2023年证明数列极限（精选多篇）.docx

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1、2023年证明数列极限（精选多篇） 推荐第1篇：数列极限的证明 数列极限的证明 X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限 求极限我会 |Xn+1-A| 以此类推，改变数列下标可得|Xn-A| |Xn-1-A| |X2-A| 向上迭代，可以得到|Xn+1-A| 2只要证明x(n)单调增加有上界就可以了。 用数学归纳法： 证明x(n)单调增加。 x(2)=5x(1); 设x(k+1)x(k)，则 x(k+2)-x(k+1)=-(分子有理化) =/【+】0。 证明x(n)有上界。 x(1)=1 设x(k) x(k+1)= 3当0 当0 构造函数f(x)=x*ax(0 令t=1

2、/a，则：t 1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)x=x/tx(t1) 则： lim(x+)f(x)=lim(x+)x/tx =lim(x+)(分子分母分别求导) =lim(x+)1/(tx*lnt) =1/(+) =0 所以，对于数列n*an，其极限为0 4 用数列极限的定义证明 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim=0 n (2)lim=3/2 n (3)lim=0 n (4)lim0.9999=1 nn个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。Lim就省略不打了。 n/(n2+1)=0 (n2+4)/n=1 sin(1/n)=0 实质就是计算题，只不过题目把答案告诉你了，你把过

3、程写出来就好了 第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行 第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的) 第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0 不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n2+1)=lim(1/n)/(1+1/n2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n2)=0/1=0 lim(n2+4)/n=lim(1+4/n2)=1+lim(4/n2)=1+4lim(1/n2)=1 limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0 推荐第2篇：数列极限的证明 数列极限的

4、证明X1=2,Xn+1=2+1/Xn,证明Xn的极限存在，并求该极限 求极限我会 |Xn+1-A| |X2-A| 证明x(n)单调增加。 x(2)=2+3x(1)=5x(1); 设x(k+1)x(k)，则 x(k+2)-x(k+1)=2+3x(k+1)-2+3x(k)(分子有理化) =x(k+1)-3x(k)/【2+3x(k+1)+2+3x(k)】0。 证明x(n)有上界。 x(1)=1 x(k+1)=2+3x(k) 1、a=1/t 且，f(x)=x*(1/t)x=x/tx(t1) 则： lim(x+)f(x)=lim(x+)x/tx =lim(x+)x/(tx)(分子分母分别求导) =lim

5、(x+)1/(tx*lnt) =1/(+) =0 所以，对于数列n*an，其极限为0 4 用数列极限的定义证明 3.根据数列极限的定义证明： (1)lim1/(n的平方)=0 n (2)lim(3n+1)/(2n+1)=3/2 n (3)lim根号(n+1)-根号(n)=0 n (4)lim0.9999=1 n n个9 5几道数列极限的证明题，帮个忙。Lim就省略不打了。 推荐第3篇：数列极限的证明 例1 设数列xn满足0x1p,xn+1=sinxn(n=1,2,L)。 （）证明limxn存在，并求该极限； n xn+1xn（）计算lim。 n xn 解 （）用归纳法证明xn单调下降且有下界，

6、 由0x1p，得 0x2=sinx1x1p， 设0xnp，则 0xn+1=sinxnxnN 时有|an-a|0，只要取N=1 ae 这就证明了lim +1，则当nN时，便有 111e|-0|o，只要 9e，便有 n 3n2 -3| 9 e 时，(2)式成立又由于(1)式是在n3的条件下成立的，故应取 N=max3, 9 e 证任给e0,取N=max3,据分析，当nN时有（2）式成立.于是本题得证. 9 e 注本例在求N的过程中，(1)式中运用了适当放大的方法，这样求N就比较方便但应注意这种放大必须“适当”，以根据给定的E能确定出N又(3)式给出的N不一定是正整 数一般地，在定义1中N不一定限于

7、正整数，而只要它是正数即可例4证明limq=0，这里|q| n n 证若q=0，则结果是显然的现设0 |q-0|=|q|= n n -1，则h0 |q| , n (1+h) 并由(1+h)n1+nh得到 11 N时，由（4）式得|qn-0|0,只要取N=eh |q| n 就证明了limq=0. n n 注本例还可利用对数函数y=lgx的严格增性来证明(见第一章4例6的注及(2)式)，简述如下： 对任给的e0(不妨设e lge （这里也假定0|q|0 n 证()当a=1时，结论显然成立. () 当a1时，记a=a-1，则a0.由 a=(1+a)1+na=1+n(a-1) 1n 1n n 1n 得

