2023年积分中值定理证明（精选多篇）.docx

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1、2023年积分中值定理证明（精选多篇） 推荐第1篇：积分中值定理(开区间)证明的几种方法 积分中值定理（开区间）的几种证明方法 定理：设f在a,b上连续，则$x(a,b)，使得 b af(x)dx=f(x)(b-a)。 证一：由积分第一中值定理（P217）， $xa,b， 使得 于是 bbaf(x)dx=f(x)(b-a)。 f(x)-f(x)dx=0.a 由于函数F(x)=f(x)-f(x)在a,b上连续，易证（可反证）： (这还是书上例2的结论) $h(a,b)，使得F(h)=f(h)-f(x)=0，即f(h)=f(x)。 证二：令F(x)=x af(t)dt，则F(x)在a,b上满足拉格

2、朗日中值定理的条件，故 $x(a,b)，使得F(b)-F(a)=F(x)(b-a)，即结论成立。 （注：书上在后面讲的微积分基本定理） 证三：反证：假设不$x(a,b)，使得 b af(x)dx=f(x)(b-a)，由积分第一中值定理， 知x只能为a或b，不妨设为b，即 x(a,b),f(x)f(b)=1bf(x)dx。 ab-a )f(x)f(b（或， （这一点是不是用介值定理来说明） 这样 （上限x改为b）xbaf(x)dxf(b)dx=f(b)(b-a).a （这个严格不等号不太显然要用书上例2结论来说明） 矛盾。 证四：设f在a,b上的最大值为M，最小值为m。若m=M，则fc，x可任取

3、。 若m0，故 M-f(x)dx0，即 abb af(x)dxM(-b).a 同理有 m(b-a)limg(x)xx0xx0极限的局部保号性： 若，则存在0，任意x(x0-D,x0+D)，使得f(x)g(x)。 函数的单调性： 函数f(x)在定义域内，当x1x2时，有f(x1)f(x2)，则称f(x)单调递增。当x10,任意x(x0-D,x0+D)都有f(x)f(x0)（f(x0)f(x)），则称f(x0)为f(x)的一个极小值（极大值），x0成为极小值点（极大值点）。 除此之外，我们还应该看到罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的联系。这三个定力的关系：层层递进，步步深入，前者是后者的特

4、殊情况，后者是前者的推广。拉格朗日中值定理和柯西中值定理都是通过构造辅助函数，然后用罗尔定理加以证明的；拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例；而罗尔定理有是拉格朗日中值定理的直接推论。 3 微分中值定理的证明方法 3.1 费马定理 费马引理是是实分析中的一个定理，以皮埃尔德费马命名。通过证明函数的每一个极值都是驻点（函数的导数在该点为零），该定理给出了一个求出可微函数的最大值和最小值的方法。因此，利用费马引理，求函数的极值的问题便化为解方程的问题。需要注意的是，费马引理仅仅给出了函数在某个点为极值的必要条件。也就是说，有些驻点不是极值，它们是拐点。要想知道一个驻点是不是极值，并进一步区分最大值

5、和最小值，我们需要分析二阶导数（如果它存在）。当该点的二阶导数大于零时，该点为极小值点；当该点的二阶导数小于零时，该点为极大值点。若二阶导数为零，则无法用该法判断，需列表判断。 xx费马引理的内容：函数f(x)在点0的某邻域U(x0)内有定义，并且在0处可导，如 xU(x)f(x)f(x)f(x)f(x)f(x0)=0。 0，都有0或者0，那么果对于任意的费马定理的几何意义:若将函数f(x)的曲线置于平面直角坐标系XOY,则费马定 x(x,f(x0)理具有几何意义:对曲线y=f(x)上,若有一点0存在切线,且0为f(x)极值点.则这一点处的切线平行于x轴. 证明方法：x0x为f(x)的极值点.

