第四章 估计与假设检验.ppt

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1、第四章第四章估计与假设检验估计与假设检验当代国际最著名的统计学家之一当代国际最著名的统计学家之一C.R劳：劳：在终极的分析中，一切知识都是历史；在终极的分析中，一切知识都是历史；在抽象的意义下，一切科学都是数学；在抽象的意义下，一切科学都是数学；在理性的世界里，所有的判断都是统计学。在理性的世界里，所有的判断都是统计学。2第一节第一节统计推断统计推断一、统计推断一、统计推断p统计推断统计推断包括参数估计和假设检验，即通过样本统计量来包括参数估计和假设检验，即通过样本统计量来估计和检验总体的参数。估计和检验总体的参数。p统计推断的目的在于认识未知的总体参数及其分布特征。统计推断的目的在于认识未知

2、的总体参数及其分布特征。3总体总体选择个体选择个体样本样本观测样本观测样本样本观察值样本观察值(数据数据)数据处理数据处理样本有关结论样本有关结论推断总体性质推断总体性质统计量统计量统计推断的一般步骤统计推断的一般步骤p抽样分布抽样分布是统计推断的理论基础是统计推断的理论基础4二、抽样分布二、抽样分布区别以下分布：区别以下分布：n总体分布（总体分布（populationdistribution）：总体内）：总体内个体个体数值的次数分布。数值的次数分布。n样本分布（样本分布（sampledistribution）：样本内）：样本内个体个体数数值的次数分布。值的次数分布。n抽样分布（抽样分布（sa

3、mplingdistribution）：根据所有可能）：根据所有可能的样本观察值计算出来的某一种的样本观察值计算出来的某一种统计量统计量的观察值的观察值的概率分布。的概率分布。5从总体分布到抽样分布从总体分布到抽样分布n总体总体X的概率分布的概率分布n这是一个均匀分布（这是一个均匀分布（uniformdistribution）总体）总体住户住户第一户第一户第二户第二户第三户第三户第四户第四户第五户第五户日支出日支出(X)(X)20202525303035354040户数户数1 11 11 11 11 1概率概率0.200.200.200.200.200.200.200.200.200.206总

4、体总体X的概率分布图的概率分布图7总体平均数和总体方差总体平均数和总体方差 8样本（样本（n=2）的所有可能结果）的所有可能结果第一户第一户第二户第二户第三户第三户第四户第四户第五户第五户第一户第一户(20,20)(20,20)M M=20=20(25,20)(25,20)M M=22.5=22.5(30,20)(30,20)M M=25=25(35,20)(35,20)M M=27.5=27.5(40,20)(40,20)M M=30=30第二户第二户(20,25)(20,25)M M=22.5=22.5(25,25)(25,25)M M=25=25(30,25)(30,25)M M=27.

5、5=27.5(35,25)(35,25)M M=30=30(40,25)(40,25)M M=32.5=32.5第三户第三户(20,30)(20,30)M M=25=25(25,30)(25,30)M M=27.5=27.5(30,30)(30,30)M M=30=30(35,30)(35,30)M M=32.5=32.5(40,30)(40,30)M M=35=35第四户第四户(20,35)(20,35)M M=27.5=27.5(25,35)(25,35)M M=30=30(30,35)(30,35)M M=32.5=32.5(35,35)(35,35)M M=35=35(40,35)(4

6、0,35)M M=37.5=37.5第五户第五户(20,40)(20,40)M M=30=30(25,40)(25,40)M M=32.5=32.5(30,40)(30,40)M M=35=35(35,40)(35,40)M M=37.5=37.5(40,40)(40,40)M M=40=409样本（样本（n=2）的平均数的抽样分布）的平均数的抽样分布平均数平均数202022.522.5252527.527.5303032.532.5353537.537.54040次数次数1 12 23 34 45 54 43 32 21 1概率概率.04.04.08.08.12.12.16.16.20.20

7、.16.16.12.12.08.08.04.0410样本样本(n=2)的平均数的抽样分布图的平均数的抽样分布图11抽样分布：抽样分布：从一个给定的总体中抽取（不论是否从一个给定的总体中抽取（不论是否有放回）容量（或大小）为有放回）容量（或大小）为n的所有可能的样的所有可能的样本，对于每一个样本，计算出某个统计量（如本，对于每一个样本，计算出某个统计量（如样本均值或标准差）的值，不同的样本得到的样本均值或标准差）的值，不同的样本得到的该统计量的值是不一样的，由此得到这个统计该统计量的值是不一样的，由此得到这个统计量的分布，称之为抽样分布。量的分布，称之为抽样分布。n例如：如果特指的统计量是样本均

