统计学原理(第五版 李洁明 祁新娥)3综合指标.ppt

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1、第三章第三章 综合指标综合指标 综综合指标从它的作用和方法特点的角度可概括为合指标从它的作用和方法特点的角度可概括为三类三类：总量指标（绝对指标）总量指标（绝对指标）相对指标相对指标平均指标平均指标概念：概念：一、总量指标的概念和作用一、总量指标的概念和作用 总量指标总量指标是反映社会经济现象一定时间、地点、条件是反映社会经济现象一定时间、地点、条件下下总的规模、水平总的规模、水平的统计指标的统计指标。总总量指标量指标表现形式表现形式是是绝对数绝对数，不是抽象的绝对数，是，不是抽象的绝对数，是有名数有名数。第一节第一节 总量指标总量指标(绝对指标绝对指标)例如：例如：例如：例如：2005200

2、520052005年我国财政收入年我国财政收入年我国财政收入年我国财政收入30510305103051030510亿元，财政支出亿元，财政支出亿元，财政支出亿元，财政支出33510335103351033510亿元，财政赤字亿元，财政赤字亿元，财政赤字亿元，财政赤字3000300030003000亿元。亿元。亿元。亿元。作用作用 :总总量指标能反映一个国家的基本国情和量指标能反映一个国家的基本国情和国力，反映某部门或单位等人、财、国力，反映某部门或单位等人、财、物的基本数据物的基本数据 。总总量指标是制定政策、编制计划、实行量指标是制定政策、编制计划、实行社会经济管理的依据之一社会经济管理的依

3、据之一 。总总量指标是计算相对指标和平均指标的基量指标是计算相对指标和平均指标的基础。础。（一）按其反映的内容不同可分为：（一）按其反映的内容不同可分为：-总总体单位总量体单位总量 说明总体的说明总体的单位总数单位总数。-例：企业数、学校数、职工人数、学生人数。例：企业数、学校数、职工人数、学生人数。-总体标总体标志总量志总量 说明总体中某个说明总体中某个标志值总和标志值总和。-例：总产量、总产值、工资总额、税金总额。例：总产量、总产值、工资总额、税金总额。二、二、总量指标的种类总量指标的种类 按其反映的时间状况不同可分为：按其反映的时间状况不同可分为：时时期指标期指标 反映现象在某一时期发展

4、过反映现象在某一时期发展过程的总数量。程的总数量。(可连续计数，与时间长短可连续计数，与时间长短有关，是累计结果有关，是累计结果)时时点指标点指标 反映现象在某一时刻（瞬间）反映现象在某一时刻（瞬间）的状况。的状况。(间断计数，与时间间隔无关，间断计数，与时间间隔无关，不能累计不能累计)计算原则：计算原则：3.3.计计量单位必须一致。量单位必须一致。2.2.明明确的统计含义。确的统计含义。1.1.现现象的同类性。象的同类性。三、三、总量指标的计算总量指标的计算 根据事物的性质和研究的任务来决定，总量根据事物的性质和研究的任务来决定，总量指标计量单位指标计量单位分三种形式：分三种形式：(1)(1

5、)实实物单位物单位a.a.自然单位：辆、双、头、根、个自然单位：辆、双、头、根、个 b.b.度量衡单位：吨、米、克、立方米度量衡单位：吨、米、克、立方米 c.c.双重单位：公里双重单位：公里/小时、人小时、人/平方公里平方公里d.d.复合单位：吨公里、千瓦小时复合单位：吨公里、千瓦小时 对有些性质相同但规格或含量不同的产品总量的计对有些性质相同但规格或含量不同的产品总量的计算，要按折合标准实物量的方法计算。算，要按折合标准实物量的方法计算。例如例如，能源统计以标准燃料每千克发热量，能源统计以标准燃料每千克发热量7000Kcal7000Kcal为标准单位。为标准单位。(2)(2)货币单位货币单位

6、货币单位有现行价格和不变价格之分货币单位有现行价格和不变价格之分。货币单位使不能直接相加的产品产量过渡货币单位使不能直接相加的产品产量过渡到能够加总，用于综合说明具有不同使用到能够加总，用于综合说明具有不同使用价值的产品生产总量或商品销售量等的总价值的产品生产总量或商品销售量等的总规模、总水平规模、总水平。(3)(3)劳劳动单位动单位 工时工时 工人数和劳动时数的乘积；工人数和劳动时数的乘积；台时台时 设备台数和开动时数的乘积。设备台数和开动时数的乘积。例例 由于具体条件不同，不同企业的劳动量指标不具由于具体条件不同，不同企业的劳动量指标不具有可比性，因此，劳动量指标只限于企业内部有可比性，因

