第二章插值法与数值微分.ppt

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1、第二章第二章 插值法与数值微分插值法与数值微分目目 录录2-1 线性插值和抛物插值线性插值和抛物插值2-3 分段插值法分段插值法2-2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式2-4 牛顿插值多项式牛顿插值多项式2-5 三次样条插值三次样条插值2-6 数值积分数值积分引引 言言 插值法在工程及建筑设计中应用十分广泛。例如，已知插值法在工程及建筑设计中应用十分广泛。例如，已知一天一天24小时的逐时室外气温、综合温度、冷热负荷等值，需小时的逐时室外气温、综合温度、冷热负荷等值，需要知道其他任意时刻的值，即可应用插值计算求得；又如，要知道其他任意时刻的值，即可应用插值计算求得；又如，我国工业企业采取通风

2、和空气调节设计规范中，仅给出了有我国工业企业采取通风和空气调节设计规范中，仅给出了有限个地区相应有限个方位的夏季太阳辐射热总强度值，以及限个地区相应有限个方位的夏季太阳辐射热总强度值，以及透过窗玻璃的太阳总辐射强度值，至于其它任意方位（透过窗玻璃的太阳总辐射强度值，至于其它任意方位（0-350）的中间值，也要用插值法求得。因此，插值法的研究）的中间值，也要用插值法求得。因此，插值法的研究很有必要。很有必要。实际中，实际中，f(x)多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据；多样，复杂，通常只能观测到一些离散数据；或者或者f(x)过于复杂而难以运算。这时我们要用近似函数过于复杂而难以运算。这时我们要

3、用近似函数g(x)来逼来逼近近f(x)。这个过程就是曲线拟合。这个过程就是曲线拟合。常用曲线拟合方法：插值法、最小二乘法插值法、最小二乘法 自然地，希望g(x)通过所有的离散点x0 x1x2x3x4xg(x)f(x)本章学习插值法本章学习插值法曲线拟合的几何意义曲线拟合的几何意义曲线拟合的几何意义曲线拟合的几何意义插值函数的几何意义插值函数的几何意义yx2-1 线性插值和抛物插值线性插值和抛物插值一、线性插值一、线性插值yxy=（）图图 2-1优点：优点：计算简单，以直线代替曲线。缺点：缺点：精度低，误差大。改进：改进：多用一些点。【例例】已知某多叶调节风阀。当叶片数为已知某多叶调节风阀。当叶

4、片数为n=3时，叶时，叶片与气流方向呈各种角度片与气流方向呈各种角度时。某局部阻力系数时。某局部阻力系数值如值如下表表示：下表表示：求当求当等于等于30时，多叶调节风阀的局部阻力系数时，多叶调节风阀的局部阻力系数的的线形插值。线形插值。并将其代入线性插值公式，有并将其代入线性插值公式，有几何意义：通过三点A、B、C的抛物线代替曲线其中 为待定常数。若将A，B，C三点分别代入上式会得到一个有唯一解的三元一次方程，从而 即可确定，但求起来比较麻烦。简便算法：见下一页见下一页抛物插值公式：（二次插值公式）稍加整理即得抛物插值公式。【例3】分别计算下列各题：1）利用100和121求平方根115；2）利

5、用100，121和144求平方根115。解:用线形插值求解问题1）与所求平方根的实际值10.72387比较，得到了具有三位有效数字的结果10.71428。用抛物插值求解问题2）与平方根实际值10.7238比较，10.72275551具有四位有效数字，显然比线形插值的结果好。一般地说，抛物插值比线形插值近似程度要好些。一、拉格朗日插值公式：一、拉格朗日插值公式：问题提出：问题提出：这节就具有一般形式的代数插值问题（即已知函数 在n+1个点上的函数值 求一个n次多项式 ，并满足条件 ，）来讨论如何构造其插值多项式 。2-2 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式这就是所要求的插值多项式，称为拉格朗日