8、值，则此分例如：如果特指的统计量是样本均值，则此分布为均值的抽样分布。类似的有标准差、方差、布为均值的抽样分布。类似的有标准差、方差、中位数、比例的抽样分布。中位数、比例的抽样分布。12抽样误差抽样误差：某个样本的统计量和总体参数之某个样本的统计量和总体参数之间的差异间的差异n抽样误差的性质：通常用抽样分布的标准抽样误差的性质：通常用抽样分布的标准差表示，标准差越小，抽样分布越集中，差表示，标准差越小，抽样分布越集中，样本代表总体的可靠性就越大样本代表总体的可靠性就越大不同总体情况下平均数的抽样分布不同总体情况下平均数的抽样分布示意图示意图14三、抽样分布原理三、抽样分布原理基本符号：基本符号

9、：总体总体A=a1,a2,aN,|A|=N从总体中抽取从总体中抽取n个对象构成样本，共有个对象构成样本，共有k个样本，设样个样本，设样本的符号为本的符号为A1,A2,Ak,（有放回）（有放回）,|Ai|=n,i=1,2,k每一个样本每一个样本Ai的分布平均数是的分布平均数是，标准差是，标准差是si这些平均数这些平均数构成总体构成总体A的一个平均数抽样分布。的一个平均数抽样分布。用用表示它的平均数，表示它的平均数，是标准差是标准差抽样平均数的平抽样平均数的平均误差。均误差。15（一）被抽样的总体服从正态分布，样本的抽样分（一）被抽样的总体服从正态分布，样本的抽样分布具有下列性质：布具有下列性质：

10、1、从正态分布的总体中抽样，其分布依然是正态、从正态分布的总体中抽样，其分布依然是正态分布；分布；2、从正态分布的总体中抽样，样本平均数的平均、从正态分布的总体中抽样，样本平均数的平均数数等于总体平均数等于总体平均数；3、从正态分布的总体中抽样，抽样分布的标准差、从正态分布的总体中抽样，抽样分布的标准差小于总体的标准差小于总体的标准差；样本容量越大，平均误差；样本容量越大，平均误差越小。越小。抽样分布的原理抽样分布的原理16样本平均数（均值）的标准差的计算公式样本平均数（均值）的标准差的计算公式当总体为有限总体无放回抽样时，其样本均值标准当总体为有限总体无放回抽样时，其样本均值标准差为：差为：

11、如果总体为无限总体的或抽取是有放回的，其样本如果总体为无限总体的或抽取是有放回的，其样本均值标准差为：均值标准差为：为有限总体修正系数为有限总体修正系数可省略修正系数可省略修正系数17（二）被抽样的总体不服从正态分布，非正态（二）被抽样的总体不服从正态分布，非正态总体样本平均数的分布又如何总体样本平均数的分布又如何1 1、中心极限定理可以解决上述问题：、中心极限定理可以解决上述问题：一个具有任意函数形式的总体，其样本一个具有任意函数形式的总体，其样本平均值平均值和方差和方差 有限。在对该总体进行抽有限。在对该总体进行抽样时，随着样本容量样时，随着样本容量n n的增大，由这些平均的增大，由这些平

12、均样本算出的平均数的抽样分布将近似服从平样本算出的平均数的抽样分布将近似服从平均数为均数为和方差为和方差为 的正态分布。的正态分布。182 2、样本容量究竟该多大才能使抽样分布逼近、样本容量究竟该多大才能使抽样分布逼近于正态分布？于正态分布？中心极限定理说明了不仅从正态总体抽中心极限定理说明了不仅从正态总体抽取样本时，样本平均数这一统计量要服从取样本时，样本平均数这一统计量要服从正态分布，即使是从非正态总体进行抽样，正态分布，即使是从非正态总体进行抽样，只要是大样本（容量只要是大样本（容量n n3030），），样本平均数样本平均数也趋向于正态分布。也趋向于正态分布。19第二节第二节点估计点估计

