第九章第一节二重积分的概念.ppt

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1、1 12 23 3第八章第八章 二重积分二重积分第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质第二节第二节 二重积分的计算二重积分的计算第三节第三节 广义二重积分广义二重积分1 12 23 3第八章第八章 二重积分二重积分目的目的（1 1）理解二重积分的概念和性质。）理解二重积分的概念和性质。）理解二重积分的概念和性质。）理解二重积分的概念和性质。（2 2）熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算，）熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算，）熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算，）熟练掌握直角坐标系下二重积分的计算，掌握极坐标系下二重积分的计算。会用二重积掌握极坐标系下二重积分的计算。会用二重积掌

2、握极坐标系下二重积分的计算。会用二重积掌握极坐标系下二重积分的计算。会用二重积分求一些几何量，如体积、面积。分求一些几何量，如体积、面积。分求一些几何量，如体积、面积。分求一些几何量，如体积、面积。（3 3）了解广义二重积分的概念，会求简单的广）了解广义二重积分的概念，会求简单的广）了解广义二重积分的概念，会求简单的广）了解广义二重积分的概念，会求简单的广义二重积分。义二重积分。义二重积分。义二重积分。1 12 23 3第一节第一节 二重积分的概念与性质二重积分的概念与性质 引例 二重积分的概念 二重积分的性质1 12 23 3平顶柱体体积平顶柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.如

3、何计算曲顶柱体体积？如何计算曲顶柱体体积？特点特点：曲顶：曲顶.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、引例平顶变为曲顶1 12 23 3根据曲顶柱体建立空间直根据曲顶柱体建立空间直角坐标系角坐标系O-xyz，xyzO曲顶柱体的底是一个曲顶柱体的底是一个有界闭区域有界闭区域D 曲顶柱体的曲顶柱体的侧面的母线侧面的母线平行于坐标平行于坐标轴轴z顶是非负顶是非负连续函数连续函数f(x,y)1.让曲顶柱体的底在让曲顶柱体的底在xOy坐标面坐标面上，它是一个有界闭区域上，它是一个有界闭区域D，2.让曲顶柱体的侧面的母线让曲顶柱体的侧面的母线平行于坐标轴平行于坐标轴z。3.它的顶是定义在有界闭区它的顶是定义在有

4、界闭区域域D上的非负连续函数。上的非负连续函数。1 12 23 3DabcdxyzO我们先看一个简单的情形我们先看一个简单的情形 设底是一个矩形区域设底是一个矩形区域 xyOabcdD1 12 23 3首先用一组平行于首先用一组平行于x轴的直线将区间轴的直线将区间等分为等分为m个小区间个小区间xyOabcd同时用一组平同时用一组平行于行于y轴的直线轴的直线将区间等分为将区间等分为n个小区间，个小区间，这些平行于坐这些平行于坐标轴的直线将标轴的直线将矩形区域矩形区域D分分成了成了mn个小矩个小矩形区域形区域xi-1xix1y1yj-1yjDij每个小矩形每个小矩形Dij的面积的面积 在每个小区域

5、在每个小区域Dij上任取一点上任取一点 1 12 23 3作出一个以作出一个以 为高以小区为高以小区域域Dij为底的小长方体为底的小长方体 xzyO,它的体积为它的体积为 将所有将所有mn个小长方体个小长方体的体积全部加起来，则的体积全部加起来，则可以得到整个曲顶柱体可以得到整个曲顶柱体的体积的近似值：的体积的近似值：1 12 23 3如果我们将小如果我们将小区域区域Dij分划得分划得越小，则显然越小，则显然上述右边的和上述右边的和就越接近体积就越接近体积V的精确值。的精确值。如下动画演示如下动画演示小立方小立方体个数体个数体积体积1647.56447.87525647.968840047.9

