2023届高考复习解析几何微专题——圆锥曲线中的探索性问题Word版含解析.docx

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1、2023届高考复习解析几何微专题111维曲线中的探索性问题（学生版）圆锥曲线中的存在性问题一般分为探究条件、探究结论两种，若探究条件，则可先假设条件成立，在 验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在：若探究结论，则应先求出结论的表达式，在对其表达式解 析讨论，往往涉及对参数的讨论.圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：（1）探索点是否存在；（2）探索曲线是否存在；（3）探 索命题是否成立，解决此类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条 件的元素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实 数解，则元素（点、直线、曲线

2、或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在.反证法与验证法 也是求解探索性问题常用的方法.例1 （2022广东省高三新高考测评）设双曲线C： -y2=,其右焦点为R过厂的直线/与双曲线。的右支交于A, 5两点.（1）求直线/倾斜角8的取值范围；qI I（2）直线/交直线于点P,且点A在点P,尸之间，试判断七一卜一是否为定值，并2周周证明你的结论.跟踪练习1、（2021陕西西安八校联考）已知产为抛物线C /=2必0）的焦点，点M（加,1）在抛物线上,9且|川=和直线/： y=&+2与抛物线。交于A、B两点.（1）求抛物线。的方程;代入解得c=l,。=2, b=yj39/ V2故椭圆的

3、方程为亍+=1.代入解得c=l,。=2, b=yj39/ V2故椭圆的方程为亍+=1.(2)法一：由题意可设的斜率为鼠 则直线A8的方程为y=Z(x1),72代入椭圆方程?+?= 1并整理得(43+3)f8日元+43-12=0,设 A(xi, yi), 3(x2, J2),则为+工2 =4 於一124S+3 为丁=4+3在方程中，令X=4得，的坐标为(4,3。333y2y223k21从而 k=7,女2=:，女3=7 r=k彳,Xi 1X2 14 12注意到A, F, 8共线则有仁人=痴，即有淄7=e7=%，所以%+%2 = XI3-2 1 - 2 2 y X十3-2-13- 2,1 i 3 x

4、i +x2-27+ r = 2 左 _ G X:_TT7,1 X2-1J2 X1X2 (Xl+x2)+l8 -34，+32代入得 k+ ki = 2kgX 4产 2 诙2 =2k1,4 一+3 4-+3.1又依=%一；，所以+%2=2依,故存在常数2=2符合题意.法二：设8(血，yo)(xol),则直线EB的方程为丁=音。-1),令元=4,求得M4,5xo-82xo5从而直线PM的斜率为依=2募得Ay。/1、产刈一便一1)，则直线R1的斜率片直线pb的斜率为近=，*二；, 1JN（X（）1J所以ki + kz=所以ki + kz=2y()2x()+52(xo 1)2yo32(xo 1)=2X2

5、y（）-x（）+12ao1）= 223,联立x=ty+2,312一丁2 = 3,得(33l)y2+12(y+9=0,则 J = 36r2+360,故存在常数4=2符合题意.?25、已知双曲线方程为六一方=1，Fi,五2为双曲线的左、右焦点，离心率为2,点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足耐航=0, |PB|PB| = 6.（1）求双曲线的标准方程；（2）过点放作直线/交双曲线于两点，则在X轴上是否存在定点Q（办0）,使得百前 为定值，若存在，请求出机的值和该定值，若不存在，请说明理由.解：（1）由 e=*=2 得 c、=2q, .b=yjc2a2=yl3a9VpM p2=0,:.PFi_LP

6、F2,在 RtAFiPF2 中，由|PQ| |PB| = 2q 得：仍尸犬+尸人口一2|PB|P尸2|=4, 代入|PFi|2+|PF2=4c2, |PFi|PF2| = 6 得：4，-12=4标，解得。2 = 3,。2=1, .双曲线方程为X2弓=1.当/斜率为o时，/： y = o,此时 41,0), 3(1,0),由。(加,0)得黄, = /1；当/斜率不为0时,当/斜率不为0时,设/： x=(y+2, A(xi, yi), 3(x2, yi),. 一9y+*=5?二？ y=分二p)-(%2 m, yi) = (xi m)(x2 in) -yyi = (yi + 2 -+ 2 m) +9