13、一、点估计一、点估计估计某一个总体参数的具体值估计某一个总体参数的具体值X1,Xn未知参数未知参数样本样本统计量统计量对一次具体的抽样对一次具体的抽样=d(X1,Xn)20二、点估计量优劣的判别标准二、点估计量优劣的判别标准衡量一个估计量好坏的标准通常有以下衡量一个估计量好坏的标准通常有以下3个：个：(1)无偏性无偏性(2)一致性一致性(3)有效性有效性(4)充分性充分性214.几种总体参数的点估计量几种总体参数的点估计量22第三节第三节区间估计区间估计n某种意义上说：点估计称某种意义上说：点估计称:“池中有池中有XXX条条鱼鱼”，几乎没法评价，又几乎非错不可，几乎没法评价，又几乎非错不可，换

14、一个人再估计也未必能准确。换一个人再估计也未必能准确。n换一种提法换一种提法n区间估计区间估计：指出未知参数在一定概率：指出未知参数在一定概率(可靠可靠程度程度)下，可能在的范围。下，可能在的范围。23一、置信区间与置信度一、置信区间与置信度一、置信区间与置信度一、置信区间与置信度则称则称1 为置信度为置信度(或置信水平或置信水平)；上级的问题上级的问题工作人员的回工作人员的回答答置信度置信度置信区间置信区间调查能在半年内完成吗？调查能在半年内完成吗？没有问题，肯没有问题，肯定能做好定能做好98%以上以上6个月个月调查能在调查能在5个月内完成吗？个月内完成吗？抓抓紧，可以抓抓紧，可以完成完成9

15、0%5个月个月调查能在调查能在4个月内完成吗？个月内完成吗？找个人帮忙，找个人帮忙，也许能行也许能行62%4个月个月调查能在调查能在3个月内完成吗？个月内完成吗？想想办法，试想想办法，试试看，说不定试看，说不定行行30%3个月个月调查能在调查能在1个月内完成吗？个月内完成吗？几乎不可能几乎不可能1.5%1个月个月置信度与置信区间的关系置信度与置信区间的关系当完成任务的期限比较宽松时，能完成任务的把握就越当完成任务的期限比较宽松时，能完成任务的把握就越大；反之，完成任务的期限就很紧，在限期内完成任务大；反之，完成任务的期限就很紧，在限期内完成任务的承诺也变得不那么可靠的承诺也变得不那么可靠25

16、置信度越大，则置信区间越长，反之亦然。置信度越大，则置信区间越长，反之亦然。若要同时使置信度尽可能的大和置信区间尽可能若要同时使置信度尽可能的大和置信区间尽可能的小，只有提高样本容量的小，只有提高样本容量n。置信度与置信区间的关系：置信度与置信区间的关系：n1nnn26n太大、太小的置信区间都是不可取的太大、太小的置信区间都是不可取的n20世纪世纪30年代美籍波兰统计学家年代美籍波兰统计学家J奈曼提出奈曼提出处理置信区间和置信度之间关系的原则：处理置信区间和置信度之间关系的原则：在保证可靠性的基础上尽量提高精确度。在保证可靠性的基础上尽量提高精确度。27第四节第四节假设检验假设检验一、一、hy

17、pothesistest的意义、基本假设的意义、基本假设n又称又称statistictest，显著性检验等，显著性检验等n先假设总体具有某些统计特性，再根据样先假设总体具有某些统计特性，再根据样本的统计特性，验证总体是否具有这些特本的统计特性，验证总体是否具有这些特征征28例1：根据2009年的统计资料，某地女性新生儿的平均体重为3190克。为判断该地2010年的女性新生儿体重与2009年相比有无显著差异，从该地2010年的女性新生儿中随机抽取30人，测得其平均体重为3210克。n从样本数据看，2010年女新生儿体重比2009年略高，但这种差异可能是由于抽样的随机性带来的，也许这两年新生儿的体

18、重有着显著差异。究竟是否存在显著差异？可以先假设这两年新生儿的体重没有显著差异，然后利用样本信息检验这个假设能否成立。n这是一个关于总体均值的假设检验问题。29例2：某公司进口一批钢筋，根据要求，钢筋的平均拉力强度不能低于2000克，而供货商强调其产品的平均拉力强度已达到了这一要求，这时需要进口商对供货商的说法是否真实作出判断。n进口商可以先假设该批钢筋的平均拉力强度不低于2000克，然后用样本的平均拉力强度来检验假设是否正确。n这也是一个关于总体均值的假设检验问题。30实际中的假设检验问题实际中的假设检验问题n1.产品自动生产线工作是否正常；产品自动生产线工作是否正常；n2.某种新生产方法是

