高考数学专题辅导与训练配套课件：6.2圆锥曲线的概念与性质和存在性问题与曲线中的证明(湖北专供-数学文).ppt

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1、第二讲 圆锥曲线的概念与性质和存在性问题与曲线中的证明【考情快报考情快报】高考对本节知识的考查主要有以下两种形式：高考对本节知识的考查主要有以下两种形式：(1)1)以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准以选择、填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质方程、性质(特别是离心率特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题考查基础知识、基本技能，属于基础题.(2)(2)以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知质及标准

2、方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现形式出现.该部分题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、该部分题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题，一般难度较大一般难度较大.【核心自查核心自查】一、主干构建一、主干构建1.1.椭圆的定义椭圆的定义平面内，到两定点平面内，到两定点F F1 1，F F2 2距离之和距离之和_定长定长(大于两定点之距大于两定点之距)的点的轨迹叫做

3、椭圆的点的轨迹叫做椭圆.2.2.双曲线的定义双曲线的定义平面内，到两定点平面内，到两定点F F1 1，F F2 2距离之差的距离之差的_等于定长等于定长(小于两小于两定点之距定点之距)的点的轨迹叫做双曲线的点的轨迹叫做双曲线.提醒：提醒：椭圆、双曲线定义中定长大于、等于、小于两定点之距，椭圆、双曲线定义中定长大于、等于、小于两定点之距，其轨迹是不同的，此处容易出错其轨迹是不同的，此处容易出错.等于等于绝对值绝对值二、概念理解二、概念理解3.3.抛物线的定义抛物线的定义平面内与一个定点平面内与一个定点F F和一条定直线和一条定直线l(l不经过点不经过点F)F)距离距离_的点的点的轨迹叫做抛物线的

4、轨迹叫做抛物线.三、重要公式三、重要公式1.1.椭圆的标准方程椭圆的标准方程(1)(1)焦点在焦点在x x轴上的椭圆的标准方程为轴上的椭圆的标准方程为 _(ab0)_(ab0)；(2)(2)焦点在焦点在y y轴上的椭圆的标准方程为轴上的椭圆的标准方程为 _(ab0)._(ab0).提醒：提醒：当当a0,b0a0,b0时，方程时，方程 不一定表示椭圆不一定表示椭圆.相等相等2.2.双曲线的标准方程双曲线的标准方程(1)(1)焦点在焦点在x x轴上的双曲线的标准方程为轴上的双曲线的标准方程为 _(a0_(a0，b0)b0)；(2)(2)焦点在焦点在y y轴上的双曲线的标准方程为轴上的双曲线的标准方

5、程为 _(a0_(a0，b0).b0).3.3.椭圆、双曲线中椭圆、双曲线中a a，b b，c c之间的关系之间的关系(1)(1)在椭圆中：在椭圆中：_；离心率为；离心率为_；(2)(2)在双曲线中：在双曲线中：_；离心率为；离心率为_._.a a2 2=b=b2 2+c+c2 2c c2 2=b=b2 2+a+a2 24.4.双曲线中的渐近线方程双曲线中的渐近线方程(1)(1)双曲线双曲线 的渐近线方程为的渐近线方程为_；(2)(2)双曲线的渐近线方程为双曲线的渐近线方程为_._.提醒：提醒：双曲线的渐近线方程中一定要注意其斜率是双曲线的渐近线方程中一定要注意其斜率是 还是还是 .5.5.抛

6、物线的标准方程、焦点坐标以及准线方程抛物线的标准方程、焦点坐标以及准线方程(1)(1)抛物线抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)的焦点坐标为的焦点坐标为_,_,准线方程为准线方程为_._.(2)(2)抛物线抛物线y y2 2=-2px(p0)=-2px(p0)的焦点坐标为的焦点坐标为_，准线方程为，准线方程为_._.(3)(3)抛物线抛物线x x2 2=2py(p0)=2py(p0)的焦点坐标为的焦点坐标为_,_,准线方程为准线方程为_._.(4)(4)抛物线抛物线x x2 2=-2py(p0)=-2py(p0)的焦点坐标为的焦点坐标为_，准线方程为，准线方程为_.热点考向热点考

7、向 一一 圆锥曲线的方程与性质圆锥曲线的方程与性质【典例典例】1.(20121.(2012新课标全国卷新课标全国卷)设设F F1 1，F F2 2是椭圆是椭圆E E：的左、右焦点，的左、右焦点，P P为直线为直线 上一点，上一点，F F1 1PFPF2 2是底角为是底角为3030的等腰三角形，则的等腰三角形，则E E的离心率为的离心率为()()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)2.(20122.(2012哈尔滨模拟哈尔滨模拟)设设M(xM(x0 0,y,y0 0)为抛物线为抛物线C:xC:x2 2=8y=8y上一点，上一点，F F为抛物线为抛物线C C的焦点，以的焦点，以F F为