7、(一i2f)2 = (?+l)i72+(2-m)r(ji+2)+ (2-m)2 = (Z2+l)777j+(2-m77jL+(2-/n)2,令刃才口声=/一1,即92+i）即附2加） = （4加一5）（3i1）,化简得加+1=0, 解得加=1,则。（一1,0）,此时,画=0.综上所述，存在根=一1,使得刃才女声=0.6、已知抛物线。的顶点是椭圆，+看=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.(1)求抛物线。的方程；(2)已知动直线/过点P(4,0),交抛物线。于A, 3两点，是否存在垂直于X轴的直线机 被以AP为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出力的方程；如果不存在，说明 理由.解：(1

8、)由题意，设抛物线方程为V=2%。0), ?2由椭圆w+=l 知，/=/。2=43 = 1,所以。=1,.抛物线的焦点为(1,0), .=1，即 p=2,二.抛物线D的方程为=4%.(2)设存在直线机：%=满足题意,A(xi, yi),Cxi +4 vi则圆心5,手，过作直线户。的垂线，垂足为E,设直线机与圆M的一个交点为G,可得出G|2=|MG|2一陷月2,094+)彳 fxi+4 Y即 |EG|2 = IMA/ -|ME|2=-一-1 (XI4)2 3+4)224+4(x1+4)-crXi 4xi +q(xi +4)a2 (a3)xi +4。一层,当。=3时，|EG|2 = 3,此时直线用

9、被以AP为直径的圆所截得的弦长恒为定值2小， 因此存在直线相：尤=3满足题意.7、已知双曲线G：=1(。0,。)与。：苗一=1有相同的渐近线，点尺2, 0)为C的右焦点，A, 8为G的左、右顶点.(1)求双曲线Ci的标准方程；(2)若直线/过点/交双曲线G的右支于M, N两点，设直线AM, 8N斜率分别为左1, 左2,是否存在实数2使得依=求2?若存在，求出7的值；若不存在，请说明理由.解：因为。2的渐近线为因为= 所以 =1, b=小,所以双曲线Cl的标准方程12一?=1（2）存在.由已知，A（1, 0）, B（l, 0）, M（xi, ji）, N（X2, J2）,/过点F（2, 0）与右

10、支交于M, N两点，则/的斜率不为零，设/: x=my+2,由 3消元得（3加21）,2+2m）,+9 = 0,x=my-29因为/与双曲线右支交于两点，3/n2 1W09 八，解得加2=r0,所以yi+”=一所以yi+”=一12m因为 = k2=.2 “刀mxi + r幻及i因为 = k2=.2 “刀mxi + r幻及i0,“、,ki 1（X21） y（myi+） myyi+ypjv 以k2 y2（xi + l） 2（畋 1+3） myxyi+yiyi+”vy2yi+”vy212m _4m-9-=-T,3所以 myy2= +?）,3所以 myy2= +?）,所以所以kkz3i 33-3 Q_

11、拘 +丁2）+ 3” p + 储2所以存在=一；使得k=Xki. J(2)设。为坐标原点，y轴上是否存在点P,使得当攵变化时，总有NOB4=NOP5?若存 在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.2、已知圆C (X1)2+/=7，一动圆与直线相切且与圆。外切.(1)求动圆圆心P的轨迹7的方程；(2)若经过定点。(6,0)的直线/与曲线T相交于A, B两点,M是线段的中点，过M 作工轴的平行线与曲线T相交于点N,试问是否存在直线/,使得24_LN8?若存在，求出直 线/的方程，若不存在，说明理由.3、已知双曲线。的焦点在坐标轴上，且过点/幸，1,其渐近线方程为(1)求双曲线C的标准方程；(2)

