第1讲_行列式定义的引入.ppt

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1、行 列 式第第1节节 矩阵概念的引入矩阵概念的引入第第2节节 排列及其奇偶性排列及其奇偶性第第3节节 行列式的定义行列式的定义解方程组解方程组本课程主要讲述：一般形式一般形式线性方程组线性方程组 的求解问题的求解问题(理论理论)注意注意实践上实践上n与与s的取值。的取值。第第1节节 矩阵概念的引入矩阵概念的引入问题问题1：电脑硬盘容量？：电脑硬盘容量？500G,1T,2T问题问题2：如此大的存储空间作为研究是否够用？：如此大的存储空间作为研究是否够用？一次地震勘探的数据量多达数百一次地震勘探的数据量多达数百G。问题问题3：如何有效组织这些数据？：如何有效组织这些数据？最简单的组织形式就是将数据

2、按一维顺序形式排列最简单的组织形式就是将数据按一维顺序形式排列起来，这是一维数组；其它常见的组织形式还有二维数组起来，这是一维数组；其它常见的组织形式还有二维数组（又称矩阵），三维与高维数组，链表，树等形式。（又称矩阵），三维与高维数组，链表，树等形式。每种组织都有其自己的特点，应使问题选用合适的每种组织都有其自己的特点，应使问题选用合适的组织形式。我们主要研究最基本的一维（组织形式。我们主要研究最基本的一维（向量向量）与二维数组）与二维数组（矩阵矩阵）形式。）形式。矩阵定义矩阵定义：由：由 sn 个数排成如下的的个数排成如下的的 s 行行 n 列的阵列列的阵列就称为一个就称为一个 sn 矩阵

3、矩阵。其中其中 aij 是数，称为矩阵的元素是数，称为矩阵的元素,i=1,2,s 称为元素的称为元素的行指标，行指标，j=1,2,n称为元素的列指标。称为元素的列指标。在记号上，一般用英文大写字母在记号上，一般用英文大写字母A，B，C表示矩阵，表示矩阵，用小写字母表示矩阵的元素。用小写字母表示矩阵的元素。矩阵的例子：矩阵的例子：A 特殊矩阵特殊矩阵（仅从（仅从外观外观上）上）1)s=n,如上边的矩阵如上边的矩阵A,称为称为方阵方阵；2)s=1,只有一行的矩阵，称为只有一行的矩阵，称为行矩阵行矩阵，又称，又称行向量行向量；3)n=1,只有一列的矩阵，称为只有一列的矩阵，称为列矩阵列矩阵，又称，又

4、称列向量列向量；4)s=n=1,该矩阵只含一个元素，因此大多数情况下直该矩阵只含一个元素，因此大多数情况下直接使用该数。接使用该数。问题问题：请在方阵：请在方阵 A 上定义一个函数？上定义一个函数？基本要求基本要求：自然地，希望这：自然地，希望这 n2 个数都能被用上，且使每个数都能被用上，且使每个位置上的数对所构造函数的贡献尽量一样，即它们的个位置上的数对所构造函数的贡献尽量一样，即它们的位置在函数的定义中应保持某种平衡。位置在函数的定义中应保持某种平衡。针对上面的目标，该如何定义这个函数？或者说应有哪些针对上面的目标，该如何定义这个函数？或者说应有哪些基本原则应该遵循？基本原则应该遵循？如

5、下原则可能是需要的如下原则可能是需要的：1)可分性，即定义的函数不应是一个不可有效分割的整体；可分性，即定义的函数不应是一个不可有效分割的整体；2)各部分间应类似，不应出现过多的分部形式；各部分间应类似，不应出现过多的分部形式；3)每一部分应包含部分数据；每一部分应包含部分数据；4)简单性，应避开使用复杂的函数形式；简单性，应避开使用复杂的函数形式；5)应存在抵消机制，即保持所定义的函数在可控的范围内，应存在抵消机制，即保持所定义的函数在可控的范围内，而不会轻易出现天文数字。而不会轻易出现天文数字。6)第第2节节 排列及其奇偶性排列及其奇偶性目的目的：为了引进对方阵函数定义的正负抵消机制。：为