6、不妨设0为极小值点,则 $D0,x(x0-D,x0+D),有f(x0)f(x). 2 f(x)-f(x0)0xx0x-x0若,则; f(x)-f(x0)0xm，由条件f(a)=f(b)知，两个数M，m中至少有一个不等于端点的函数值f(a)=f(b)，不妨设Mf(a)（如果设mf(a)，证法完全类似），那么必定在开区间(a,b)内有一点x使f(x)=M。 f(x)f(x)xa,bf法1：因此，有，由费马引理可知(x)=0。 法2：由于f(x)在处最大，故不论Dx是正或负，总有 f(x+Dx)-f(x)0, 因此，当Dx0时， f(x+Dx)-f(x)/Dx0， 故由极限的保号性有 f+(x)=l

7、im+f(x+Dx)-f(x)/Dx0Dx0 （1） 而当Dx0,j(1)=-10,1j(x)=f(x)-xj(x) 证 (1) ，因在2上连续，22， 1h(,1)2，使得 故由零点定理，存在j(h)=0,即f(h)=h (2) 令F(0) = 0 , ，因F(x)在0,h上连续，在(0,h)内可导，且 ，故由罗尔定理，存在 ，使得 由于，故得 f(x)-lf(x)-x=1 例：设0ab,f(x)在a,b连续可导,则存在x(a,b)使得 f(b)-f(a)=xf(x)ln证明 令 ba.g(x)=lnx 则g(x)0,且f(x),g(x)在a,b上连续在(a,b)内可导 根据柯西定理,存在x

8、(a,b)使得 f(x)f(b)-f(a)=g(x)lnb-lna f(b)-f(a)=xf(x)ln即,5.2 利用微分中值定理证明不等式 微分中值定理在不等式的证明中同样起到重要的作用，因此在证明不等式的时候，可以考虑从中值定理入手，从而解决问题。首先我们给出利用中值定理证明不等式的步(1)构造辅助函数f(x)；骤：（2）；构造微分中值定理需要的区间a,b；（3）利用x(a,b)，对f(x)进行适当的收缩。下面我们给出几个证明不等式的例子。 ba.例1： 证明对任何正数a、b(ab)有 b-aab-alnba. b证明 令f(x)=lnx,xa,b.则f(x)在a,b上连续,在(a,b)内

9、可导,根据拉格朗日中值定理,存在x(a,b)使得 1lnb-lna=(b-a)x 111由于x(a,b),所以bxa,即有 b-aab-aln0，对0a1时，x(x,1)，xxa-11即ax-a a-11 又ax-a=a(x-1)ax-a，即x-11-a x(1,x)xa-11时， 则ax-a=a(x-1)0 故x-1ax-a，即x-11-a 由此，不等式得证。 5.3 讨论根的存在性 在证明根的存在性问题时，当遇到满足微分中值定理的相关条件时，就能够从中值定理的角度来解决问题。因此我们可以说，微分中值定理可以应用在解决根的存在性的问题上。我们从下面的例题来看中值定理在这方面的应用。 例1：设

10、a1,a2,L,an为任意n个实数,证明函数: 在(0,p)必有零点.f(x)=a1cosx+a2cos2x+L+ancosnx aa 证法 利用罗尔定理,令F(x)=f(x),只需F(x)在0,p上满足罗尔定理条件. 证明 作辅助函数 11a2cos2x+L+ancosnx,x0,p2n ,则 F(x)=a1cosx+a2cos2x+L+ancosnx=f(x) 容易验证F(x)在0,p上连续,在(0,p)可导,且 F(x)=a1cosx+F(p)=F(0)=0,所以存在x(0,p)使得 F(x)=0,即f(x)=0.所以,f(x)在(0,p)必存在零点. 8 例2： 设aiR且满足a0+a

11、1x1+a2x2+.+anxn=0在(0,1)内至少有一个实根. x2x3xn+1F(x)=a0x+a1+a2+.+an23n+1, 证明： 引进辅助函数显然F(0)=F(1)=0,F(x)又是多项式函数在0,1上连续,在(0,1)可导,F(x)满足罗尔中值定理的条件,故存在x(0,1)使 F(x)=0 而 F(x)=a0+a1x1+a2x2+.+anxn 故方程 a0+a1x1+a2x2+.+anxn=0 在(0,1)内至少有一个实根x.注：本题构造F(x)的依据是使F(x)得导数恰好是所证方程的左边. a0+aa1a2+.+n=023n+1,证明方程 6 总结 本文是研究主要是通过在大学阶

