第七章数值微积分.ppt

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1、第七章第七章数值微积分数值微积分主要内容：1,数值微分 2,数值积分，牛顿-柯特斯求积公式3,复化求积公式 4,高斯型求积公式数值积分5,龙贝格求积公式（介绍）7-1数值微分数值微分知，当充分小时，用插商代替导数，可得数值知，当充分小时，用插商代替导数，可得数值微分公式。微分公式。1 1、插商型求导公式：插商型求导公式：（1）向前插公式：由导数定义由导数定义（2）向后插公式：(3)中心插公式：由泰勒公式已知其余项分别为：其中2,2,插值型求导公式插值型求导公式两点公式：过两点的Lagrange插值多项式公式练习：用向前插公式和中心插公式计算其中 步长分别取截断误差 三点公式：过三点的Lagra

2、nge插值求导得且分别代入三点有:截断误差求二阶导数的三点公式3.3.利用样条函数求数值微分利用样条函数求数值微分用样条函数的导数近似函数导数不仅可靠性好，且可计算非节点处导数的近似值。截断误差观察三转角关系对其求导有特别有由三转角方程求得。7-2 .7-2 .数值积分，牛顿数值积分，牛顿-柯特斯求积公式柯特斯求积公式其中（一）设a,b上有n+1 个互异节点的n次Lagrange插值多项式为插值型求积公式：求积系数与节点有关与f(x)无关.截断误差为（二）牛顿-柯特斯求积公式若取等距节点，插值型求积公式将计算方便令：令求积公式（7-2-2）化为称为n阶牛顿-柯特斯求积公式，记为：C-N公式.C

3、-N公式的截断误差为称为柯特斯系数利用n阶牛顿-柯特斯求积公式，可先计算柯特斯系数表当n=1时,意义：梯形面积近似曲边梯形面积，称为梯形公式。.当n=2时，意义：抛物线所围面积近似曲边梯形面积，称为抛物线求积公式。柯特斯系数表误差估计 （一）求积公式的代数精确度均成立，而对某个m+1次多项式，公式不精确成立，则称该求积公式具有m次代数精确度.可以验证：梯形公式具有1次代数精确度。事实上，由f(x)为1次多项式，若当f(x)为任意次数不高于m的多项式时，求积公式 若取f(x)=x2 一般由n次插值多项式导出求积公式为至少有n次代数精确度。的代数精确度。定理：定理：2n阶牛顿-柯特斯公式至少有2n

4、+1次代数精确度。例2.判别求积公式 解:记所以,例2具有5次次代数精确度。利用余项求积公式和积分中值定理，可导出低阶C-N公式的误差估计。（二）梯形公式和辛普森公式的误差估计。梯形公式截断误差为辛普森公式截断误差为练习：分别用上式计算积分的近似值，且估计误差。7-3.7-3.复化求积公式复化求积公式复化梯形公式：梯形公式截断误差为复化辛普森普森公式：求和得：复化辛普森公式截断误差:练习：根据函数表（见教材）计算积分的近似值。解:用复化梯形公式 n=41例例3、用复化求积公式计算积分的近似值，其结果4位有效数字，n应取多大？要求其结果4位有效数字,误差不超过%lexact=3.14192653

5、;a=0;b=1;fprintf(n 积分精确值积分精确值lexact=3.14192653n);fprintf(n n I Errorn);n=1;for k=1:9 n=2*n;h=(b-a)/n;i=1:n+1;x=a+(i-1)*h;f=4./(1+x.2);I=h*(sum(f)-(f(1)+f(length(f)/2);fprintf(%3.of%12.9f%12.9fn,n,I,lexact-I);end例例4、用复化求积公式计算如下积分：用复化求积公式计算如下积分：并分析抛分区间对误差的影响并分析抛分区间对误差的影响,n=2,4,8,16,32,64,128,256,512积分

6、精确值lexact=3.14192653 n I Error 2f 3.100000000 0.041926530 4f 3.131176471 0.010750059 10f 3.138988494 0.002938036 20f 3.140941612 0.000984918 40f 3.141429893 0.000496637100f 3.141551963 0.000374567200f 3.141582481 0.000344049400f 3.141590110 0.0003364201000f 3.141592018 0.000334512%lexact=3.14192653;