6、拉格朗日（Lagrange）插值多项式插值多项式。当n=1时，就得出线形插值多项式，n=2时，就得出抛物插值多项式。二、拉格朗日插值余项：二、拉格朗日插值余项：插值余项：插值余项：定理：定理：证明：证明：当当 X X为节点时，两边皆为为节点时，两边皆为0 0，显然成立。，显然成立。下设下设 X X 不为节点。作辅助函数不为节点。作辅助函数即问题得证。即问题得证。这个定理所讲的余项用起来有一定的困难，因为实际计算时，只是给出 的一张数据表，并未给出具体的解析式子，故 并不知道，所以 也就无法得到。【例例4 4】在例在例3 3中分别用线性插值中分别用线性插值 和抛物插值计算了和抛物插值计算了 的近

7、似的近似值，试估计它们的截断误差。值，试估计它们的截断误差。解：记解：记由插值多项式有由插值多项式有故故根据余项公式，若能估计出根据余项公式，若能估计出的上界的上界 ，那么将有那么将有三、插值误差的事后估计法三、插值误差的事后估计法利用余项公式知：利用余项公式知：稍加整理得：稍加整理得：这种用计算的结果来估计误差的办法，通常称为事后估计，在计算中是常用的，这种估计误差的方法，将贯穿我们计算方法这门课程的始终。四、拉格朗日插值多项式的优缺点：四、拉格朗日插值多项式的优缺点：优点：优点：拉格朗日插值多项式结构对称，使用方便 缺点：缺点：a.不具备递推性不具备递推性，当需要增加节点时需要重新计算；b

8、.龙格（龙格（RungeRunge）现象现象:高次拉格朗日插值多项式稳定性差，对于计算过程的舍入误差十分敏感，当插值节点增多时，不能保证非节点处的插值精度得到改善，有时反而误差更大。龙格就给出了一个例子：设被插值函数取等矩节点 ，作拉格朗日插值多项式 。当 n=10 时，函数 及插值多项式 的图形如下所示。由图可见，在区间-0.2，0.2上 比较接近 ,但在区间-1，1两端则误差很大。当 n 增大时，部分区间上插值多项式截断误差偏大的现象更重。这种现象称龙格现象龙格现象。-11x0.51.01.5y0龙格现象为避免龙格现象和不稳定，通常限定为避免龙格现象和不稳定，通常限定n7n7，不采用高次插

9、值，不采用高次插值多项式。多项式。2-3 分段插值法分段插值法问题提出：问题提出：适当提高插值多项式的次数，可以提高计算的精确度，但次数太高又会产生不好的效果。因为次数越高，计算越繁，积累误差就越大；曲线就会出现过多的扭摆。当局部插值点有微小变动时，就可能引起曲线大幅度的变化，使计算很不稳定。因此，插值多项式次数越高，其所求得的插值越显得不可靠，从而也大大降低了它的工程应用价值。这也就是很少采用拉格朗日插值公式的原因。因此，在工程应用中，多采用分段插值法。即将插值区间分为若干个小段，在每一小段上使用低阶插值如线形插值或抛物插值。设已给出一系列离散结点：应用低阶插值的关键是恰当地挑选插值结点。余

10、项公式说明，选取的结点 离插值点 越近，误差 就越小，因而插值效果也就越好。因此应当尽量在插值点的邻近选取插值结点。一、分段线性插值一、分段线性插值 这种分段低次插值叫做分段线性插值。在几何上就是用折线代替曲线，故分段线性插值又称折线插值。000（i=1,2i=1,2，n-1n-1）二、分段抛物插值二、分段抛物插值以三个节点为例，公式为：以三个节点为例，公式为：其节点的选取方法为：其节点的选取方法为：-式（式（2.13）式（式（2.13）称为）称为分段抛物插值公式分段抛物插值公式。解：在各节点的函数值为解：在各节点的函数值为由此求出分段线性插值基函数由此求出分段线性插值基函数:故有故有2-4

11、牛顿插值多项式牛顿插值多项式对于对于n+1个节点个节点的插值的插值问题问题,将将 n 次插值多项式写成如下形式次插值多项式写成如下形式 多项式称为多项式称为牛顿牛顿(Newton)插值多项式插值多项式.形如上式的插值形如上式的插值 为为待定系数待定系数.一、向前差分与牛顿向前插值公式一、向前差分与牛顿向前插值公式差分表差分表将其代入牛顿插值公式，得将其代入牛顿插值公式，得牛顿向前插值公式牛顿向前插值公式，简称，简称前插公式前插公式。-表表2.3用二次插值得用二次插值得用三次插值得用三次插值得二、向后差分与牛顿向前后插值公式二、向后差分与牛顿向前后插值公式【例【例10】已知函数表同例】已知函数表