8、a-1 a-1 (5) n. 1n 任给e0，由(5)式可见，当n a-1 e =N时，就有a-1e，即|a-1|e.所以 1n lima=1. n () 当0a0.由 11 =(1+b)n1+nb=1+n-1aa a-1-11-a1 得1-a（6）=0，由（6）式可见，当n+所以lima=1. n a-1-1 e =N时，就有1-ae，即|a-1|e. 1n1n 关于数列极限的eN定义，应着重注意下面几点： 1e的任意性定义1中正数e的作用在于衡量数列通项an与定数a的接近程度，e愈小，表示接近得愈好；而正数e可以任意地小，说明an与a可以接近到任何程度然而，尽管e有其任意性，但一经给出，就

9、暂时地被确定下来，以便依靠它来求出N，又e既时任意小的正数，那么 e ,3e或e2等等同样也是任意小的正数，因此定义1中不等式 e |an-a|N时有|an-a|N也可改写成nN3从几何意义上看，“当nN时有|a-a|0，若在U(a;e)之外数列an中 N， n 则当nN时有anU(a,e)，即当nN时有|an-a| 定义1任给e0，若在U(a,e)之外数列an中的项至多只有有限个，则称数列an 收敛于极限a 由定义1，可知，若存在某e0，使得数列an中有无穷多个项落在U(a,e0)之外，则an一定不以a为极限 例6证明n2和(-1)n都是发散数列 证对任何aR，取e0=1，则数列n中所有满足

10、na+1的项(有无穷多个)显然 都落在U(a;e0)之外，故知n2不以任何数a为极限，即n2为发散数列. 至于数列(-1)n，当a=1时取e0=1，则在U(a;e0)之外有(-1)n中的所有奇数项；当a1时取e0= |a-1|,则在U（a;e0)之外有(-1)n中的所有偶数项所以2 (-1)n不以任何数a为极限，即(-1)n为发散数列例7设limxn=limyn=a，做数列zn如下： n n zn:x1,y1,x2,y2,L,xn,yn,L.证明limzn=a. n 证， 因limxn=limyn=a,故对任给的e0，数列xn和yn中落在U(a;e)之外 n n 的项都至少只有有限个.所以数列

11、zn中落在U(a;e)之外的项也至多只有有限个故由定义1，证得limzn=a n 例8设an为给定的数列，bn为对an增加、减少或改变有限项之后得到的数列证明：数列bn与an同时为收敛或发散，且在收敛时两者的极限相等 证设an为收敛数列，且liman=a按定义1，对任给的e0，数列an中落在 n U(a;e)之外的项至多只有有限个而数列bn是对an增加、减少或改变有限项之后得到的，故从某一项开始，所以bn中落在U(a;e)之bn中的每一项都是an中确定的一项，外的项也至多只有有限个这就证得limbn=a n 现设an发散倘若bn收敛，则因an可看成是对bn增加、减少或改变有限项之 后得到的数列

12、，故由刚才所证，an收敛，矛盾所以当an发散时，bn也发散在所有收敛数列中，有一类重要的数列，称为无穷小数列，其定义如下：定义2若liman=0，则称an为无穷小数列 n 由无穷小数列的定义，不难证明如下命题： 定理2.1数列an收敛于a的充要条件是：an-a为无穷小数列 小结与提问:本节要求学生理解数列极限概念，利用定义证明数列是否收敛、是否收敛于指定的常数.要求学生课堂上给出limana和liman不存在的“eN”定义.n n 课外作业: P 2、 3、 4、 6、 7、8. 推荐第6篇：数列极限 数学分析教案-第二章 数列极限 xbl 第二章 数列极限 教学目的： 1.使学生建立起数列极

13、限的准确概念，熟练收敛数列的性质； 2.使学生正确理解数列收敛性的判别法以及求收敛数列极限的常用方法，会用数列极限的定义 证明数列极限等有关命题。要求学生：逐步建立起数列极限的 数列发散、单调、有界和无穷小数列等有关概念.会应用数列极限的 并能运用 概念.深刻理解定义证明有关命题，语言正确表述数列不以某定数为极限等相应陈述；理解并能证明收敛数列、极限唯一性、单调性、保号性及不等式性质；掌握并会证明收敛数列的四则运算定理、迫敛性定理及单调有界定理，会用这些定理求某些收敛数列的极限；初步理解柯西准则在极限理论中的重要意义，并逐步学会应用柯西准则判定某些数列的敛散性； 教学重点、难点：本章重点是数列

