定律的应用例9DMPxyXYO由误差传播定律：解：解：P点的点位中误差：例例9：已知直线MP的坐标方位角=7220

16、00，水平距离D=240m。如已知方位角中误差 ，距离中误差 ，求由此引起的P点的坐标中误差 、，以及P点的点位中误差 。#权的概念权的概念权的概念 一一.权和权的表示方法权和权的表示方法 1.权的概念权的概念 权用于非等精度观测中；权用于衡量观测值的质量，观测值的权表示该观 测值在这组观测值中所占的比重比重。观测值的精度越高，其权越大；精度越低，其权越小。2.权的表示方法2.权的表示方法权的表示方法 一般取一次观测、一测回、单位长度等的测量误差作为单位权中误差 。权P=1的中误差称为“单位权中误差”，通常用 或 表示，所以权也表示为：(6-7-2)(6-7-1)式中C为任意正数。权权用字母P表示，并定义权 P与中误差的平方成反比反比：二.加权平均值二二.加权平均值加权平均值1.加权平均值的计算：加权平均值的计算：对某一未知量，以不等精度观测得n个观测值：其中误差分别为：观测值的权为：上式也称为加权平均值加权平均值或广义算术平均值广义算术平均值。(6-7-6)则该未知量的最或是值为：计算加权平均值的实用公式：(6-7-7)(6-7-8)即二.加权平均值2.加权平均值的中误差：加权平均值的中误差：得 (6-7-12)加权平均值的权为 函数式 中误差式