12、双曲线。上是否存在被点3(1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由.不存在，请说明理由.4、如图,椭圆C离心率6=不 直线/的方程为x=4.(1)求椭圆。的方程；(2)AB是经过右焦点尸的任一弦(不经过点P),设直线与直线/相交于点记出， PB, PM的斜率分别为左1, ki,依.问：是否存在常数九使得依+依=：3?若存在，求力的 值；若不存在，说明理由.?25、已知双曲线方程为六一方=1，Fi,乃为双曲线的左、右焦点，离心率为2,点P为双曲线在第一象限上的一点，且满足再T碇=0, PFiPFi = 6.(1)求双曲线的标准方程；(2)过点F2作直线/交双曲线于A,

13、 8两点，则在x轴上是否存在定点。(办0),使得正QB 为定值，若存在，请求出机的值和该定值，若不存在，请说明理由.?26、已知抛物线。的顶点是椭圆，+=1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合.(1)求抛物线。的方程；(2)已知动直线/过点P(4,0),交抛物线。于A, 3两点，是否存在垂直于x轴的直线机被以AP为直径的圆所截得的弦长恒为定值？如果存在，求出机的方程；如果不存在，说明 理由.7、已知双曲线Ci：F-庐=1（40, b）与 Ciz5=1有相同的渐近线，点尸（2, 0）为。 y D的右焦点，A, 8为G的左、右顶点.（1）求双曲线C1的标准方程；（2）若直线/过点/交双曲线G的右支于M

14、, N两点，设直线AM, BN斜率分别为左1, k2,是否存在实数2使得%=俄2?若存在，求出2的值；若不存在，请说明理由.2023届高考复习解析几何微专题锥曲线中的探索性问题（解析版）圆锥曲线中的存在性问题一般分为探究条件、探究结论两种，若探究条件，则可先假设条件成立，在 验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在：若探究结论，则应先求出结论的表达式，在对其表达式解 析讨论，往往涉及对参数的讨论.圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：（1）探索点是否存在；（2）探索曲线是否存在；（3）探 索命题是否成立，解决此类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为假设满足条 件的元

15、素（点、直线、曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实 数解，则元素（点、直线、曲线或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在.反证法与验证法 也是求解探索性问题常用的方法.例1 （2022广东省高三新高考测评）设双曲线C /=1,其右焦点为尸，过尸的直线/与双曲线。的右支交于A, B两点.（1）求直线/倾斜角。的取值范围;(2)直线I交直线x=，于点H且点A在点P,尸之间，试判断姆一蚂是否为定值，并2同|庆|证明你的结论.X2 r解：(1)由双曲线C：彳一y2=i得。2 = 3+1 =4,则右焦点/(2, 0),显然直线/的斜率不为0,设直线/的

16、方程为x=my+2,J 2=1由 3 )得(加23%2+4冲+=0,x=iny+2因为直线/与双曲线。的右支交于A, B两点、,设A（X1, yi）, 3（X2, 丁2）,3=士，,3=士，4772zl=16m2-4（m2-3）0,第+竺=A = 16/n24（m2 3）0, 则xi +x2 = m（yi +y2）+40, xi-X2 =（畋 1 + 2） （my 2+2）0,解得一小 根45,JT当m=0时，直线/倾斜角0=5, 乙当mW0时，直线/的斜率左坐或攵一乎,综上，直线/倾斜角。的取值范围为综上，直线/倾斜角。的取值范围为是定值.证明如下:尸加什2,（mWO）,（mWO）,尸|得F