7、此，劳动量指标只限于企业内部使用。使用。第二节第二节 相对指标相对指标 是两个有联系的指标数值之比。是两个有联系的指标数值之比。20052005年我国对外贸易进口总额增长率为年我国对外贸易进口总额增长率为16.1%16.1%，出口总额增长率为，出口总额增长率为25.7%25.7%。例例一、相对指标的概念和作用一、相对指标的概念和作用 概念：概念：作用作用 :相对相对指标能具体表明社会经济现象之间的指标能具体表明社会经济现象之间的比例关系。比例关系。相对相对指标能使一些不能直接对比的事物指标能使一些不能直接对比的事物找出共同比较的基础。找出共同比较的基础。相对相对指标便于记忆、易于保密。指标便于

8、记忆、易于保密。企业8月份劳动生产率(万元)7月份劳动生产率(万元)8月比7月发展速度（%）甲21.94103.09+600元乙0.560.52107.69+400元 从上表中看来，好象甲厂比乙厂劳动生从上表中看来，好象甲厂比乙厂劳动生产率高产率高 （600400600400）；而将其换算成相）；而将其换算成相对指标，实际发展速度是乙厂大于甲厂。由对指标，实际发展速度是乙厂大于甲厂。由此可看出相对指标可以弥补总量指标的不足。此可看出相对指标可以弥补总量指标的不足。例例-人口密度：人口密度：人人/平方公里平方公里-平均每人分摊的粮食产量：平均每人分摊的粮食产量：千克千克/人人-系数或倍数：系数或

9、倍数：是将比的基数抽象化为是将比的基数抽象化为1 1；-成数：成数：是将比的基数抽象化为是将比的基数抽象化为1010；-百分数：百分数：是将比的基数抽象化为是将比的基数抽象化为100100；-千分数：千分数：是将比的基数抽象化为是将比的基数抽象化为10001000。相对指标的数值有两种表现形式：相对指标的数值有两种表现形式：无无名数（抽象化的数），分以下几种名数（抽象化的数），分以下几种:有有名数名数(一一)计划完成相对指标（计划完成相对指标（p74-78p74-78）二、相对指标的种类及其计算二、相对指标的种类及其计算1.1.概念：检查、监督计划执行情况的相对指标概念：检查、监督计划执行情况

10、的相对指标 计计算公式算公式(1)(1)根根据总量指标来据总量指标来计算计划完成相对数计算计划完成相对数 计算结果表明该厂超额计算结果表明该厂超额10%10%完成总产值计划。完成总产值计划。设某工厂某年计划工业总产值为设某工厂某年计划工业总产值为200200万元，实际万元，实际完成完成220220万元，则：万元，则：2.2.计算计算 (2)(2)根根据据相对指标来相对指标来计算计划完成相对数计算计划完成相对数 某企业生产某产品，上年度实际成本为420元/吨，本年度计划单位成本降低6%，实际降低7.6%，则：比计划多完成1.71%；例例本题也可换算成绝对数计算本题也可换算成绝对数计算：计划计划

11、-6%394.8元元/吨吨 (1-6%)420实际实际 7.6%388.08元元/吨吨 (1-7.6%)420 某企业计划规定劳动生产率比上年提高某企业计划规定劳动生产率比上年提高10%，实，实际比上年提高际比上年提高15%，则：，则：劳动生产率超额劳动生产率超额4.5%4.5%完成计划任务。完成计划任务。例例(3)(3)根根据平均指标来据平均指标来计算计划完成计算计划完成相对数相对数 计算公式计算公式 某企业某月生产某产品，计划每人每日平均产某企业某月生产某产品，计划每人每日平均产量量5050件，实际每人每日平均产量为件，实际每人每日平均产量为6060件，则：件，则：计算结果表明该企业实际劳

12、动生产率超过计算结果表明该企业实际劳动生产率超过20%20%完完成了计划任务。成了计划任务。例例例：表例：表3-1 p763-1 p763.3.计划执行进度的考核计划执行进度的考核计算公式计算公式以五年计划来说明这个问题。以五年计划来说明这个问题。4.4.长长期计划的检查期计划的检查(1)(1)水水平法：在五年计划中只规定最后一年应达到的水平平法：在五年计划中只规定最后一年应达到的水平（p77-78p77-78）计算公式为计算公式为：某某产产品品计计划划规规定第五年定第五年产产量量5656万吨，万吨，实际实际第五年第五年产产量量6363万吨，万吨，则则：那么，提前多少时间完成计划？那么，提前多

