2023年证明极限存在（精选多篇）.docx

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1、2023年证明极限存在（精选多篇） 推荐第1篇：证明极限不存在 证明极限不存在 二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1证明下列极限不存在:(1)lim(x,y)(0,0)x4y2x6+y6;(2

2、)lim(x,y)(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.证明一般地,对于(1)选择当(x,y)沿直线y=kxy=kx趋近于(0,0)时,有lim(x,y)(0,0)x4y2x6+y6=limx0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于(2)若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择(x,y)沿抛物线y=kx2+x(k0)(x,y)(0,0)趋近于(0,0),则有l.2是因为定义域D=(x,y)|x不等于y吗，从哪儿入手呢，请高手指点 沿着两条直线y=2x y=-2x趋于(0,0)时 极限分别为-3和-1/3不相等 极限存在的定义

3、要求延任何过(0,0)直线求极限时极限都相等 所以极限不存在 3lim(x和y)趋向于无穷大(x2-5y2)/(x2+3y2) 证明该极限不存在 lim(x2-5y2)/(x2+3y2) =lim(x2+3y2)/(x2+3y2)-8y2/(x2+3y2) =1-lim8/ 因为不知道x、y的大校 所以lim(x和y)趋向于无穷大(x2-5y2)/(x2+3y2) 极限不存在 4 如图用定义证明极限不存在谢谢! 反证法 若存在实数L，使limsin(1/x)=L， 取=1/2， 在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n， 记x1(n)=1/(2n+/2)X，有sin=1， 记x2(n)=1/

4、(2n-/2)X，有sin=-1， 使|sin-L| 和|sin-L| 同时成立。 即|1-L| 这与|1-L|+|-1-L|(1-L)-(-1-L)|=2发生矛盾。 所以，使limsin(1/x)=L成立的实数L不存在。 推荐第2篇：如何证明极限不存在 如何证明极限不存在 反证法 若存在实数L，使limsin(1/x)=L， 取=1/2， 在x=0点的任意小的邻域X内，总存在整数n， 记x1(n)=1/(2n+/2)X，有sin=1， 记x2(n)=1/(2n-/2)X，有sin=-1， 使|sin-L| 和|sin-L| 同时成立。 即|1-L| 这与|1-L|+|-1-L|(1-L)-(

5、-1-L)|=2发生矛盾。 所以，使limsin(1/x)=L成立的实数L不存在。 反证法： 一个数列an极限存在,另一个数列bn极限不存在 假设两数列之和cn的极限存在，那么bn=cn-an极限也存在(两个数列和的极限等于两个数列极限的和) 矛盾 所以原命题成立 令y=x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y =lim(x趋于0)x2/(2x)=0 令y=x2-x,lim(x,y)趋于(0,0)xy/x+y =lim(x趋于0)x3-x2/x2=-1 两种情况极限值不同，故原极限不存在 2答案：首先需要二项式定理： (a+b)n=C(i=0i=n)nia(n-i)*bi(式一) 用数学

6、归纳法证此定理： n=1(a+b)1a(1-0)*b0+a(1-1)*b1 a+b 故此，n=1时，式一成立。 设n1为任一自然数，假设n=n1时，(式一)成立，即： (a+b)n1=C(i=0i=n1)n1ia(n1-i)*bi(式二) 则，当n=n1+1时: 式二两端同乘(a+b) *(a+b)=*(a+b) =(a+b)(n1+1)=C(i=0i=(n1+1)(n1+1)ia(n1+1)-i)*bi(据乘法分配律) 因此二项式定理(即式一成立) 下面用二项式定理计算这一极限： (1+1/n)n(式一) 用二项式展开得： (1+1/n)n=1n+(n/1)(1/n)+*(1/n)2+*(1

7、/n)3+*(1/n)(n-2)+*(1/n)(n-1)+*(1/n)n 由于二项展开式系数项的分子乘积的最高次项与(1/n)的次数相同，而系数为1，因此，最高次项与(1/n)的相应次方刚好相约，得1，低次项与1/n的相应次方相约后，分子剩下常数，而分母总余下n的若干次方，当n-+,得0。因此总的结果是当n-+，二项展开式系数项的各项分子乘积与(1/n)的相应项的次方相约，得1。余下分母。于是式一化为： (1+1/n)n=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+1/n!(式二) 当n-+时，你可以用计算机，或笔计算此值。这一数值定义为e。 推荐第3篇：极限不存在的证明 不如何