12、同例9，计算，计算sin(0.58)，并估计截断误差，并估计截断误差.因三阶向后差分接近于常数，故用三次插值进行计算因三阶向后差分接近于常数，故用三次插值进行计算,且且于是由后插公式得于是由后插公式得定义定义 1 记记 称称为为关于关于xi 的的零阶均差零阶均差.称称 为为关于关于 xi,xi+1 的的一阶均差一阶均差.称为称为二阶均差二阶均差.三、差商与牛顿基本插值多项式三、差商与牛顿基本插值多项式一般地一般地,k 阶均差阶均差为为 均差有如下基本性质：均差有如下基本性质：定理定理 1:(1)均差与函数值的关系为均差与函数值的关系为(2)均差与节点的排列顺序无关均差与节点的排列顺序无关,即即

13、(4)若函数若函数 在在 上存在上存在n 阶导数阶导数,且节点且节点 则则 使得使得 54三、均差的计算方法三、均差的计算方法(表格法表格法):规定函数值为零阶均差均差表解：先构造差商表如表解：先构造差商表如表2-5所示。所示。由表可以看出牛顿基本插值多项式中各系数为由表可以看出牛顿基本插值多项式中各系数为表表2.5故用线性插值所得的近似值为故用线性插值所得的近似值为用抛物插值所得的近似值为用抛物插值所得的近似值为2-5 三次样条插值三次样条插值 样条样条这一名词来源于工程中的样条曲线，这一名词来源于工程中的样条曲线，绘图员为了将一些指定点（称作样点）链接成绘图员为了将一些指定点（称作样点）链

14、接成一条光滑曲线，往往用细长的木条（称作绘图一条光滑曲线，往往用细长的木条（称作绘图员的样条）把相近的几点连接在一起，再逐步员的样条）把相近的几点连接在一起，再逐步延伸连接起全部指定点，使形成一条光滑的样延伸连接起全部指定点，使形成一条光滑的样条曲线，它在连接点处具有连续曲率，我们对条曲线，它在连接点处具有连续曲率，我们对绘图员的样条曲线进行数学模拟，得出的函数绘图员的样条曲线进行数学模拟，得出的函数叫做样条函数，它在连接处具有一阶和二阶连叫做样条函数，它在连接处具有一阶和二阶连续微商。续微商。一、三次样条插值函数的定义一、三次样条插值函数的定义定义定义：-(1)二、边界条件问题的提出与类型二

15、、边界条件问题的提出与类型-(2)-(3)-(4)并且我们不能只对插值函数在中间节点的状态进行限制也要对插值多项式在两端点的状态加以要求也就是所谓的边界条件:第一类(一阶)边界条件：第二类(二阶)边界条件：第三类(周期)边界条件：少两个条件少两个条件-(6)-(5)-(7)加上任何一类边界条件(至少两个)后一般使用第一、二类边界条件,即-(8)或常用第二类边界条件-(9)加以整理后可得-(10)-(11)由条件由于以上两式相等,得-(12)如果问题要求满足第一类(一阶)边界条件:-(5)基本方程组(12)化为n-1阶方程组-(13)即将(13)式化为矩阵形式-(14)这是一个三对角方程组如果问题要求满足第二类(二阶自然)边界条件:-(6)由(11)式,可知-(15)-(16)-(17)-(18)与基本方程组(12)联合,并化为矩阵形式,得-(19)(19)式与式与(14)一样一样,都是三对角方程组都是三对角方程组,并且都严格对角占优并且都严格对角占优可以使用追赶法求解可以使用追赶法求解,并且解是唯一的并且解是唯一的现在回到现在回到(10)式式例1.对于给定的节点及函数值解:由(12)式可得由(19)式得基本方程组将上述结果代入(10)式2-6 数值微分数值微分一、两点公式一、两点公式二、三点公式二、三点公式The End