13、少时间完成计划？例例月份月份一一二二三三四四五五 六六七七八八九九十十十十一一十十二二合计合计第四年第四年3.53.543.843.84(4(555449.6第五年第五年4445555)6)666763第四年第四年9 9月月 第五年第五年8 8月月 产量合计产量合计5757万吨万吨第四年第四年8 8月月 第五年第五年7 7月月 产量合计产量合计5555万吨万吨 现假定第四年、第五年各月完成情况如下现假定第四年、第五年各月完成情况如下：(单位：万吨单位：万吨)正正好好生生产产5656万万吨吨的的时时间间应应是是第第四四年年八八月月第第X X天天到到第五年八月第第五年八月第(31-X)(31-X)

14、天。天。图图示如下：示如下：X=15.5(X=15.5(天天)即提前四个月又即提前四个月又1515天半完成五年计划天半完成五年计划。5151(31-x)(31-x)5656(31-x)(31-x)x xx x第四年第四年9月月第五年第五年7 7月月第四年第四年8 8月月第五年第五年8 8月月（2 2）累累计法：计法：在五年计划中规定在五年计划中规定5 5年累计完成量年累计完成量应达到的水平（应达到的水平（p78p78）计算公式为：计算公式为：某五年某五年计计划的基建投划的基建投资总额为资总额为22002200亿亿元，五年内元，五年内实实际际累累计计计计划完成划完成22402240亿亿元，元，则

15、则：假定计划提前完成，如果假定计划提前完成，如果2001-20052001-2005年间基建投资总年间基建投资总额计划为额计划为22002200亿元，实际至亿元，实际至20052005年年6 6月底止累计实际月底止累计实际投资额已达投资额已达22002200亿元，则提前半年完成计划。亿元，则提前半年完成计划。例例5.5.计划完成相对数的作用（计划完成相对数的作用（p78p78）u说明各计划指标的完成程度说明各计划指标的完成程度u反映计划执行进度反映计划执行进度u反映经济计划执行中的薄弱环节反映经济计划执行中的薄弱环节(二二)结结构相对构相对指标（指标（p78-80p78-80）计算公式为：计算

16、公式为：上海上海“十五十五”期间期间GDPGDP构成（构成（%）2001年2002年2003年2004年2005年第一产业第一产业1.731.631.491.300.87第二产业第二产业47.5847.4250.0950.8548.95第三产业第三产业50.6950.9548.4247.8550.18例例(二二)结结构相对指标构相对指标 作用作用反映反映总体内部体内部结构的特征构的特征通通过不同不同时期相期相对数的数的变动，可以看出事物的，可以看出事物的变化化过程及其程及其发展展趋势反映反映对人力、物力、人力、物力、财力的利用程度及生力的利用程度及生产经营效果效果的好坏的好坏结构相构相对数在平

17、均数数在平均数计算中的算中的应用用(三三)比比例相对例相对指标（指标（p80-81p80-81）计算公式为：计算公式为：常常用的比例形式有两种：用的比例形式有两种：1.1.将作为比较基础的数值抽象化为将作为比较基础的数值抽象化为1 1、1010、100100或或10001000，看被比较的数值是多少。，看被比较的数值是多少。我国我国20002000年第五次人口普查结果，男女性别比年第五次人口普查结果，男女性别比例为例为106.74:100106.74:100，这说明以女性为，这说明以女性为100100，男性人口，男性人口是女性人口数的是女性人口数的106.74106.74倍。简称性比例倍。简称

18、性比例106.74106.74。目。目前已上升到前已上升到116.86116.86：100100。例例2.2.首先将总体全部数值抽象化为首先将总体全部数值抽象化为100100，求得各部分，求得各部分数值在总体中所占百分数，然后将各部分的百分数数值在总体中所占百分数，然后将各部分的百分数连比得比例相对数。连比得比例相对数。2005 2005年上海年上海GDPGDP抽象化为抽象化为100100，第一产业、第二，第一产业、第二产业、第三产业的比例为：产业、第三产业的比例为：0.870.8748.9548.9550.1850.18。例例(四四)比比较相对指标较相对指标(类类比相对指标比相对指标)（p8