8、证明极限不存在 一、归结原则 原理:设f在U0(x0;d)内有定义，limf(x)存在的充要条件是：对任何含于 xx0 U(x0;d)且以x0为极限的数列xn极限limf(xn)都存在且相等。 n 例如：证明极限limsin x0 1x 不存在 12np+ 证：设xn= 1np ,xn= p 2 (n=1,2,)，则显然有 xn0,xn0(n)，si由归结原则即得结论。 =00,si=11(n)xnxn 二、左右极限法 原理：判断当xx0时的极限，只要考察左、右极限，如果两者相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(x)=arctan(因为limarctan( x0 - 1x ) 当x

9、0 时的极限不存在。 1x)= 1x )=- p 2 x=0，limarctan( x0 + p 2 ，limarctan( x0 - 1x )lim+arctan( x0 1x )， 所以当x0时，arctan( 1x )的极限不存在。 三、证明x时的极限不存在 原理：判断当x 时的极限，只要考察x-与x+时的极限，如果两者 相等，则极限存在，否则极限不存在。例如：证明f(x)=ex在x x- 时的极限不存在 x- x+ xxxx 因为lime=0，lime=+；因此，limelime x+ 所以当x 四、柯西准则 时，ex的极限不存在。 0 原理：设f在U(x0;d)内有定义，limf(x

10、)存在的充要条件是：任给e xx0 0 ，存 在正数d(0，设正数n x=1 np,x=1 np+1d，令p 2即证。 五、定义法 原理：设函数f(x)在一个形如(a,+)的区间中有定义，对任何AR，如果存在 e00，使对任何X0都存在x0X,使得f(x0)-Ae0,则f(x)在x+ x+时没有极限。 例如：证明limcosx不存在 设函数f(x)=cosx，f(x)在(0,+)中有定义，对任何AR，不妨设A取e0=120,，于是对任何d0，取e00 反证法（利用极限定义） 数学归纳法 推荐第4篇：极限的证明 极限的证明 利用极限存在准则证明： (1)当x趋近于正无穷时，(Inx/x2)的极限

11、为0; (2)证明数列Xn，其中a0，Xo0,Xn=/2,n=1,2,收敛，并求其极限。 1)用夹逼准则: x大于1时,lnx0,x20,故lnx/x20 且lnx1),lnx/x2 故(Inx/x2)的极限为0 2)用单调有界数列收敛: 分三种情况,x0=a时,显然极限为a x0a时,Xn-X(n-1)=/2 且Xn=/2a,a为数列下界,则极限存在.设数列极限为A,Xn和X(n-1)极限都为A. 对原始两边求极限得A=/2.解得A=a 同理可求x0 综上,数列极限存在,且为 (一)时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号:的意义,的直观意义. 定义(和.) 几何意义介绍邻域其中为充分大的

12、正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义. 例1验证例2验证例3验证证 (二)时函数的极限： 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义. 例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: Th类似有:例10证明:极限不存在. 例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 =2函数极限的性质(3学时) 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的

13、基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学： 我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课： (一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性(不等式性质): Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有) 註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明. 5.迫敛性: 6.四则运算性质:(只证“+”和“”) (二)利用极限性质求极限：已证明过以下

14、几个极限： (注意前四个极限中极限就是函数值) 这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式. 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限. 例1(利用极限和) 例2例3註:关于的有理分式当时的极限. 例4 例5例6例7 推荐第5篇：极限 定义证明 极限定义证明 趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0 x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于 2这两个用函数极限定义怎么证明? x趋近于正无穷，根号x分之sinx等于0 证明：对于任意给定的0，要使不等式 |sinx/

15、x-0|=|sinx/x| |sinx/x|2sinx2/2, |sinx|1只需不等式x1/2成立， 所以取X=1/2，当xX时，必有|sinx/x-0| 同函数极限的定义可得x+时，sinx/x极限为0.x趋近于负1/2，2x加1分之1减4x的平方等于2 证明：对于任意给定的0，要使不等式 |1-4x2/2x+1-2|=|1-2x-2|=|-2x-1|=|2x+1| 需要0 |1-4x2/2x+1-2|=|2x+1| 由函数极限的定义可得x-1/2时，1-4x2/2x+1的极限为2. 注意，用定义证明X走近于某一常数时的极限时，关键是找出那个绝对值里面X减去的那个X0. 记g(x)=lim

