黄河水利出版社.ppt

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1、第三章第三章 多维随机变量多维随机变量引例引例:1.炮弹落点的位置必须用两个坐标炮弹落点的位置必须用两个坐标X和和Y来描述；来描述；2.遗传学家在研究儿子的身高遗传学家在研究儿子的身高X与父亲身高与父亲身高Y、母亲身高母亲身高Z之间的关系时，需要同时考虑三个之间的关系时，需要同时考虑三个 随机变量随机变量X、Y和和 Z 。3.若要研究天气的变化，情况就更复杂了，这要若要研究天气的变化，情况就更复杂了，这要 涉及到更多的随机变量，如温度、气压、风向、涉及到更多的随机变量，如温度、气压、风向、风力、湿度等等风力、湿度等等.特点特点:试验结果需用两个或两个以上的随机变量描述试验结果需用两个或两个以上

2、的随机变量描述。定义定义:设设X1，X2，Xn是定义在是定义在同一个样本空间同一个样本空间 上上 的的n个随机变量，称随机变量组（个随机变量，称随机变量组（X1，X2，Xn）为定义在）为定义在上的上的n维随机变量维随机变量 或或n维随机向量。维随机向量。二二维维随机随机变变量量(X,Y)的性的性质质不不仅仅与与X、Y 说说明明 而且而且还还依依赖赖于于这这两个随机两个随机变变量的相互关系量的相互关系.有关有关,下面着重讨论二维随机变量的情况，对于多个下面着重讨论二维随机变量的情况，对于多个 随机变量的情况，不难类推随机变量的情况，不难类推.一、二维随机变量的联合分布二维随机变量的联合分布 1.

3、定义定义:设设(X,Y)是二维随机变量，对于任意实数是二维随机变量，对于任意实数x,y,称二元函数称二元函数 F（x,y）=PXx,Yy 为二维随机变量为二维随机变量(X,Y)的分布函数，或随机变量的分布函数，或随机变量X和和Y的联的联 合分布函数。合分布函数。3.1 3.1 二维随机变量及其联合分布二维随机变量及其联合分布 2.几何意义几何意义:F(x,y)表示随机点表示随机点(X,Y)落在以落在以(x,y)为顶点，为顶点，且位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。且位于该点左下方的无穷矩形区域内的概率。xy(x,y)3.二维分布函数二维分布函数F(x,y)的基本性质的基本性质(1)0F(x,

4、y)1；(2)F(x,y)关于变量关于变量x和和y均单调非减，且右连续；均单调非减，且右连续；(3)对于任意固定的对于任意固定的y，F(-,y)=0;对于任意固定的对于任意固定的x，F(x,-)=0;F(-,-)=0，F(+,+)=1(4)对于任意的对于任意的x1x2,y1y2 恒有恒有:P x1X x2,y1Y y2 =F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)0注：注：任一满足上述四个性质的二元函数任一满足上述四个性质的二元函数F(x,y)都可以作为都可以作为 某个二维随机变量某个二维随机变量(X,Y)的分布函数。的分布函数。二、二维离散型随机变量二、二维离散型

5、随机变量(X,Y)定义定义 如果二维随机变量如果二维随机变量(X,Y)可能的取值为有限或可列个可能的取值为有限或可列个 实数对，则称实数对，则称(X,Y)为为二维离散型随机变量二维离散型随机变量 1.(X,Y)的联合分布列的联合分布列 若二维离散型随机变量若二维离散型随机变量(X,Y)所有可能取值为所有可能取值为(xi,yj),i,j=1,2,，则称概率函数，则称概率函数 pij=P X=xi,Y=yj,(i,j=1,2,)，为为(X,Y)的概率分布或的概率分布或(X,Y)的联合分布的联合分布(列列)2.(X,Y)的联合分布列的联合分布列 pij 的性质：的性质：（1）pij0；i,j=1,2

6、,;（2）3.(X,Y)的分布函数的分布函数其中和式是对一切满足其中和式是对一切满足xix,yjy的的i,j来求和的。来求和的。4.(X,Y)的分布表或的分布表或X与与Y的联合分布表的联合分布表 y1 y2 yj x1 p11 p12 p 1j x2 p21 p22 p 2j ：xi pi1 pi2 pij ：XY例例1.袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次袋中有两只红球，三只白球，现不放回摸球二次,令令,求求(X,Y)的联合分布列的联合分布列。XY0 11 0解：解：例例2 将两封信随意地投入将两封信随意地投入3个空邮筒，设个空邮筒，设X、Y分别表示第分别表示第1、第第2个邮筒中信的数