19、1-82p81-82）计算公式为：计算公式为：某年有甲、乙两企业同时生产一种性能相同的产品，甲企业工人劳动生产率为19,307元，乙企业为27,994元。说明甲企业劳动生产率比乙企业低31%。例例 计计算比较相对数时，作为比较基数算比较相对数时，作为比较基数的分母可取不同的对象，一般有两种情的分母可取不同的对象，一般有两种情况：况：比比较标准是一般对象较标准是一般对象，如：，如：这时，这时，分子与分母的位置可以互换。分子与分母的位置可以互换。比比较标准较标准(基数基数)典型化典型化，如：，如：把企业的各项技术经济指标都和国家规定的质把企业的各项技术经济指标都和国家规定的质量水平比较，和同类企业

20、的先进水平比较，和国外量水平比较，和同类企业的先进水平比较，和国外先进水平比较等，这时，先进水平比较等，这时，分子与分母的位置不能互分子与分母的位置不能互换。换。(五五)强强度相对度相对指标（指标（p82-83p82-83）计算公式为：计算公式为：1.概念概念 一般用复名数表示；一般用复名数表示；也有少数用百分数或千分数表示。也有少数用百分数或千分数表示。强强度相对数的数值表示有两种方法：度相对数的数值表示有两种方法：用百分数表示用百分数表示说明平均每百元销售额负担多少流通费。说明平均每百元销售额负担多少流通费。产值利润率、资金利润率一般用千分数表示产值利润率、资金利润率一般用千分数表示。例例

21、某城市人口某城市人口100100万人，有零售商业机构万人，有零售商业机构50005000个，则：个，则：例例2.2.有有些强度相对数有正、逆两种计算方法：些强度相对数有正、逆两种计算方法：u说明一个国家、地区、部门的经济实力或为社会服务的能力说明一个国家、地区、部门的经济实力或为社会服务的能力u反映和考核社会经济效益反映和考核社会经济效益u为编制计划和长远规划提供参考依据为编制计划和长远规划提供参考依据3.3.强度相对数的作用：强度相对数的作用：(六六)动动态相对态相对指标（第四、五章）指标（第四、五章）计算公式为：计算公式为：基基期期 作为对比标准的时间作为对比标准的时间报报告期告期 同基期

22、比较的时期，也称计算期同基期比较的时期，也称计算期 2.2.相相对指标要和总量指标结合起来运用。对指标要和总量指标结合起来运用。1.1.注注意二个对比指标的可比性。意二个对比指标的可比性。三、正确运用相对指标的原则三、正确运用相对指标的原则年份1949 19501978 1979 1986 1987钢产量(万吨)15.8 613178 3448 5220 5628发展速度(%)100.0 386 100 108.5 100 107.8增长量(万吨)-45.2 -270 -408增长1%绝对值(万吨)-0.16 -31.8 -52.2我国历年钢产量发展情况 例例4.4.在在比较二个相对数时，是否

23、适宜相除再求一个相对数，比较二个相对数时，是否适宜相除再求一个相对数，应视情况而定。若除出来有实际意义，则除；若不宜相应视情况而定。若除出来有实际意义，则除；若不宜相除，只宜相减求差数，用百分点表示之。除，只宜相减求差数，用百分点表示之。(百分点百分点 即百分比中相当于百分之一的单位即百分比中相当于百分之一的单位)3.3.多多种相对数结合运用种相对数结合运用第三节第三节 平均指标（集中趋势）平均指标（集中趋势）特特点点 -数量抽象性数量抽象性 -只能就同类现象计算只能就同类现象计算 -集中趋势代表性集中趋势代表性（一）概（一）概念念 平均指标是指在同质总体内将各单位某平均指标是指在同质总体内将

24、各单位某一数量标志的差异抽象化，用以反映总体在具体一数量标志的差异抽象化，用以反映总体在具体条件下的一般水平。条件下的一般水平。一、平均指标的概念和作用一、平均指标的概念和作用 -比比较作用较作用 a.a.同类现象在不同空间的对比。同类现象在不同空间的对比。b.b.同一总体在不同时间上的比较。同一总体在不同时间上的比较。-可以作为论断事物的一种数量标准或参考可以作为论断事物的一种数量标准或参考-利利用平均指标可以分析现象之间的依存关系用平均指标可以分析现象之间的依存关系（二）作（二）作用用 种种类类 算术平均数算术平均数数值平均数数值平均数调和平均数调和平均数 几何平均数几何平均数 众数众数位