14、极限的概念；难点则是数列极限的 用.教学时数：16学时 定义及其应 1 数列极限的定义 教学目的：使学生建立起数列极限的准确概念；会用数列极限的定义证明数列极限等有关命题。 教学重点、难点：数列极限的概念，数列极限的e-N定义及其应用。 教学时数：4学时 一、引入新课：以齐诺悖论和有关数列引入 二、讲授新课： （一）数列： 1.数列定义整标函数.数列给出方法: 通项,递推公式.数列的几何意义. - 数学分析教案-第二章 数列极限 xbl 2.特殊数列: 常数列,有界数列,单调数列和往后单调数列. （二） 数列极限: 以 为例.定义 ( 的 “ ”定义 ) 定义 ( 数列 收敛的“ ”定义 )

15、注：1.关于 ：的正值性, 任意性与确定性,以小为贵; 2.关于：非唯一性,对只要求存在,不在乎大小.3.的几何意义. （三）用定义验证数列极限： 讲清思路与方法.例1 例2 例3 例4 证 注意到对任何正整数 时有 就有 - - 9- 10- 11- 12- 13- 14- 15- 16- 17- 18- 19 - 推荐第7篇：数列极限1 （一）迭代数列的极限 1.设x1=1，xn+1=1+xn(n=2,3,L)。证明limxn存在，并求其值。 n1+xn 2.设x10，xn+1=11 (xn+)(n=1,2,3,L)。证明limxn存在，并求其值。 n2xn 1A (xn+)(n=1,2,

16、L)。证明limxn存在，并求其值。 n2xn一般情形：设A0，x10，xn+1= 3.设x10，xn+1=3(1+xn)(n=1,2,L)。证明limxn存在，并求其值。 n3+xn A(1+xn)(n=1,2,L)，其中A0。证明limxn存在，并求其值。 nA+xn n一般情形：设x10，xn+1=4.设x1- 6，xn+1= 5.设x10，xn+1=3+n=1,2,3,L)。证明limxn存在，并求其值。 4(n=1,2,L)。证明limxn存在，并求其值。 nxn n6.设数列xn满足1x11;=e)(5)lim2knnn+1k=0k!k=1(k+1)!+k!+(k-1)!k=0an

17、 (6) lim1111=-.) ; (提示: 22n2n-12n+12n2nk=1 nnaak3-12)(a0).(7) limln3;(8) limn-nnnn-1k+1k=2 2.（1）l=limcosnj2cos 2j2Lcos2nj2n；（2）l=lim(1+a)(1+a)L(1+a)，其中|a|1； n22n（3）l=lim(1+a)(1+a)L(1+a)，其中|a|1。 n 3.设a1=1，a2=2，当n3时，an=an-1+an-2，证明：（a）an-1an2an-1；（b）lim 321=0。 nan 4.设- 1a01,an= (提示:令a0=cosq 5.求极限limnn

18、=1,2,.)，求lim4n(1-an)和lim(a1a2an).nn(0q0,sinnx=sin(sinn-1x)(n= 2,3,.)，求极限limxnx.x3 +o(x3)(x0).)(提示: 用Stolz定理, 并已知sinx=x-3! 8.设limn(an-an-1)=0, 若极限limna1+a2+K+an=A(有限), 则liman=A.nnn a1+a2+K+an的极限.) n(提示: 令bn=an-an-1,则an=b1+b2+K+bn,考虑an- 19.设Sn=2nlnC k=0nknk,其中为Cn组合数.求limSn.n 10.设m,b是常数且|b|1,nN+).证明数列x

19、n收敛.np (提示:用极限定义验证确界原理保证的确界为其极限.) 13.设0xn+mxn+xm(n,mN+).证明数列xn收敛.(提示同上题.) n 14.设xn+1=xn+2yn,yn+1=xn+yn(nN+),x1=y1=1,求nxn.yn(提示: 记an= xn1, 则|an+1-an|an-an-1|.) 4yn 推荐第8篇：122 数列极限 1-2-2 数列极限 题型二 求数列的极限 类型1 对概念、性质的理解 例1 数列xn收敛于a等价于（） A.对e0，在(a-e,a+e)内有数列的无穷多项 B.对e0，在(a-e,a+e)内有数列的有穷多项 C.对e0，在(a-e,a+e)外