7、量，求个邮筒中信的数量，求X与与Y的联合分布列，并求的联合分布列，并求 出第出第3个邮筒里至少投入一封信的概率个邮筒里至少投入一封信的概率.解解 X、Y各自可能的取值均为各自可能的取值均为0、1、2，由题设知，取，由题设知，取(1,2)(2,1)(2,2)均不可能均不可能.取其他值的概率可由古典概率计算取其他值的概率可由古典概率计算.(X,Y)的联合分布列为：的联合分布列为：P第三个邮筒里至少有一封信第三个邮筒里至少有一封信 Y 0 1 2 0 1/9 2/9 1/9 1 2/9 2/9 0 2 1/9 0 0X=P第一、第二个邮筒里最多只有一封信第一、第二个邮筒里最多只有一封信=PX+Y11

8、 因为事件因为事件X+Y11包含三个基本事件，所以包含三个基本事件，所以 PX+Y1=PX=0,Y=0+PX=0,Y=1+PX=1,Y=0=5/9即第三个邮筒里至少有一封信的概率为即第三个邮筒里至少有一封信的概率为5/9 三、二维连续型随机变量三、二维连续型随机变量(X,Y)定义定义 设设(X,Y)的分布函数为的分布函数为F(x,y)，如果存在非负可积的，如果存在非负可积的 二元函数二元函数 f(x,y)，使得对于任意实数，使得对于任意实数x,y有有则称（则称（X,Y）为二维连续型随机变量，称函数）为二维连续型随机变量，称函数f(x,y)为为二维随机变量（二维随机变量（X,Y）的概率密度函数或

9、联合密度函数。）的概率密度函数或联合密度函数。概率密度函数概率密度函数 f(x,y)的性质的性质（1）f（x,y）0 （4）点）点(X,Y)落在落在xoy的平面区域的平面区域D内的概率为内的概率为:（3）若）若f(x,y)在（在（x,y）处连续则有）处连续则有注：注：具有具有（1）（）（2）两个性质的二元函数两个性质的二元函数f(x,y)，必是某个必是某个 二维连续型随机变量的密度函数。二维连续型随机变量的密度函数。例例2 设连续型随机变量设连续型随机变量(X,Y)的概率密度函数为的概率密度函数为求求(1)常数常数k;(2)(X,Y)的分布函数的分布函数F(x,y);(3)PX1,Y1 解解

10、(1)因为因为所以所以(3)(2)F(x,y)=例例3 设二维随机变量（设二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为）的联合密度函数为D为为xoy平面内由平面内由x轴轴,y轴和不等式轴和不等式x+y1所确定的区域所确定的区域.解解二维均匀分布二维均匀分布 定义：设定义：设D为平面上的有界区域为平面上的有界区域,D的面积大于零的面积大于零.若二维随若二维随 机变量机变量(X,Y)的联合密度为的联合密度为则称则称(X,Y)在在D上服从均匀分布上服从均匀分布易见，若（易见，若（X，Y）在区域在区域D上上(内内)服从均匀分布，对服从均匀分布，对D内内任意区域任意区域G，有有注：向平面上有界区域注：向平面上

11、有界区域D上任投一质点，若质点落在上任投一质点，若质点落在D内任内任一小区域一小区域B的概率与小区域的面积成正比，而与的概率与小区域的面积成正比，而与B的形状及的形状及位置无关位置无关.则质点的坐标（则质点的坐标（X,Y）在在D上服从均匀分布上服从均匀分布.例例4 设设(X,Y)服从如图区域服从如图区域D上的均匀分布，求上的均匀分布，求 (1)求求(X,Y)的概率密度的概率密度；(2)求求PY2X；(3)求求F(0.5,0.5)解解若二维随机向量（若二维随机向量（X，Y）的联合密度函数为）的联合密度函数为其其中中 1,2,1,2,均均为为常常数数，且且 1 0,2 0,|1，则称则称(X,Y)服从参数为服从参数为 1,2,1,2,的二维正态分布的二维正态分布.记为：记为：(X,Y)N(1,12;2,22;)2.2.二维正态分布二维正态分布 例如例如(X,Y)N(1,16;3,25;0)，其密度函数为，其密度函数为二维正态分布密度函数的图像为钟型曲面二维正态分布密度函数的图像为钟型曲面