19、否会降低产品成本；某种新生产方法是否会降低产品成本；n3.治疗某疾病的新药是否比旧药疗效更高；治疗某疾病的新药是否比旧药疗效更高；n4.厂商声称产品质量符合标准，是否可信；厂商声称产品质量符合标准，是否可信；n5.学生考试成绩是否服从正态分布学生考试成绩是否服从正态分布 假设检验假设检验假设检验假设检验事先作出关于总体参数、分布形事先作出关于总体参数、分布形事先作出关于总体参数、分布形事先作出关于总体参数、分布形式、相互关系等的命题（假设），然后通过样本信式、相互关系等的命题（假设），然后通过样本信式、相互关系等的命题（假设），然后通过样本信式、相互关系等的命题（假设），然后通过样本信息来判断

20、该命题是否成立（检验）息来判断该命题是否成立（检验）息来判断该命题是否成立（检验）息来判断该命题是否成立（检验）。31原假设原假设H0备择假设备择假设H1kk,k,kkkkkkkkk原假设与备择假设的组合情况原假设与备择假设的组合情况32例：以下问题均适用假设检验方法例：以下问题均适用假设检验方法（1）某社区下岗居民的平均年龄是）某社区下岗居民的平均年龄是38.7岁岁（2）某法院审结案件中，提出上诉的比例是）某法院审结案件中，提出上诉的比例是23.5%（3）截至）截至2002年年4月底，某市应届大学毕业生的签约率月底，某市应届大学毕业生的签约率低于低于40%解：（解：（1）原假设）原假设H0:

21、0=38.7，某社区下岗居民的平均年龄是，某社区下岗居民的平均年龄是38.7；备择假设备择假设H1:038.7，某社区下岗居民的平均年龄不，某社区下岗居民的平均年龄不是是38.7。（2）原假设原假设Ho:0=23.5%；备择假设；备择假设H1:023.5%（3）原假设原假设Ho:0k或或H0：kH1：k1 z 36三、假设检验的步骤三、假设检验的步骤三、假设检验的步骤三、假设检验的步骤1、提出假设提出假设H0和和H1是两个相反的假设，是两个相反的假设，包括原假设包括原假设H0和备择假设和备择假设H1。其所有可能的结果都应包含其所有可能的结果都应包含在这两个假设的范围内，它们的提出确定了所在这两

22、个假设的范围内，它们的提出确定了所要检验的对象。要检验的对象。372、建立统计量、建立统计量Z构造一个检验统计量，要求这个统计量构造一个检验统计量，要求这个统计量包含着待检验的参数，除此之外，其余的参包含着待检验的参数，除此之外，其余的参数数(检验统计量所包含的参数检验统计量所包含的参数)必须是已知的。必须是已知的。3、确定、确定 (显著性水平显著性水平)下的拒绝域下的拒绝域根据是双侧检验还是单侧检验，确定取根据是双侧检验还是单侧检验，确定取 还是还是/2；在单侧检验时注意；在单侧检验时注意 应用于左侧应用于左侧还是右侧。还是右侧。384、计算置信区间的上下限、计算置信区间的上下限在决定是否拒

23、绝在决定是否拒绝H0时，我们自然希望作出的决时，我们自然希望作出的决策是正确的，尽量减少犯错误的概率，策是正确的，尽量减少犯错误的概率，在选定在选定 水水平后，如果检验统计量的值落入拒绝域内，我们平后，如果检验统计量的值落入拒绝域内，我们就拒绝原假设，即因为就拒绝原假设，即因为H0不成立，否则就不拒绝不成立，否则就不拒绝H0。5、判断，作出决策、判断，作出决策(结论结论)并加以解释并加以解释39例：例：设总体服从标准差为设总体服从标准差为50的正态分布，从该的正态分布，从该总体抽出某容量为总体抽出某容量为25的随机样本，得出样本平的随机样本，得出样本平均值为均值为70，试以，试以=0.05的显