6、857647.986178447.9898102447.9922160047.995230447.9965409647.998体积逼近实际值1 12 23 3y将上述计算过程的步骤总结如下：将上述计算过程的步骤总结如下：首先用一组曲线网将有界首先用一组曲线网将有界闭区域闭区域D任意分割为任意分割为n个小个小闭区域闭区域，分别以这些小闭区域的分别以这些小闭区域的边界为准线，作母线平边界为准线，作母线平行于行于z轴的小柱面，这轴的小柱面，这些小柱面把曲顶柱体分些小柱面把曲顶柱体分为为n个小曲顶柱体。个小曲顶柱体。1.分割：分割：1 12 23 3y将上述计算过程的步骤总结如下：将上述计算过程的步骤

7、总结如下：1.分割：分割：2.近似计算：近似计算：小曲顶柱体可近似地小曲顶柱体可近似地看成一个平顶柱体看成一个平顶柱体 1 12 23 3将上述计算过程的步骤总结如下：将上述计算过程的步骤总结如下：1.分割：分割：2.近似计算：近似计算：.求和：求和：整个曲顶柱体的体积也整个曲顶柱体的体积也就近似地等于这就近似地等于这n个小个小平顶柱体的体积之和平顶柱体的体积之和 y1 12 23 3将上述计算过程的步骤总结如下：将上述计算过程的步骤总结如下：1.分割：分割：2.近似计算：近似计算：.求和：求和：y.求极限：求极限：上述和式的极限，就上述和式的极限，就是曲顶柱体的体积：是曲顶柱体的体积：表示表

8、示n个小闭区域个小闭区域Di的的直径的最大值直径的最大值 1 12 23 3求平面薄片的质量求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，将每个小区域近似将每个小区域近似看作均匀薄片，看作均匀薄片，所有小区域质量之和所有小区域质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量1 12 23 3二、二重积分的概念二、二重积分的概念1 12 23 31 12 23 3积积积积分分分分和和和和被被被被积积积积函函函函数数数数积分变量积分变量积分变量积分变量积积积积分分分分区区区区域域域域面积元素面积元素面积元素面积元素被被被被积积积积表表表表达达达达式式式式1 12 23 3对二重积分定义的

9、说明：对二重积分定义的说明：如：在直角坐标系下如：在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网用平行于坐标轴的直线网来划分区域来划分区域D，故二重积分可写为故二重积分可写为则面积元素为则面积元素为D D1 12 23 3对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：2.在有界闭区域在有界闭区域D上上连续的函数一定可积连续的函数一定可积.1 12 23 3根据二重积分的定义，前面的体积和质根据二重积分的定义，前面的体积和质量都可以用二重积分来表示量都可以用二重积分来表示：1.平面薄片的质量：平面薄片的质量：2.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积：面密度作为面密度作为被积函数被积函数曲顶作为被曲顶作为被积函数积函

10、数1 12 23 3二重积分的几何意义二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值负值这个曲顶柱体这个曲顶柱体就是半径为就是半径为a的的上半球体上半球体 1 12 23 3性质性质当当 为常数时为常数时，性质性质设二元函数设二元函数f（x，y），），g（x，y）在闭区域）在闭区域D上上可积。与定积分类似，二重积分有如下性质。可积。与定积分类似，二重积分有如下性质。三、二重积分的性质1 12 23 3性质性质对区域具有可加性对区域具有可加性性质性质 若若

11、为为D的面积，的面积，性质性质 若在若在D上上特殊地特殊地则有则有1 12 23 3性质性质性质性质（二重积分中值定理）二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）二重积分估值不等式）1 12 23 3二重积分中值定理二重积分中值定理二重积分中值定理的几何意义二重积分中值定理的几何意义可叙述如下：在可叙述如下：在区域区域上以曲面上以曲面z=f（x，y）为顶的曲顶柱体的体积，）为顶的曲顶柱体的体积，必等于以同一区域必等于以同一区域D为底，以为底，以D内某点（内某点（，）的函）的函数值数值f（，）为高的平顶柱体的体积）为高的平顶柱体的体积f(,)。函数函数 f(x,y)在在D上的平均值上的平均值 1 12 23 3解解由由性质性质6知知1 12 23 3解解1 12 23 3二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几何意义二重积分的几何意义小结小结