8、圆心，为圆心，|FM|FM|为半径的圆和抛物线的准为半径的圆和抛物线的准线相交，则线相交，则y y0 0的取值范围是的取值范围是()()(A)(0,2)(B)(A)(0,2)(B)0,20,2(C)(2,+)(D)(C)(2,+)(D)2,+)2,+)3.(20123.(2012嘉兴模拟嘉兴模拟)设双曲线设双曲线 的右焦点为的右焦点为F F，过点，过点F F作与作与x x轴垂直的直线轴垂直的直线l交两渐近线于交两渐近线于A A，B B两点，与双曲两点，与双曲线的其中一个交点为线的其中一个交点为P P，设，设O O为坐标原点，若为坐标原点，若 且且 则该双曲线的离心率为则该双曲线的离心率为()(

9、)(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【解题指导解题指导】1.1.设直线设直线 与与x x轴交于点轴交于点M M，用，用a,ca,c表示出表示出PFPF2 2和和F F2 2M M，寻求，寻求a a，c c所满足的数量关系，求得离心率所满足的数量关系，求得离心率.2.2.先求出先求出F F点的坐标，再利用直线与圆相交时圆心到直线的距点的坐标，再利用直线与圆相交时圆心到直线的距离小于半径，即可求出离小于半径，即可求出y y0 0的取值范围的取值范围.3.3.可先求出可先求出A A，B B两点的坐标，再利用两点的坐标，再利用 得出得出a a，b b，c c的关系，进而求出离心率的关系，

10、进而求出离心率.【解析解析】1.1.选选C.C.设直线设直线 与与x x轴交于点轴交于点M M，则，则PFPF2 2M=60M=60,在在RtPFRtPF2 2M M中，中，PFPF2 2=F=F1 1F F2 2=2c=2c，故，故coscos 60 60=,解得解得 故离心率故离心率2.2.选选C.C.依题意得：依题意得：F(0,2)F(0,2)，准线方程为，准线方程为y=-2,y=-2,又又以以F F为圆心，为圆心，FMFM为半径的圆和抛物线的准线相交，且为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM|=|y|FM|=|y0 0+2|,+2|,|FM|4|FM|4，即，即|y|y0 0+2|4+

11、2|4，又，又y y0 00,y0,y0 02.2.3.3.选选C.C.依题意令依题意令 代入代入 得得 代入双曲线方程，得代入双曲线方程，得4e4e2 2mn=1mn=1，即可，即可得得【拓展提升拓展提升】1.1.圆锥曲线定义的应用圆锥曲线定义的应用(1)(1)灵活应用抛物线的定义，注意抛物线上的点到焦点的距离与灵活应用抛物线的定义，注意抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的相互转化；到准线的距离的相互转化；(2)(2)椭圆、双曲线的定义中的定长是求解问题的关键椭圆、双曲线的定义中的定长是求解问题的关键.2 2圆锥曲线性质的应用圆锥曲线性质的应用(1)(1)分析圆锥曲线中分析圆锥曲线中a

12、a，b b，c c，e e各量之间的关系是求解问题的各量之间的关系是求解问题的关键关键.(2)(2)求椭圆、双曲线的离心率求椭圆、双曲线的离心率,关键是根据已知条件确定关键是根据已知条件确定a a，b b，c c的等量关系的等量关系,然后把然后把b b用用a a，c c代换代换,求求 的值；在双曲线中由于的值；在双曲线中由于 故双曲线的渐近线与离心率密切相关故双曲线的渐近线与离心率密切相关.热点考向热点考向 二二 圆锥曲线的存在性问题圆锥曲线的存在性问题【典例典例】(2012(2012昆明模拟昆明模拟)已知抛物线已知抛物线P P：y y2 2=4x=4x的焦点为的焦点为F F，经，经过点过点H

13、(4H(4，0)0)作直线与抛物线作直线与抛物线P P相交于相交于A A，B B两点，设两点，设A(xA(x1 1,y,y1 1),B),B(x(x2 2,y,y2 2).).(1)(1)求求y y1 1y y2 2的值；的值；(2)(2)是否存在常数是否存在常数a a，当点，当点M M在抛物线在抛物线P P上运动时，直线上运动时，直线x=ax=a都与都与以以MFMF为直径的圆相切？若存在，求出所有为直径的圆相切？若存在，求出所有a a的值；若不存在，的值；若不存在，请说明理由请说明理由.【解题指导解题指导】(1)(1)可依据可依据A A，H H，B B三点共线，得出关于三点共线，得出关于x