25、置平均数位置平均数 中位数中位数（一）算（一）算术平均数的基本公式术平均数的基本公式二、算术平均数（二、算术平均数（p87-93p87-93）式中式中：算术平均数算术平均数 X X 各单位的标志值各单位的标志值 n n 总体单位数总体单位数 总和符号总和符号（二）简（二）简单算术平均数（单算术平均数（p88p88）式中式中：算术平均数算术平均数 X X 各组数值各组数值 f f 各组数值出现的次数各组数值出现的次数(即权数即权数)（三）加（三）加权算术平均数（权算术平均数（p89-92p89-92）具体方法（具体方法（p89）设某厂职工按日产量分组后所得设某厂职工按日产量分组后所得组距数列组距

26、数列如下，据此求平均日产量。如下，据此求平均日产量。表表3-83-8（p91p91）按日产量分组(千克)组中值X(千克)工人数f(人)Xf 60 以下 55 10 55060 70 65 19 123570 80 75 50 375080 90 85 36 3060 90 100 95 27 2565100 110 105 14 1470110 以上115 8 920合 计-164 13550例例单项数列单项数列：表：表3-6，3-7在掌握比重权数的情况下，可以直接利用权数在掌握比重权数的情况下，可以直接利用权数系数来求加权算术平均数，其公式为：系数来求加权算术平均数，其公式为：按日产量分组(

27、千克)组中值X(千克)工人数f(人)ff/f 60 以下 55 100.06 3.360 70 65 190.12 7.870 80 75 500.30 22.580 90 85 360.22 18.7 90 100 95 270.16 15.2 100 110 105 140.09 9.45110 以上115 80.05 5.75合 计-1641.00 82.7加加权算术平均数受两因素的影响：权算术平均数受两因素的影响：-变量值大小的影响。变量值大小的影响。-次数多少的影响。次数多少的影响。而简单算术平均数只反映变量值大小这一因而简单算术平均数只反映变量值大小这一因素的影响。素的影响。加加权

28、算术平均数与简单算术平均数不同在于：权算术平均数与简单算术平均数不同在于：各各个变量值与算术平均数离差之和等于零个变量值与算术平均数离差之和等于零（四）算（四）算术平均数的数学性质（术平均数的数学性质（p92p92）简单平均数简单平均数：加权平均数：加权平均数：各各个变量值与算术平均数离差平方之和个变量值与算术平均数离差平方之和 等于最小值等于最小值 算算术平均数的两点不足术平均数的两点不足易受极端变量值的影响，使易受极端变量值的影响，使 的代表性变小；的代表性变小；受极大值的影响大于受极小值的影响；受极大值的影响大于受极小值的影响；当组距数列为开口组时，由于组中点不易确当组距数列为开口组时，

29、由于组中点不易确定，使定，使 的代表性也不很可靠。的代表性也不很可靠。调和平均数是各个变量值倒数的调和平均数是各个变量值倒数的算术平均数的倒数算术平均数的倒数。三、调和平均数三、调和平均数(又称又称“倒数平均数倒数平均数”)（p93-97p93-97）其其计算方法如下计算方法如下：在社会经济统计学中经常用到的仅是一种特定权在社会经济统计学中经常用到的仅是一种特定权数的加权调和平均数。数的加权调和平均数。即有以下数学关系式成立：即有以下数学关系式成立：m m是一种特定权数，它不是各组变量值出现的次是一种特定权数，它不是各组变量值出现的次数，而是各组标志值总量。数，而是各组标志值总量。表表3-10

30、3-10（p95p95）已知某商品在三个集市贸易市场上的平均价格及销售额资料如下：已知某商品在三个集市贸易市场上的平均价格及销售额资料如下：市场平均价格(元)X销售额(元)m=Xf销售额(元)平均价格(元)(即销售量)甲2.0060 00030 000乙2.5050 00020 000丙2.4060 00025 000合计-170 00075 000（一）由（一）由平均数计算平均数时调和平均数法的应用：平均数计算平均数时调和平均数法的应用：例例某公司有某公司有3 3个工厂，已知其计划完成程度个工厂，已知其计划完成程度(%)(%)及实际产值资料如下：及实际产值资料如下：工厂计划完成程度(%)X实

31、际产值(万元)m=Xf实际产值计划完成程度(%)(即计划产值)(万元)甲 95 1140 1 200乙105 13 440 12 800丙115 2 3002 000合计-16 88016 000（二）（二）由由相对数计算平均数时调和平均数法的应用：相对数计算平均数时调和平均数法的应用：例例表表3-12（p96）调调和平均数的特点和平均数的特点如果数列中有一标志值等于零，则无法计算如果数列中有一标志值等于零，则无法计算 ；较之算术平均数，较之算术平均数，受极端值的影响要小。受极端值的影响要小。（一）简（一）简单几何平均数（单几何平均数（p97-98p97-98）四、几何平均数四、几何平均数(又