7、a=0;b=1;fprintf(n Simpson法计算积分);fprintf(n 精确值lexact=3.14192653；n);fprintf(n I Errorn);n=1;for k=1:9;n=2*n;h=(b-a)/n;i=1:n+1;x=a+(i-1)*h;f=4./(1+x.2);I=(h/3)*(f(1)+4*sum(f(2:2:n)+2*sum(f(3:2:n)+f(n+1);fprintf(%3.of%12.9f%12.9fn,n,I,lexact-I);endSimpson法计算积分 精确值lexact=3.14192653；n I Error 2f 3.1333333

8、33 0.008593197 4f 3.141568627 0.000357903 10f 3.141592502 0.000334028 20f 3.141592651 0.000333879 40f 3.141592654 0.000333876100f 3.141592654 0.000333876200f 3.141592654 0.000333876400f 3.141592654 0.000333876复化辛普森公式n=4.逐次分半算法1.梯形公式逐次分半算法将区间a,b分成等分n=2m，记：称T2m梯形值序列,复化梯形公式可得递推公式2.辛普森公式逐次分半算法将区间a,b分成等分

9、n=2m，记：称S2m辛普森序列,例6、用辛普森公式的逐次分半算法计算计算积分的近似值，要求误差不超过10-6。解:由公式（*）计算7-4.7-4.龙贝格求积公式（介绍）龙贝格求积公式（介绍）我们对退化的梯形公式进行修正来提高收敛速度。由复化梯形公式的误差式，有(*)(*)(*)式(*)称为龙贝格公式。我们在步长二分的过程中运用公式(*),(*),(*)修正三次，便将粗糙的梯形公式的积分值 逐步加工成精度较高度的龙贝格公式 ，这种加速方法称为龙贝格算法，其计算流程其计算流程图如下所示：图如下所示：梯形序列梯形序列辛普森辛普森序列序列柯特斯柯特斯序列序列龙贝格龙贝格序列序列例例2解解.计算结果如

10、下表计算结果如下表0123451248163233.13.1311773.1389893.1409423.1414303.1333333.1415693.1415933.1415933.1415933.1421183.1415953.1415933.1415933.1415863.1415933.1415937-5.7-5.高斯型求积公式数值积分。高斯型求积公式数值积分。1.基本思想：在节点固定时，适当选节点xk与求积系数Ak，使求积公式具有最高的代数精确度。求积公式具有m次代数精确度定义：若一组节点能使求积公式 具有2n-1次代数精确度,称该组节点为高斯点，上式称为带权函数的p(x)高斯型求

11、积公式。2、高斯型点与正交多项式的关系 定理：求积公式 的节点是高斯点充要条件是函数 例4、确定使求积公式具有3次代数精确度。解：取为任意三次多项若有3次代数精确度，则 比较上两式有特别取 它是高斯点。代入 特别取所求求积公式 具有3次代数精确度。3.高斯型求积公式的误差 设f(x)在a,b上2n阶连续可微，则带权函数 的高斯型求积公式的余项为 4.常用的高斯型求积公式 高斯-勒让德求积公式 区间-1,1上的勒让德多项式是关于权函数 的正交系，表达式为 n次勒让德多项式的零点是带权函数 的高斯型求积公式的高斯点，求积系数 该方法所得公式为高斯-勒让德求积公式。两个节点的高斯-勒让德求积公式：高

12、斯-勒让德求积公式截断误差：高斯-切比雪夫求积公式 切比雪夫多项式是-1,1上关于权函数 的正交多项式系，表达式为n次切比雪夫多项式的零点是,以xk为节点求积系数 带有权函数 的高斯型求积公式：该方法所得公式为高斯-切比雪夫求积公式。高斯-切比雪夫求积公式截断误差：高斯-拉盖尔求积公式 拉盖尔多项式 是 上关于权函数 的正交多项式系，以n次拉盖尔多项式的零点为高斯点导出的高斯型求积公式称为高斯-拉盖尔求积公式，求积系数：高斯-拉盖尔求积公式截断误差：高斯-埃尔米特求积公式 求积公式 称为高斯-埃尔米特求积公式，其中节点 为n次埃尔米特多项式 的n个零点，求积系数：高斯-埃尔米特求积公式截断误差：主要内容：1,数值微分 2,数值积分，牛顿-柯特斯求积公式3,复化求积公式 4,高斯型求积公式数值积分5,龙贝格求积公式（介绍）本章小结本章小结end