17、) A不妨假设yivOv”,- 2yly2 -痔2+才 V - 2yly2 -赤Y2心+v）行+为又 W=一表（？+2）,代入上弋彳等国M代入上同一同M+如+”)-系y，+如=111丁彳+痔才+痔为定值1.为定值1.所以跟踪练习1、(2021陕西西安八校联考)已知方为抛物线C： x2=2yS0)的焦点，点M(m,1)在抛物线上, 9且|MF|=g.直线/： 丁=+2与抛物线。交于A、B两点.(1)求抛物线。的方程；(2)设。为坐标原点，y轴上是否存在点P,使得当Z变化时，总有N。必=N0P8?若存 在，求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.解：(1)根据抛物线的定义,得1+分, Z o解得p=

18、.二.抛物线。的方程为(2)在y轴上存在点P,使得当变化时，总有NOP4=NOP5.理由如下：设 P(0, b), A(xi, yi), 8(X2, ”).y=kx+2,由( 1 消去y,得2f乙一2=0,且/ =3+160恒成立./.XI +12 =y2 = 2x1N0%=N0P3时，直线% 和直线P3的倾斜角互补，故其斜率互为相反数.y一8 y2b X2(y -b)-x (j2b)/. kpA + kpB十 XI X2X1X2=0,/.X2-2x?bx2x-2jAhx = 0,即(2xiX2 Z?)(X2 +xi) = 0,(一2 一/?).4=0,得 b=-2,即点P的坐标为(0, -2

19、).所以，y轴上存在点尸(0, -2),使得当上变化时，总有/。M=/。尸3.2、已知圆C (%l)2+y2=, 一动圆与直线了=3相切且与圆。外切.(1)求动圆圆心P的轨迹T的方程；(2)若经过定点。(6,0)的直线/与曲线T相交于A, B两点，M是线段的中点，过M 作工轴的平行线与曲线T相交于点N,试问是否存在直线/,使得NA上NB?若存在，求出直 线/的方程，若不存在，说明理由.解：(1)设。(也y),则由题意得pc-2,即y+y2=x+ ,化简可得动圆圆心P的轨迹T的方程为y2=4x.(2)设yi), Bg /).由题意，设直线/的方程为工=殁+6,联立抛物线方程可得 y24my-24

20、 = 0, /= 16m2+960,-yiiy2=4m, yiy2= 24,-Xi +x2=4m2+12, xix2 = 36,假设存在 Mxo, yo),使得 NA_LNB,则=/-j;o=7n2,NA - NB =0, -(xi ivyx 2m)-(X22m) = 0, .代入化简可得(祖2+6)(3m22)=0,.m= 3 ,存在直线/： x=坐y+6,使得NA上NB.3、已知双曲线。的焦点在坐标轴上，且过点17其渐近线方程为=尼t求双曲线c的标准方程;双曲线。上是否存在被点3(1,1)平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，请说明理由.解：(1)由双曲线C的焦点在坐标轴上

21、，其渐近线方程为 可设双曲线的标准方程为2/一2=九 将榨，1)代入双曲线方程，可得2=2，所以双曲线c的标准方程为fn.假设双曲线。上存在被点8(1,1)平分的弦，记弦所在的直线为I.X?=1,设5(1,1)是弦的中点,yi), Ng /),则为+加=2, yi+*=2.因为点N在双曲线。上，所以它们的坐标满足双曲线方程，即两式相减得 2(x1 +x2)(xi X2) (y-y2)(yi +”) = 0,所以 4(xi %2)=2(yi yi),所以直线 l 的斜率2,所以直线/的方程为yl = 2(x1),即2xy1=0.X2q1联立直线I与双曲线C的方程，得 2消去y,得2x2-4x+3=o, J = 162xyl=Q,-4X2X3 = -8b0)经过点P(l, 1j,离心率e=,直线I的方程为=4.(1)求椭圆C的方程；(2)AB是经过右焦点方的任一弦(不经过点P),设直线与直线/相交于点加，记山, PB, PM的斜率分别为M, ki,依.问：是否存在常数九使得防+依=独3?若存在，求义的 值；若不存在，说明理由.