32、称又称“对数平均数对数平均数”)计算时要进行对数变换，即：计算时要进行对数变换，即：例例 某机械厂有铸造车间、机加工车间、装配车间三个连某机械厂有铸造车间、机加工车间、装配车间三个连续流水作业车间。本月份这三个车间产品合格率分别续流水作业车间。本月份这三个车间产品合格率分别为为95%、92%、90%，求平均车间产品合格率，求平均车间产品合格率。解解：这说明该厂车间产品平均合格率为这说明该厂车间产品平均合格率为92.31%92.31%（二）加（二）加权几何平均数权几何平均数（p99-100p99-100）投资银行某笔投资的年利率是按复利计算的，投资银行某笔投资的年利率是按复利计算的，2525年的

33、年利年的年利率分配是：有率分配是：有1 1年为年为3%3%，有，有4 4年为年为5%5%，有，有8 8年为年为8%8%，有，有1010年年为为10%10%，有，有2 2年为年为15%15%，求平均年利率。，求平均年利率。本利率(%)X年数f本利率的对数lgXf lgX103 12.0128 2.0128105 42.0212 8.0848108 82.033416.2672110102.041420.4140115 22.0607 4.1214合计25-50.9002例例表表3-14（p99）这就是说，这就是说，25年的平均本利率为年的平均本利率为108.6%，年平均，年平均利率即为利率即为8

34、.6%。几几何平均数的特点何平均数的特点如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无法如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无法计算计算 ；受极端值的影响较受极端值的影响较 和和 小；小；由定义可看出众数存在的条件：由定义可看出众数存在的条件：（一）概（一）概念：众数是在总体中出现次数最多的那念：众数是在总体中出现次数最多的那个标志值个标志值 五、众数五、众数 M M0 0（p100-103p100-103）M M0 0M M0 0M M0 0M M0 0M M0 0若有两个次数相等的众数，则称复众数。若有两个次数相等的众数，则称复众数。只只有总体单位数比较多，而且又有明显有总体单位数比较多，而且

35、又有明显的集中趋势时才存在众数。的集中趋势时才存在众数。下三图无众数：下三图无众数：在在单位数很少，或单位数虽多但无明显集中单位数很少，或单位数虽多但无明显集中趋势时，计算众数是没有意义的。趋势时，计算众数是没有意义的。1.1.根根据单项数列确定众数；据单项数列确定众数；价格(元)销售数量(千克)2.00 202.40 603.001404.00 80合计300某种商品的价格情况某种商品的价格情况众数众数M M0 0=3.00(=3.00(元元)（二）众（二）众数的计算方法数的计算方法例例2.2.根根据组距数列确定众数据组距数列确定众数 利利用比例插值法推算众数的近似值。用比例插值法推算众数的

36、近似值。由由最多次数来确定众数所在组；最多次数来确定众数所在组；按日产量分组(千克)工人人数(人)60以下10 60-7019 70-8050 80-9036 90-10027100-11014110以上 8表中表中70-8070-80，即众数所在组。，即众数所在组。例例 表表3-16 p1033-16 p103计计算众数的近似值算众数的近似值：（：（p101）下限公式下限公式：上限公式上限公式：由下限公式，日产量众数由下限公式，日产量众数由上限公式，日产量众数由上限公式，日产量众数 众众数的特点数的特点 众众数是一个位置平均数，它只考虑总体分布数是一个位置平均数，它只考虑总体分布中最频繁出现

37、的变量值，而不受各单位标志值的中最频繁出现的变量值，而不受各单位标志值的影响，从而增强了对变量数列一般水平的代表性。影响，从而增强了对变量数列一般水平的代表性。不受极端值和开口组数列的影响。不受极端值和开口组数列的影响。众众数是一个不容易确定的平均指标，当分布数是一个不容易确定的平均指标，当分布数列没有明显的集中趋势而趋均匀分布时，则无数列没有明显的集中趋势而趋均匀分布时，则无众数可言；当变量数列是不等距分组时，众数的众数可言；当变量数列是不等距分组时，众数的位置也不好确定。位置也不好确定。1.1.由由未分组资料确定中位数未分组资料确定中位数（二）中（二）中位数的计算方法位数的计算方法（一）概