24、著水平检验原假设的显著水平检验原假设 0=90。解解：由题意，已知：由题意，已知n=25,=50,0=90H0：=90H1：90检验统计量：检验统计量：计算计算40查表得查表得拒绝域为：拒绝域为：计算结果为计算结果为:拒绝拒绝H0,也就是说有也就是说有95%的把握否定原假定。的把握否定原假定。18.10777F F 3.49033.4903，拒绝原假设，拒绝原假设H H0 0，说明彩电，说明彩电的品牌对销售量有显著影响的品牌对销售量有显著影响 F FC C2.100846 2.100846 F F 3.25923.2592，不拒绝原假设，不拒绝原假设H H0 0，不能认，不能认为销售地区对彩电

25、的销售量有显著影响为销售地区对彩电的销售量有显著影响（二）有交互影响的数据结构：（二）有交互影响的数据结构：76n离差平方和分解形式：离差平方和分解形式：SST=SSA+SSB+SSAB+SSE77上式中上式中rn-r-n+1=(r-1)(n-1)rmn-rn=rn(m-1)78n离差平方和离差平方和SST、SSA、SSB、SSAB和和SSE的自由度分别是的自由度分别是rnm-1、r-1、n-1、(r-1)(n-1)和和rn(m-1)。79n相应的均方差是相应的均方差是80n检验因素检验因素A与与B影响是否显著的统计量分影响是否显著的统计量分别是别是:n检验交互影响是否显著的统计量度是：检验交

26、互影响是否显著的统计量度是：81四、分析步骤四、分析步骤1、确定方差分析的数学模型、确定方差分析的数学模型2、确定各个总体是否服从正态分布，且具有相等的方、确定各个总体是否服从正态分布，且具有相等的方差差3、建立检验用的原假设和备择假设，给出显著水平、建立检验用的原假设和备择假设，给出显著水平H0：1=2=3=.H1：总体均数：总体均数不全相等不全相等4、计算总体方差的估计值和统计量、计算总体方差的估计值和统计量F=MS组间组间/MS组内组内5、根据、根据F检验做出判断检验做出判断82第六节第六节卡方检验（自学）卡方检验（自学）n与与F检验相似，卡方检验也能判断多检验相似，卡方检验也能判断多个

27、样本之间是否存在显著差异，但不个样本之间是否存在显著差异，但不要求每个总体服从正态分布。要求每个总体服从正态分布。83卡方检验基本思想卡方检验基本思想在分类资料统计分析中我们常会遇到这样的资料，在分类资料统计分析中我们常会遇到这样的资料，如两组大白鼠在不同致癌剂作用下的发癌率如下表，如两组大白鼠在不同致癌剂作用下的发癌率如下表，问两组发癌率有无差别？问两组发癌率有无差别？处理处理发癌数发癌数未发癌数未发癌数合计合计发癌率发癌率%甲组甲组52197173.24乙组乙组3934292.86合计合计912211380.3384是表中最基本的数据，因此上表资料又被称之为四格表资料。是表中最基本的数据，

28、因此上表资料又被称之为四格表资料。卡方检验的统计量是卡方值，它是卡方检验的统计量是卡方值，它是每个格子实际频数每个格子实际频数A与理与理论频数论频数T差值平方差值平方与与理论频数理论频数之比的累计和之比的累计和。每个格子中的。每个格子中的理论频数理论频数T是在假定两组的发癌率相等（均等于两组合计的是在假定两组的发癌率相等（均等于两组合计的发癌率）的情况下计算出来的，如第一行第一列的理论频数发癌率）的情况下计算出来的，如第一行第一列的理论频数为为71*80.33%=57.18，故卡方值越大，说明实际频数与理论，故卡方值越大，说明实际频数与理论频数的差别越明显，两组发癌率不同的可能性越大。频数的差别越明显，两组发癌率不同的可能性越大。521939385什么是小概率？什么是小概率？q概率是概率是01之间的一个数，因此小概率就之间的一个数，因此小概率就是接近是接近0的一个数的一个数q著名的英国统计家著名的英国统计家RonaldFisher把把20分之分之1作为标准，也就是作为标准，也就是0.05，从此，从此0.05或比或比0.05小的概率都被认为是小概率小的概率都被认为是小概率qFisher没有任何深奥的理由解释他为什么选没有任何深奥的理由解释他为什么选择择0.05，只是说他忽然想起来的，只是说他忽然想起来的