16、(1/n)，n趋于正无穷; 下面证明limg(x)=maxa1,.am,x趋于正无穷。把maxa1,.am记作a。 不妨设f1(x)趋于a;作ba=0,M1; 那么存在N1,当xN1,有a/M 注意到f2的极限小于等于a，那么存在N2，当xN2时，0 同理，存在Ni，当xNi时，0 取N=maxN1,N2.Nm; 那么当xN,有 (a/M)n 所以a/M 对n取极限，所以a/M 令x趋于正无穷， a/M 注意这个式子对任意M1,ba都成立，中间两个极限都是固定的数。 令M趋于正无穷，b趋于a; 有a 这表明limg(x)=a; 证毕; 证明有点古怪是为了把a=0的情况也包含进去。 还有个看起来

17、简单些的方法 记g(x)=lim(1/n)，n趋于正无穷; g(x)=maxf1(x),.fm(x); 然后求极限就能得到limg(x)=maxa1,.am。 其实这个看起来显然，但对于求极限能放到括号里面，但真要用极限定义严格说明却和上面的证明差不多。 有种简单点的方法，就是 maxa,b=|a+b|/2+|a-b|/2从而为简单代数式。 多个求max相当于先对f1，f2求max，再对结果和f3求，然后继续，从而为有限次代数运算式， 故极限可以放进去。 2一)时函数的极限： 以时和为例引入. 介绍符号:的意义,的直观意义. 定义(和.) 几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言

18、介绍几何意义. 例1验证例2验证例3验证证 (二)时函数的极限： 由考虑时的极限引入. 定义函数极限的“”定义. 几何意义. 用定义验证函数极限的基本思路. 例4验证例5验证例6验证证由= 为使需有为使需有于是,倘限制,就有 例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限: 1.定义：单侧极限的定义及记法. 几何意义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义. 例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系: Th类似有:例10证明:极限不存在. 例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有 =2函数极限的性质(3学时) 教学目的：使学生掌握函数极限的基本性质。 教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保

19、号性、不等式性质以及有理运算性等。 教学重点：函数极限的性质及其计算。 教学难点：函数极限性质证明及其应用。 教学方法：讲练结合。 一、组织教学： 我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课： (一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出. 1.唯一性: 2.局部有界性: 3.局部保号性: 4.单调性(不等式性质): Th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有) 註:若在Th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明. 5.迫敛性: 6.四则运算性质:(只证“+”和“”) (二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限： (注意前四个

20、极限中极限就是函数值) 这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式. 利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限. 例1(利用极限和) 例2例3註:关于的有理分式当时的极限. 例4 例5例6例7 2 推荐第6篇：函数极限证明 函数极限证明 记g(x)=lim(1/n)，n趋于正无穷; 下面证明limg(x)=maxa1,.am,x趋于正无穷。把maxa1,.am记作a。 不妨设f1(x)趋于a;作ba=0,M1; 那么存在N1,当xN1,有a/MN2时，0Ni时，0 那么

21、当xN,有 (a/M)n 推荐第7篇：用极限定义证明极限材料 例 1、用数列极限定义证明：limn+2=0 nn2-7 n2时n+2(1)2n(2)2nn+22(3)24(4)|2-0|=222=2；不等号（1）成立的条件是2 n4，即n2；不等号（4）成立的条件是n，故取N=max7, 2e 44。这样当nN时，有n7，n。 ee 4 因为n7,所以等号第一个等号、不等式（1）、（2）、（3）能成立；因为n，所以不等号（3）成立的条件是1N时，上述系列不等式均成立，亦即当nN时， 在这个例题中，大量使用了把一个数字放大为n或n+2-0|4时n+n2n2(1)|2-0|=22=,故取N=max

22、4, ,则当nN时，上面的不等式都成ee例 2、用数列极限定义证明：lim 立。 注：对于一个由若干项组成的代数式，可放大或缩小为这个代数式的一部分。如： n2+n+1n 2n2+n+1n n-nn+ 1(-1)n 例 3、已知an=，证明数列an的极限是零。2(n+1) (-1)n1(1)1(2) 证明：e0(设0e1)，欲使|an-0|=|=e成立 22(n+1)(n+1)n+1 11-1，由于上述式子中的等式和不等号（1）对于任意的正整n+1e 1数n都是成立的，因此取N=-1，则当nN时，不等号（2）成立，进而上述系列等式由不等式e 和不等式均成立，所以当nN时，|an-0|e。 在上