12、段对有关数学方面的知识的分析和学习得到的，并参考了一些图书资料。从整个世界来看，人们对中值定理的研究从微积分的建立之时就开始了，至今有关微分中值定理问题的研究非常活跃,且已有丰富的成果。本文通过与老师同学的讨论，介绍了微分中值定理的主要证明方法和在数学方面的应用分析，分析了费马引理、罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的证明方法；在应用方面主要通过例题的形式讨论研究了中值定理在证明等式、不等式、恒等式以及在讨论方程根的存在性等方面的应用。 深入研究微分中值定理,有助于加深对这些定理的理解;清楚这些定理的证明,能促使我们掌握微分中值定理的具体应用。 9 致谢 完成本论文，我要特别感谢我的指导

13、老师魏老师的热怀和指导。在我撰写论文的过程中，魏老师倾注了大量的心血和汗水，无论是在论文的选题、构思和资料的收集方面，还是在论文的研究方法以及成文定稿方面，我都得到了魏老师教诲和帮助在此表示真诚地感谢和深深的谢意。 最后，向在百忙中抽出时间对本文进行评审并提出宝贵意见的各位专家表示感谢！ 参考文献 1 张勇.微分中值定理的认识及推广J.消费导刊时空教育 .2023(02) 166 2 朱美玉。微分中值定理的进一步探讨J.湖北广播电视大学学报.2023(08) 158-159.3 邢建平; 徐湘云.微分中值定理的解题应用J.中小企业管理与科技(上旬刊).2023(08)158 4 邓乐斌编.数学

14、分析的理论、方法与技巧M.武汉:华中科技出版社,2023.5 王宝艳.微分中值定理的应用J.雁北师范学院学报,2023,2：5961. 6 党艳霞.浅谈微分中值定理及其应用J.廊坊师范学院学报(自然科学版),2023,1:28-31 10 推荐第4篇：考研数学 中值定理证明题技巧 为学生引路，为学员服务 2023考研数学 中值定理证明题技巧 在考研数学中，有关中值定理的证明题型是一个重要考点，也是一个让很多同学感到比较困惑的考点，不少同学在读完题目后不知从何下手，不会分析证明，找不到思路，之所以会出现这样的情况，主要是因为这些同学对中值定理证明题型的特点缺乏清晰的认识，对其分析和证明方法没有完

15、全理解和掌握，为了协助这样的同学克服这方面的困难，下面本文对这类题的特点和证明方法做些分析总结，供各位考生参考。 一、中值定理证明题的特点 中值定理证明题主要有以下一些特点： 1.中值定理证明题常常需要作辅助函数； 2.中值定理证明题经常在一个题中需要结合运用三个知识点，分别是：连续函数在闭区间上的性质（包括最大值和最小值定理、零点定理和介质定理），微分中值定理和积分中值定理； 3.中值定理证明题可能需要在一个问题的证明中反复运用同一个微分中值定理两次甚至三次，比如罗尔中值定理或拉格朗日中值定理； 4.从历年考研数学真题变化规律来看，证明中用得最多的主要是罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，而泰勒

16、中值定理和柯西中值定理则用得很少。 二、中值定理证明题的常用方法 中值定理证明题有不同的类型，对不同的类型需要运用不同的方法，主要的和常用的方法包括以下几种： 1.如果题目条件中出现关于函数值的等式，而函数是连续的，则可能需要运用连续函数在闭区间上的性质进行证明；对导数是连续的情况也可以对导函数运用连续函数的性质； 2.如果题目条件中出现关于定积分的等式，则可能需要运用积分中值定理； 3.对于以下这类问题一般使用罗尔中值定理进行证明： 6、如果是要证明两函数差值比的中值等式，或证明两函数导数比的中值等式，则可能需要利用柯西中值定理进行证明。 对于上面总结介绍的各种证明方法，在实际问题中要根据具体情况灵活运用，另外，对于需要作辅助函数的证明题，常常通过还原法分析找出需要的辅助函数，对于含积分等式的证明题，常常需要作变积分限的函数作为辅助函数，这种方法也是证明积分等式或不等式的主要