14、x1 1,x,x2 2,y,y1 1,y,y2 2的等式，再依据的等式，再依据A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2)在抛物线上，消在抛物线上，消去即可得出结论；去即可得出结论；(2)(2)先假设直线与圆相切，由相切的充要条先假设直线与圆相切，由相切的充要条件可得出关于件可得出关于a a的等式，判断方程解的情况即可的等式，判断方程解的情况即可.【解析解析】(1)A(x(1)A(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),H(4,0).),H(4,0).A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),H(4,0)

15、,H(4,0)在一条直线上，在一条直线上，(x(x1 1-4)y-4)y2 2-(x-(x2 2-4)y-4)y1 1=0.=0.A(xA(x1 1,y,y1 1)，B(xB(x2 2,y,y2 2)都在抛物线都在抛物线y y2 2=4x=4x上，上，即即根据已知得根据已知得y y1 1yy2 2.y.y1 1y y2 2=-16.=-16.(2)(2)存在存在.FF是抛物线是抛物线P P的焦点，的焦点，F(1F(1，0)0)，设，设M(x,yM(x,y)，且，且y y2 2=4x,=4x,则则MFMF的中点为的中点为直线直线x=ax=a与以与以MFMF为直径的圆相切的充要条件是为直径的圆相切

16、的充要条件是 到直到直线线x=ax=a的距离等于的距离等于即即对于抛物线对于抛物线P P上的任意一点上的任意一点M M，直线，直线x=ax=a都与以都与以MFMF为直径的圆为直径的圆相切，相切，关于关于x x的方程的方程ax=aax=a2 2-a-a对任意的对任意的x0 x0都要成立都要成立.解得解得a=0.a=0.存在常数存在常数a,a,并且仅有并且仅有a=0a=0满足：满足：“当点当点M M在抛物线在抛物线P P上运动时，上运动时，直线直线x=ax=a都与以都与以MFMF为直径的圆相切为直径的圆相切”.【拓展提升拓展提升】1.1.解决存在性问题的关注点解决存在性问题的关注点求解存在性问题，

17、先假设存在，推证满足条件的结论，若结论求解存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在正确，则存在；若结论不正确，则不存在.(1)(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论当条件和结论不唯一时要分类讨论.(2)(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件条件.2.2.存在性问题的解题步骤存在性问题的解题步骤热点考向热点考向 三三 圆锥曲线中的证明问题圆锥曲线中的证明问题【典例典例】(12(12分分)(2012)(2012安徽高考安徽高考)如图，如图，F F1 1(-c,0),F(-c,0)

18、,F2 2(c,0)(c,0)分别是椭圆分别是椭圆 的左、右焦点，过点的左、右焦点，过点F F1 1作作x x轴轴的垂线交椭圆的上半部分于点的垂线交椭圆的上半部分于点P P，过点，过点 F F2 2作直线作直线PFPF2 2的垂线交直的垂线交直线线 于点于点Q Q；(1)(1)若点若点Q Q的坐标为的坐标为(4,4)(4,4)，求椭圆，求椭圆C C的方程；的方程；(2)(2)证明：直线证明：直线PQPQ与椭圆与椭圆C C只有一个交点只有一个交点.【解题指导解题指导】(1)(1)求椭圆方程可转化为求求椭圆方程可转化为求a,ba,b的值，再转化为寻的值，再转化为寻找含有找含有a,ba,b的方程的方

19、程.由由Q Q坐标得出一个坐标得出一个.由由PFPF2 2QFQF2 2得出一个，结得出一个，结合合c c2 2=a=a2 2-b-b2 2解出解出a,ba,b，求出椭圆的方程；，求出椭圆的方程；(2)(2)该问题转化为证明该问题转化为证明直线直线PQPQ与椭圆与椭圆C C相切即可相切即可.【规范解答规范解答】(1)(1)将点将点P(-c,yP(-c,y1 1)(y)(y1 10)0)代入代入 得：得：2 2分分PFPF2 2QFQF2 2 即即2b2b2 2=ac(4-c)=ac(4-c)又又Q(4,4),Q(4,4),c c2 2=a=a2 2-b-b2 2(a,b,c(a,b,c0)0)