23、面的证明中，设定0e1，而数列极限定义中的e是任意的，为什么要这样设定？这样设定是否符合数列极限的定义？ 在数列极限定义中，N是一个正整数，此题如若不设定0e1，则N=-1就有1 e 可能不是正整数，例如若e2，则此时N1，故为了符合数列极限的定义，先设定0eN1时，|an-0|0.5成立。因此，当nN1时，对于任意的大于1的e，下列式子成立： |an-0|0.51e，亦即对于所有大于1的e，我们都能找到与它相对应的N=N1。因此，在数列极限证明中，e可限小。只要对于较小的e能找到对应的N，则对于较大的e 就自然能找到对应的N。 推荐第8篇：极限存在准则,两个重要极限 西南石油大学高等数学专升

24、本讲义 极限存在准则 两个重要极限 【教学目的】 1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。 【教学内容】 1、夹逼准则； 2、单调有界准则； 3、两个重要极限。 【重点难点】 重点是应用两个重要极限求极限。 难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。 【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 引入：考虑下面几个数列

25、的极限 1000 1、limni= 1n1n+i1 n+i221000个0相加，极限等于0。 2、limni=1无穷多个“0”相加，极限不能确定。 3、lim xn，其中xn=n x1= 对于 2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则： 一、极限存在准则 1.夹逼准则 准则如果数列xn,yn及zn满足下列条件: (1)ynxnzn n(n=1,2,3L)n(2)limyn=a,limzn=a, n 那么数列xn的极限存在, 且limxn=a.证：Qyna,zna,e0,$N10,N20,使得 当nN1时恒有yn-aN2时恒有zn-ae, 取N=maxN1,N2,上两式同时成

26、立,即a-eyna+e, a-eznN时，恒有 a-eynxnzna+e,即xn-aM)时,有 o (1)g(x)f(x)h(x), (2)limg(x)=A,limh(x)=A, xx0(x) xx0(x) 那么limf(x)存在, 且等于A. xx0(x) 准则 I和准则 I称为夹逼准则。 【注意】利用夹逼准则求极限的关键是构造出yn与zn，并且yn与zn的极限是容易求的。 例 1求n + +L+ 解： n 1+1n +L+ n =lin =1, 又lim n nn+n =lim =1,lin n+1 + 1n 2由夹逼定理得：lim( n 1n+1 + 1n+2 +L+ 1n+n )=1

27、. 【说明】夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用 2.单调有界准则 准则单调有界数列必有极限. 加的；如果数列xn满足条件x1x2x3Lxnxn+1L，就称数列xn是单调减少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。 几何解释: 如果数列xn满足条件x1x2x3Lxnxn+1L，就称数列xn是单调增 例2 证明数列xn=【分析】已知xn+1= 23nn+1 A n重根式）的极限存在 2+xn，x1=2，求limxn。首先证明是有界的，然后证明是 n 单调的，从而得出结论 证： 1、证明极限存在 a) 证明有上界 x1=2，设xn=+xn-12，则xn+1=2+xn+2= 2所以对任意的n，有xn

28、xn+xn-xn=2xn-xnxnxn-xn=0 所以limxn存在 n 2、求极限 设limxn=l，则l= n 2+l，解得l=2（l=-1舍去） 所以limxn= 2n 二、两个重要极限 1.lim sinx = 1x0x 如右图所示，设单位圆O,圆心角AOB=x,(0x p )， 作单位圆的切线，得DACO.扇形OAB的圆心角为x,DOAB的高为BD,于是有sinx=BD, x=弧AB, tanx=AC, sinxp 1,上式对于-x0也成立. sinxxtanx, 即cosxx2xx2x 2当0x时,0cosx-=1-cosx =2sin,0，xn+1= 12 (xn+)，求limx

29、n n2xn 212 =2，所以数列xn有下界。 (xn+)xnxn2xn 解：显然 xn0。因为xn+1= 121xn2-xn 又因为xn+1-xn=(xn+)-xn=-=0，所以数列xn单调下降，即 2xnxn22xn n limxn存在。设limxn=l，则l= n 12 (l+)，解得l=2，所以limxn=2 n2l 【思考题3】求limcos n xxx cos2Lcosn； 222 解：原极限=lim n sinx2nsin x 2n =lim sinx =1(x0) nx 【思考题4】求极限lim3+9 x+ ( x 1xx 解：lim3+9 x+ ( x 1xx =lim9 x+ (1xx 11 x+1 =9lim1+x x+33 x 3x 13x =9e=9 n 【课堂练习】求 lim i n