38、（一）概念：将总体中各单位标志值按大小顺序排列，念：将总体中各单位标志值按大小顺序排列，居于中间位置的那个标志值就是中位数。居于中间位置的那个标志值就是中位数。六、中位数六、中位数 M Me e （p103-107p103-107）n n为奇数时，则居于中间位置的那个标志值为奇数时，则居于中间位置的那个标志值 就是中位数。就是中位数。例例 n n为偶数时，则中间位置的两个标志值的算术为偶数时，则中间位置的两个标志值的算术 平均数为中位数。平均数为中位数。2.2.由由单项数列确定中位数（单项数列确定中位数（p105p105）某企业按日产零件分组如下：某企业按日产零件分组如下：按日产零件分组（件）

39、工人数（人）较小制累计较大制累计26 3 3803110137732142767342754533618722641 880 8合计80-例表例表3-17 p1053-17 p1053.3.由由组距数列确定中位数（组距数列确定中位数（p105-107p105-107）按日产量分组(千克)工人数(人)较小制累计较大制累计 50 60 10 10164 60 70 19 29154 70 80 50 79135 80 90 36115 85 90100 27142 49 100-110 14156 22 110以上 8164 8合计164-例表例表3-18 p1063-18 p106下限公式（较小

40、制累计时用）下限公式（较小制累计时用）：上限公式上限公式（较大制累计时用）：中中位数不受极端值及开口组的影响，位数不受极端值及开口组的影响，具有稳健性具有稳健性。各各单位标志值与中位数离差的绝对值之和单位标志值与中位数离差的绝对值之和 是个最小值。是个最小值。对对某些不具有数学特点或不能用数字测定的某些不具有数学特点或不能用数字测定的 现象，可用中位数求其一般水平。现象，可用中位数求其一般水平。中中位数的特点（位数的特点（p107p107）（一）（一）三者的关系三者的关系表示为：表示为：七、各种平均数之间的相互关系（七、各种平均数之间的相互关系（p107-110p107-110）例例（算术平均

41、数（算术平均数 调和平均数调和平均数 几何平均数）几何平均数）f如图：如图：(二）二）三者的关系三者的关系1.1.当总体分布呈对称状态时，三者合而为一当总体分布呈对称状态时，三者合而为一,（算术平均数（算术平均数 众数众数 中位数）中位数）如图：如图：f fX X2.2.当当总体分布呈非对称状态时总体分布呈非对称状态时如图：如图：fX所以所以如果如果，则说明分布右偏（或上偏）则说明分布右偏（或上偏）如果如果，则说明分布左偏（或下偏）则说明分布左偏（或下偏）如果如果，则说明分布对称则说明分布对称一组工人的月收入众数为一组工人的月收入众数为28002800元，月收入的算术元，月收入的算术平均数为平

42、均数为31003100元，则月收入的中位数近似值是：元，则月收入的中位数近似值是：例例根据根据卡尔卡尔皮尔逊经验公式皮尔逊经验公式，还可以推算出，还可以推算出：（一）平（一）平均指标只能适用于同质总体。均指标只能适用于同质总体。（二）用（二）用组平均数补充说明总平均数。组平均数补充说明总平均数。八、平均指标的运用原则（八、平均指标的运用原则（p110-112p110-112）某生产小组基期有工人某生产小组基期有工人1515人，报告期人数增加到人，报告期人数增加到3030人，人，两时期各技术等级的工人数和工资总额如下：两时期各技术等级的工人数和工资总额如下：级别级别基基 期期报报 告告 期期工人

43、工人数数(人人)比重比重(%)工资总工资总额额(元元)平均工平均工资资(元元)工人数工人数(人人)比重比重(%)工资总工资总额额(元元)平均工资平均工资(元元)二级工二级工 2 13.3 1000 50016 53.3 9600 600四级工四级工 8 53.3 7200 90010 33.3100001000七级工七级工 5 33.4 75001500 4 13.4 68001700合计合计15100.015700104730100.026400 880例例某工业部门某工业部门100100个企业年度利润计划完成程度资料如下：个企业年度利润计划完成程度资料如下：按计划完成程度分组按计划完成程度

44、分组(%)企业数企业数 85-89.9 290-94.9 8 95-99.9 10100-104.9 40105-109.9 30110-114.9 10合合 计计100经计算，经计算，100100个企业年度平均利润计划完成程度为个企业年度平均利润计划完成程度为103.35103.35。（三）用（三）用分配数列补充说明平均数分配数列补充说明平均数例例1.1.标标志变动度是评价平均数代表性的依据。志变动度是评价平均数代表性的依据。第四节第四节 标志变动度（离散程度）标志变动度（离散程度）（二）作（二）作用：用：（一）概（一）概念：念：标志变动度是指总体中各单位标志标志变动度是指总体中各单位标志值