20、有数列的无穷多项 D.对e0，在(a-e,a+e)外有数列的有穷多项 答案：D 练习： 设函数f(x)在(-,+)内单调有界，xn为数列，下列命题正确的是（） A.若xn收敛，则f(xn)收敛；B.若xn单调，则f(xn)收敛； C.若f(xn)收敛，则xn收敛； D.若f(xn)单调，则xn收敛； 答案：B 类型2 利用函数极限求数列极限 若an=f(n)，则liman=limf(n)=limf(x) nnx+ 例1 I=limtann 答案：e 练习： 4np2+ 4n 2023十七 已知曲线f(x)=n在(1,1)处的切线与x轴的交点为(xn,0)，则x limfx(n=)。答案：e-1

21、 n 曲线y=tanx在点( n2np4,1)处的切线在x轴上的截距为xn，求limy(xn)答案：e-1 n -1I=limnsin答案：e6 nn 11北航P19I=limntan 答案：e3 nnn21 设xe1+1-nn-1，其中n为正整数，求limx1 n=n nn答案：2 2023精解 P4n1)（a0）答案：0 n a+1设f(x)在x=a的某邻域内可导且f(a)0，求I=limnn f(x)dx na f(a) f(a) 答案：e 2f(a) 类型3 通项是n项和的数列的极限 方法一：先求出数列和，再求极限 方法二：利用定积分的定义 1nlimfi1 i=1n=0f(x)dx

22、nnlimb-anf b-aa+nibnni=1 =a f(x)dx 方法三：两边夹法则 例1 2023二十 lim(1+1n11+2+11+2+3+L+1 1+2+L+n)= Sol:u11211 n=1+2+L+n=1=2(-)n=2,3,4,Ln(n+1)n(n+1)nn+1 2原式=lim11111131 3n+(1-2)+(2-3)+L+(n- n+1)=lim(n2-n+1)=2 练习： n lim n=答案：1 i=1 i(i+1)lim( 1n 2!+23!+34!+L+n(n+1)! )=答案：1 例2 两边夹法则 lim(3n +4n nn n +5)答案：5 设u1n=n

23、2+n+1+2n2+n+2+L+n n2+n+n ，求limnun 答案：1 练习： 1lim(1n+2n n +L+10n)n 答案：10 n lim i n2答案：1i=1n+i 2 2023十二 lim21nn+1+L1 答案：0 (n2+1)2(n2+2)2(n2+n)2 设u1nn= +L+，求limnu1n答案：4 limn L 答案：1 例2 利用定积分的定义求数列极限 I=lim(1111nn+1+n+2+n+3+L+n+n )答案：ln2 I=lim1pnn(sin 2n+sin2p2n+sin3p2n+L+sinnp2n)答案：2 p 练习： 2023考研数一I=lim(

24、nn2+1+nn n2+22+nn2+32+L+np n2+n2)答案： 4 lim n L答案：p 6n 2023十四 极限lim1 xn k2(n-k)=k=1 n I=lim n i 22 i=1n+i 2023数二研 I=lim1nnL+ lim n L lim1p+2p+L+np nnp+1 （ p1） 例3 两边夹法则+定积分定义 I=lim( n 3333 +L+) 111n+1n+n+n+23n n n2n3nnn I=lim练习： i 22nn+i+1i=1 北航P31I=lim n i=1 n i2+1n+ n isinp I=limnii=1 n+n n 2023精解P5

25、 I=lim( n 12n +L+) 222222 n+1+1n+2+2n+n+n n 类型4 通项是n项之积的数列的极限（xn=Pai，求limxn） i=1 n 方法一：求出连乘积，再求极限（分子分母同乘一个因子，使分子、分母可进行化简；拆通 项或因式分解，使之成为两因式之积） 方法二：利用对数恒等式化为n项和的极限 方法三：利用两边夹法则 例1 2023第二届全国赛区赛设xn=(1+a)(1+a)L(1+a)，其中a1，求limxn n 2n I=lim1-练习： n 111 1-L1-22223n 2n 当x1时，求lim(1+x)(1+x)L(1+x) n 设xn=(1+)(1+)L(1+ 214 12 2n )，求limxn n 2023全国赛区赛设an=cos q 22xxx 设0x0，则 I=n练习： =1222n2 北航P28lim1+21+2L 1+2 n nnn 1n I=lim n n b-a ，求n bn等分，每点为a=x0x1L0且a1），求I=lim2ln(f(1)f(2)Lf(n