20、4 4分分由由得：得：a=2,c=1,b=a=2,c=1,b=即椭圆即椭圆C C的方程为的方程为 6 6分分(2)(2)设设 由由(1)(1)知知 8 8分分1010分分过点过点P P且与椭圆且与椭圆C C相切的直线的斜率相切的直线的斜率k=k=y|y|x x=-c=-c=得：直线得：直线PQPQ与椭圆与椭圆C C只有一个交点只有一个交点.1212分分 【拓展提升拓展提升】1.1.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法直线与圆锥曲线位置关系的判断方法(1)(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量(如如y)y)得出得出方程方程AxAx2 2+Bx+C=

21、0+Bx+C=0；(2)(2)对于方程对于方程AxAx2 2+Bx+C=0+Bx+C=0，若，若A=0A=0，则圆锥曲线可能为双曲线或，则圆锥曲线可能为双曲线或抛物线，此时直线与圆锥曲线只有一个交点；若抛物线，此时直线与圆锥曲线只有一个交点；若A0A0，则当，则当0 0时，直线与圆锥曲线有两个交点；当时，直线与圆锥曲线有两个交点；当0 0时，直线与圆锥时，直线与圆锥曲线有一个交点；当曲线有一个交点；当0 0时，直线与圆锥曲线没有交点时，直线与圆锥曲线没有交点.提醒：提醒：A=0A=0这一情形易忽略这一情形易忽略.2.2.直线与圆锥曲线相切时，切线斜率的求法直线与圆锥曲线相切时，切线斜率的求法(

22、1)(1)可由直线方程与圆锥曲线方程联立，利用判别式等于零求可由直线方程与圆锥曲线方程联立，利用判别式等于零求解；解；(2)(2)将圆锥曲线方程转化为函数，利用导函数值求斜率将圆锥曲线方程转化为函数，利用导函数值求斜率.【思想诠释思想诠释】与圆锥曲线有关问题中的方程思想、转化与化归思想与圆锥曲线有关问题中的方程思想、转化与化归思想(1)(1)本题中的方程思想、转化与化归思想主要体现在：本题中的方程思想、转化与化归思想主要体现在：求求a,b,ca,b,c的值的值,利用已知条件得出关于利用已知条件得出关于a,b,ca,b,c的方程，解方程的方程，解方程即可；即可；求椭圆的方程转化为求求椭圆的方程转

23、化为求a,b,ca,b,c的值；的值；证明直线与椭圆只有一个交点转化为证明直线与椭圆相切证明直线与椭圆只有一个交点转化为证明直线与椭圆相切.(2)(2)与圆锥曲线有关问题中的方程思想、转化与化归思想主要与圆锥曲线有关问题中的方程思想、转化与化归思想主要体现在：体现在：求求a,b,c,ea,b,c,e的值经常利用方程的思想，解方程即可求得；的值经常利用方程的思想，解方程即可求得；求圆锥曲线方程常常转化为求相关系数的值；求圆锥曲线方程常常转化为求相关系数的值；证明垂直问题常常转化为证明斜率之积为证明垂直问题常常转化为证明斜率之积为-1-1；判断直线与圆锥曲线位置关系、交点的个数问题常常转化为判断直

24、线与圆锥曲线位置关系、交点的个数问题常常转化为方程解的个数问题；方程解的个数问题；证明三点共线问题可以转化为斜率相等或求直线方程，将另证明三点共线问题可以转化为斜率相等或求直线方程，将另一个点代入一个点代入.1.(1.(定义新定义新)由于方程由于方程17x17x2 2-16|x|y+17y-16|x|y+17y2 2=225=225的曲线呈的曲线呈“心心”的的形状，因此，人们称之为形状，因此，人们称之为“爱心方程式爱心方程式”.此此“爱心方程式爱心方程式”所表示的曲线关于所表示的曲线关于_对称对称()()(A)xA)x轴轴 (B)yB)y轴轴(C)(C)直线直线y=x (D)y=x (D)原点

25、原点【解析解析】选选B.B.在方程在方程17x17x2 2-16|x|y+17y-16|x|y+17y2 2=225=225中，用中，用-x-x代替代替x x方方程不变，程不变，该方程表示的曲线关于该方程表示的曲线关于y y轴对称轴对称.2.(2.(背景新背景新)已知直线已知直线y=k(x-3)y=k(x-3)与双曲线与双曲线 有如下信有如下信息：联立方程组息：联立方程组 消去消去y y后得到方程后得到方程AxAx2 2+Bx+C=0+Bx+C=0，分类讨论：，分类讨论：(1)(1)当当A=0A=0时，该方程恒有一解；时，该方程恒有一解；(2)(2)当当A0A0时，时，=B=B2 2-4AC0