45、差别大小的程度，又称离散程度或离中程度。值差别大小的程度，又称离散程度或离中程度。一、标志变动度的意义和作用（一、标志变动度的意义和作用（p112-p112-113113）甲、乙两学生某次考试成绩列表甲、乙两学生某次考试成绩列表语文语文数学数学物理物理化学化学政治政治英语英语甲甲 959065707585乙乙1107095508075 甲、乙两学生的平均成绩为甲、乙两学生的平均成绩为8080分，集中趋势分，集中趋势一样，但是他们偏离平均数的程度却不一样。乙一样，但是他们偏离平均数的程度却不一样。乙组数据的离散程度大，数据分布越分散，平均数组数据的离散程度大，数据分布越分散，平均数的代表性就越差

46、；甲组数据的离散程度小，数据的代表性就越差；甲组数据的离散程度小，数据分布越集中，平均数的代表性越大分布越集中，平均数的代表性越大。例例2.2.标标志变动度可用来反映社会生产和其他社会经济活动志变动度可用来反映社会生产和其他社会经济活动过程的均衡性或协调性，以及产品质量的稳定程度。过程的均衡性或协调性，以及产品质量的稳定程度。供货计划完成百分比供货计划完成百分比(%)季度总供货计季度总供货计划执行结果划执行结果一月一月二月二月三月三月企业企业甲甲100323434乙乙100203050例例种种类类 即测定标志变动度的方法即测定标志变动度的方法,主要有：全主要有：全距、四分位差、平均差、标准差、

47、离散系数距、四分位差、平均差、标准差、离散系数等。等。全距全距R R四分位差四分位差Q.D.Q.D.平平 均均 差差A.D.A.D.标标 准准 差差S.D.()S.D.()离散系数离散系数V V 优优点：点：计算方便，易于理解。计算方便，易于理解。缺缺点：点：全距只考虑数列两端数值差异，它是测定全距只考虑数列两端数值差异，它是测定标志变动度的一种粗略方法，不能全面反映总体各标志变动度的一种粗略方法，不能全面反映总体各单位标志的变异程度。单位标志的变异程度。（一）概念与计算：全（一）概念与计算：全距是总体各单位标志值最大距是总体各单位标志值最大值和最小值之差值和最小值之差,（二）（二）全全距的特

48、点距的特点二、全距二、全距 R R（p113-114p113-114）（一）概（一）概念：念：将总体各单位的标志值按大小将总体各单位的标志值按大小顺序排列，然后将数列分为四等分，形成三顺序排列，然后将数列分为四等分，形成三个分割点个分割点(Q(Q1 1、Q Q2 2、Q Q3 3)，这三个分割点称为这三个分割点称为四分位数，四分位数，(其中第二个四分位数其中第二个四分位数Q Q2 2就是数就是数列的中位数列的中位数M Me e)。四分位差四分位差 Q.D.=QQ.D.=Q3 3-Q-Q1 1三、四分位差三、四分位差 Q.D.Q.D.（p114-p114-116116）1.1.根根据未分组资料求

49、据未分组资料求Q.DQ.D.（二）计（二）计算算：例例2.2.根根据分组资料求据分组资料求Q.D.Q.D.（p116-117p116-117）2)2)若单项数列，则若单项数列，则Q Q1 1与与Q Q3 3所在组的标志值就是所在组的标志值就是Q Q1 1与与Q Q3 3的数值；的数值；若组距数列，确定了若组距数列，确定了Q Q1 1与与Q Q3 3所在组后，还要用以下所在组后，还要用以下公式求近似值：公式求近似值：根据某车间工人日产零件分组资料，求根据某车间工人日产零件分组资料，求Q.D.Q.D.按日产零件分组按日产零件分组(件件)工人数工人数(人人)累计工人数累计工人数(人人)(较小制较小制

50、)5-10 12 1210-15 46 5815-20 36 9420-25 6100合合 计计100-例例这表明有一半工人的日产量分布在这表明有一半工人的日产量分布在11.4111.41件至件至17.3617.36件之间，且相差件之间，且相差5.955.95件。件。四四分位差不受两端各分位差不受两端各25%25%数值的影响，能对开口数值的影响，能对开口组数列的差异程度进行测定；组数列的差异程度进行测定；用用四分位差可以衡量中位数的代表性高低；四分位差可以衡量中位数的代表性高低；四四分位差不反映所有标志值的差异程度，它所描分位差不反映所有标志值的差异程度，它所描述的只是次数分配中一半的离差，所