高数极限方法.ppt

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1、 第一章 第三节机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的极限 一、函数极限的定义一、函数极限的定义二、函数极限的性质二、函数极限的性质一、函数极限的定义一、函数极限的定义机动 目录 上页 下页 返回 结束 比较数列极限与函数极限：比较数列极限与函数极限：与与例如：例如：说明以下两个极限的区别和联系说明以下两个极限的区别和联系xyo1 2 3NX二者的不同主要表现在自变量的变化方式上二者的不同主要表现在自变量的变化方式上.自变量两种基本变化趋势自变量两种基本变化趋势 趋向于无穷趋向于无穷 趋向于一点趋向于一点 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大

2、时函数的极限定义定义1.设函数设函数大于某一正数时有定义大于某一正数时有定义,若若则称常数则称常数时的时的极限极限,几何解释几何解释:记作记作直线直线 y=A 为曲线为曲线的的水平渐近线水平渐近线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 A 为函数为函数例例1.证明证明证证:取取因此因此就有就有故故欲使欲使即即机动 目录 上页 下页 返回 结束 注注:机动 目录 上页 下页 返回 结束 两种特殊情况两种特殊情况:直线直线 y=A 仍是曲线仍是曲线 y=f(x)的渐近线的渐近线.当当时时,有有当当时时,有有几何意义几何意义:机动 目录 上页 下页 返回 结束 xyo例如例如2、自变量趋于有限值时函数

3、的极限自变量趋于有限值时函数的极限机动 目录 上页 下页 返回 结束 引例引例我们可以说，我们可以说，【结论结论】机动 目录 上页 下页 返回 结束 是否有定义无关是否有定义无关.规定规定引例引例2定义，定义，定义定义1.设函数设函数在点在点的某去心的某去心邻域内有定义邻域内有定义,当当时时,有有则称常数则称常数 A 为函数为函数当当时的时的极限极限,或或即即当当时时,有有若若记作记作几何解释几何解释:机动 目录 上页 下页 返回 结束 左极限与右极限左极限与右极限左左极限极限:机动 目录 上页 下页 返回 结束 当当时时,有有右极限右极限:当当时时,有有例例2.设函数设函数讨论讨论 时时,的

4、的极限是否存在极限是否存在.解解:因为因为机动 目录 上页 下页 返回 结束 显然显然所以所以不不存在存在.例例3.证明证明证证:故故对对任意的任意的当当时时,因此因此总有总有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.证明证明证证:欲使欲使取取则当则当时时,必有必有因此因此只要只要机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.证明证明证证:故故取取当当时时,必有必有因此因此机动 目录 上页 下页 返回 结束【小结小结】机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.证明证明:当当证证:欲使欲使且且而而可用可用因此因此只要只要时，时，故取故取则当则当时时,保证保证.必有必有机动 目录 上页 下页 返

5、回 结束 二、函数极限的性质二、函数极限的性质定理定理1.（函数极限的唯一性）（函数极限的唯一性）机动 目录 上页 下页 返回 结束 那么这极限唯一那么这极限唯一.定理定理2.（函数极限的局部有界性）（函数极限的局部有界性）那么存在常数那么存在常数 M 0 和和 0，使得当使得当时时,有有证证:因为因为当当时时,有有记记定理定理3.（函数极限的局部保号性）（函数极限的局部保号性）如果如果且且 A 0,则存在则存在机动 目录 上页 下页 返回 结束(A 0 时时,取取正数正数则在对应的邻域则在对应的邻域(0)若取若取则在对应的邻域则在对应的邻域上上 若若则则存在存在使当使当时时,有有定理定理 :

6、分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论.若在若在的某去心的某去心邻域内邻域内,且且 则则思考思考:若定理若定理 2 中的条件改为中的条件改为是否必有是否必有不能不能!如如 机动 目录 上页 下页 返回 结束 证证:用反证法用反证法.则由则由定理定理 1,的某去心的某去心邻域邻域,使在该使在该邻域内邻域内与已知与已知所以假设不真所以假设不真,(同样可证同样可证的的情形情形)存在存在假设假设 A 0,条件矛盾条件矛盾,故故内容小结内容小结1.函数极限的函数极限的或或定义及应用定义及应用2.函数极限的性质函数极限的性质:唯一性、唯一性、局部局部有界性、保号性有界性、保号性机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.两个等价定理两个等价定理:思考与练习思考与练习1.若极限若极限存在存在,是否一定有是否一定有？否否连续连续2.设函数设函数且且存在存在,则则 作业作业 P38 4 机动 目录 上页 下页 返回 结束