26、-4AC0恒成立恒成立.在满足所提供信息的前提在满足所提供信息的前提下，双曲线离心率的取值范围是下，双曲线离心率的取值范围是()()(A)(A)9,+)(B)(1,99,+)(B)(1,9(C)(1,2(C)(1,2 (D)(D)2,+)2,+)【解析解析】选选D.D.由由(1)(1)知，知，m9,m9,由由(2)(2)得得 离心率离心率3.(3.(交汇新交汇新)已知圆已知圆(x-a)(x-a)2 2+(y-b)+(y-b)2 2=r=r2 2的圆心为抛物线的圆心为抛物线y y2 2=4x=4x的焦的焦点点,且与直线且与直线3x+4y+2=03x+4y+2=0相切相切,则该圆的方程为则该圆的方

27、程为()()(D)x (D)x2 2+(y-1)+(y-1)2 2=1=1【解析解析】选选C.C.抛物线抛物线y y2 2=4x=4x的焦点为的焦点为(1,0)(1,0)，则，则a=1,b=0,a=1,b=0,所以圆的方程为所以圆的方程为(x-1)(x-1)2 2+y+y2 2=1.=1.4.(4.(交汇新交汇新)椭圆椭圆 上有上有n n个不同的点个不同的点P P1 1，P P2 2，P Pn n(nN(nN*)，F F是右焦点，是右焦点，P Pn nF F 组成公差组成公差 的等差数的等差数列，则列，则n n的最大值为的最大值为()()(A)99 (B)100 (C)199 (D)200(A

28、)99 (B)100 (C)199 (D)200【解析解析】选选D.D.因为因为 所以所以 进而有进而有n n100(100(P Pn nF F-P P1 1F F)+1(n2)+1(n2)，若使，若使n n的值最大，只需的值最大，只需100(100(P Pn nF F-P P1 1F F)+1(n2)+1(n2)最大，即使最大，即使P Pn nF F-P P1 1F F最大，而最大，而(P Pn nF F-P P1 1F F)maxmax=3-1=2=3-1=2，n n201201，n n的最大值为的最大值为200200，故选，故选D.D.5.(5.(交汇新交汇新)已知圆已知圆O O：x x

29、2 2+y+y2 22 2交交x x轴于轴于A A，B B两点，曲线两点，曲线C C是以是以ABAB为长轴，离心率为为长轴，离心率为 的椭圆，其左焦点为的椭圆，其左焦点为F F若若P P是圆是圆O O上一上一点，连结点，连结PFPF，过原点，过原点O O作直线作直线PFPF的垂线交直线的垂线交直线x=-2x=-2于点于点Q Q(1)(1)求椭圆求椭圆C C的标准方程；的标准方程；(2)(2)若点若点P P的坐标为的坐标为(1(1，1)1)，求证：，求证：直线直线PQPQ与圆与圆O O相切；相切；(3)(3)试探究：当点试探究：当点P P在圆在圆O O上运动时上运动时(不与不与A A，B B重合

30、重合)，直线，直线PQPQ与圆与圆O O是否保持相切的位置关系？若是，是否保持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由请证明；若不是，请说明理由【解析解析】(1)(1)因为因为 所以所以c=1c=1，则则b=1b=1，即椭圆，即椭圆C C的标准方程为的标准方程为 (2)(2)因为因为P(1P(1，1)1)，所以，所以所以所以k kOQOQ=-2=-2，所以直线，所以直线OQOQ的方程为的方程为y=-2x.y=-2x.又又Q Q在直线在直线x=-2x=-2上，所以点上，所以点Q(Q(-2 2，4)4)，k kPQPQ=-1,=-1,又又k kOPOP=1,=1,k kOPOPk kPQPQ=-1,=-1,即即PQOPPQOP，故直线，故直线PQPQ与圆与圆O O相切相切.(3)(3)当点当点P P在圆在圆O O上运动时，直线上运动时，直线PQPQ与圆与圆O O保持相切的位置关系保持相切的位置关系.设设P(xP(x0 0,y,y0 0)(x)(x0 0)，则，则 所以所以所以直线所以直线OQOQ的方程为的方程为 所以点所以点所以所以 又又所以所以k kOPOPk kPQPQ=-1=-1，即，即OPPQ(POPPQ(P不与不与A A，B B重合重合)，故直线，故直线PQPQ始终与始终与圆圆O O相切相切.