6、了引进对方阵函数定义的正负抵消机制。定义定义：由：由1,2,n 组成的一个有序数组称为一个组成的一个有序数组称为一个n n级排列级排列。例如，例如，2431是一个四级排列，是一个四级排列，54321是一个是一个5级排列。级排列。n级排列的总数是级排列的总数是 n(n-1)2 1 =n!排列排列 12 n具有自然顺序，即数字按递增的顺序排列具有自然顺序，即数字按递增的顺序排列起来，称这样的排列为起来，称这样的排列为标准排列标准排列，其它的排列都或多或少地，其它的排列都或多或少地破坏自然顺序。破坏自然顺序。定义定义：在一个排列中，如果一对数所处的前后位置与其大小：在一个排列中，如果一对数所处的前后

7、位置与其大小次序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个次序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序逆序或或反序反序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序逆序数数或或反序数反序数。排列排列 2431 的逆序数是的逆序数是 4；排列排列 45321 的逆序数是的逆序数是 9。对任一对任一n级排列级排列 用用 表示其逆序数。表示其逆序数。从而从而 注意到注意到n级标准排列的逆序数为级标准排列的逆序数为0，而排列，而排列n(n-1)2 1任取两个数均为逆序，从而具有最大逆序数，且其逆序数为任取两个数均为逆序，从而具有最大逆序数，且其逆序数

8、为n(n-1)/2,故故定义定义：称逆序数为偶数的排列为：称逆序数为偶数的排列为偶排列偶排列；逆序数为奇数的排；逆序数为奇数的排列为列为奇排列奇排列。由由 知排列知排列 2431为偶排列，为偶排列，45321为奇排列。为奇排列。例例 1)逆序数为逆序数为故排列的奇偶性与故排列的奇偶性与 k 的奇偶性相同。的奇偶性相同。2)逆序数为逆序数为故当故当 n=4k,4k+1时，排列为偶排列；时，排列为偶排列；当当 n=4k+2,4k+3时，为奇排列。时，为奇排列。例例：计算以下各排列的反序数，并讨论它们的奇偶性：计算以下各排列的反序数，并讨论它们的奇偶性 在排列中，把任意两个元素（数）对调位置，而其余

9、的在排列中，把任意两个元素（数）对调位置，而其余的数不动，就得到另一个排列，这种作出新排列的方法（变换）数不动，就得到另一个排列，这种作出新排列的方法（变换）称为一个称为一个对换对换。定理定理：对换改变排列的奇偶性。对换改变排列的奇偶性。推论推论：在全部在全部n级排列中，奇偶排列的个数相等，各占级排列中，奇偶排列的个数相等，各占n!/2。定理定理：任意一个任意一个 n 级排列与标准排列级排列与标准排列 12 n 都可以经过一都可以经过一系列对换互变；且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶系列对换互变；且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。即奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成性。

10、即奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。标准排列的对换次数为偶数。第第3节节 行列式的定义行列式的定义定义定义：n 级行列式是定义在级行列式是定义在n级方阵上的函数，等于方阵中级方阵上的函数，等于方阵中所有取自不同行不同列的所有取自不同行不同列的 n 个元素的乘积的代数和。个元素的乘积的代数和。例例：计算行列式：计算行列式例例：计算行列式：计算行列式例例：计算上三角形行列式：计算上三角形行列式行列式定义的等价形式行列式定义的等价形式行列式基本性质行列式基本性质：行列互换，行列式不变。：行列互换，行列式不变。性质表明，在行性质表明，在行列式中行与列的列式中行与列的地位是对称的，地位是对称的，因之凡是有关行因之凡是有关行的性质，对列也的性质，对列也同样成立。同样成立。例例：设有以下两个：设有以下两个 n 阶行列式：阶行列式：其中其中 b0,证明：证明：A=B。