基本不等式测试卷1.docx

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1、基本不等式测试卷（45分钟）1 .已知X三，则力二口1:取一分有（）22x4A.最大值；4B.最小值g4C.最大值1 D.最小值12 .如图在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色 的明暗使它看上去像个风车，代表中国人民热情好客.我们教材中利用该图作为个说法的个几何解释, 这个说法正确的是（）A.如果那么B.如果那么/匕C.对任意正实数。和/?,有7+之2,必，当且仅当4=匕时等号成立D.对任意正实数。和，有a + 之2a,当且仅当。=时等号成立3 .实数十、），x-i,且满足iy + y = -x+3，则x+y的最小值是（）A. 1B.忘C.

2、2D. 34 .己知”，/?0,且满足=则3+2?的最小值为（）A. 72B./C. 272D. 25/35 .已知直线如一丁+ 2左=。恒过定点A,点A也在直线”d+ 1=0上，其中，爪1 ?均为正数，则一十一的最小值为（in nA. 2B.41 ?均为正数，则一十一的最小值为（in nA. 2B.41 1 16 .已知 x(),y() ,K- + -= x+y2A. 3B. 5C. 6D.8则的最小值为（）C. 7D.97 .(多选)下列函数中，最小值为2的是()A. y = x2 + 2x + 3B. y = ev + e-rC y = sinx + !0 二 | D. y = 3X +

3、2 sin x 2 J8 .（多选）设，1, ）1且，必一（a+力=1,那么（）A. +方有最小值2 + 2应B. a+ 有最大值2 + 2近C.,力有最大值1 + JJD.有最小值3 + 2JJ33B.由？+ = 2 且 7 （）, 0 得而 。得（Y + （） ? =2 ,+ 而）2 d “-=2,故 D 正确.2故选：ABD.【点睛】本题考查了基本不等式的应用，化“广求最值，考查了转化的思想，属于中档题.14. AD【解析】【分析】将等式变为，心=1+ （“+）和c心一 1=。+ ，由基本不等式可分别得到关于a + 和，心的不等式，解不等式求得结果.【详解】由他一（ + ）= 1得：帅=

4、1+ （“ + ） ?；（当且仅当。=。1时取等号）即（ + 1 - 4 （。+ ）- 420 且 a+/?2，解得：a + b2 + 2V2有最小值2 + 2JJ,知A正确；由他一（ + ）= 1得：ab-=a + b2yb （当且仅当a= 1时取等号）即，一 2c 120 且砂1,解得：ab 3 + 2/2，出?有最小值3+ 2加，知。正确.故选：AD【点睛】本题考查利用基本不等式求解最值的问题，关键是能够利用基本不等式将已知方程化为关于a+力 和，心的不等式：易错点是忽略和，心所处的范I制，造成求解错误.15. 3【解析】【分析】由点A的位置得出“7, 。，+ -=1,再用基本不等式求利

5、的最大值. 34【详解】x vhi n因为点A ( i, )在第一象限，且在直线；+ ： = 1上，所以 7,”(), + = 1 .3434(m + n Y所以，(当且仅当即？=3, =2时，取等号)3423422所以，即 ？43 344 所以用的最大值为3.故答案为：3【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值，涉及了点与直线的位置关系，属于中档题.16. 16【解析】【分析】本题是基本不等式中的一个常见题型，需要去掉分母，再利用基本不等式转化为关于孙的不等式，解出最小 值.【详解】33由人一+=1,可化为A) , =8 + x + y,2 +12 +)，.x,)，均为正实数，.A, =8

6、+X+) , 28+ 2而(当且仅当x =)等号成立)即邛.2AA820,可解得J梃4,即母216故个的最小值为16.故答案为：16.【点睛】解决本题的关键是先变形，再利用基本不等式J而W W(a 6b ()来构造一个新的不等式.17. 4【解析】【分析】4 1j首先由+=2整理得出4y + x = 2A, N2历进一步求得外24,从而得到结果.【详解】由 土 +，= 2 可得：4y + x = 2,vyN2 向 1, x y整理得：A4 (当且仅当x = 4, y = 1时取等号)，故答窠为4.【点睛】该题考查的是有关不等式的问题，涉及到的知识点有利用基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属

7、于基础 题目.(8)3 后【解析】【分析】【详解】由2aba2 +两边同时加上标+得(“ + 心2(/+ )两边同时开方即得：a + ba2b2) ( X)力)。且当且仅当。=时取=)，从而有671 + ,八彳，2( + 1+/? + 3)=3& (当且仅当。+ 1=+3,即73=一,=一时，廿成立)22故填：3().考点：基本不等式.【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式2,必工“2+2转化为a + /?0.b0且当且仅当a=b时取”)再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.49(1)当 x = 2 时，y = x + 取得最小值 4： (2) -； (3

8、) 6； (4) 16x2【解析】【分析】(1)直接利用基本不等式计算可得；(2)先根据x的范围确定3 2文的符号，再由y=4x3-2x) = 22x(3 -2制结合基本不等式的内容可得到函数的最大值.44(3)利用配凑法变形x + - = (x-2)+ - + 2,再利用基本不等式计算可得：x-Tx-21 9(4)利用一+-= 1与x+y相乘，展开利用均值不等式求解即可.【详解】解：(1)因为x0,所以y = x+N2jx 二4,当且仅当x = e,即x = 2时取等XX X4号：故当x = 2时，y = x +取得最小值4：x3(2) */0x0.2/. Y = 4x.(3 - 2a) =

9、 2 2x(3 - 2x)A2 上=1)=.2 72当且仅当2x = 32x,即x =3时，等号成立.439二函数丁 = 4x(32x)(0vx2, :.x-20. x +7 = (x - 2) + -以 + 222j(A2)Ai: ； + 2 = 6,当且仅当 x - 2 = -A 时取等号,x-2 x-2 V x- 2x-24即x = 4时，x +的最小值为6, x 21 9,(4)/%0, y0, 一+ = l,x)化+3=+良+ *2 泛+10= 16.y 9x1 9当且仅当一=时，上式等号成立，又一+ = 1,.x = 4, y = 12时，*+,)”而=16. xy xy【点睛】利

10、用基本不等式求函数最值是高考考查的市点内容，对不符合基本不等式形式的应首先变形，然后必须满足三个条件：一正、二定、三相等.同时注意灵活运用“1”的代换.19. (l)x=0： (2)4【解析】【分析】由题得(23 2x2, 1 =0,再解即得.(2)先化简得 4(”)4对于xe R恒成立,/W再利用基本不等式求右边函数的最小值即得解.【详解】/(x) = 2,即 2 + 2T = 2,即(2”1 -2 乂 2、1 = 0(2-l)2=0,.2, = 1,解得工=0由条件知/(2x) = 2 + 22x = (2、2- -2 = /(/(x)2-2f2x) w/(.v) - 6 对于任意 x w

11、 A 恒成立，J=L/(A) 0所以匕小苴土 I对于xw A恒成立fM而号+奈号尔4当且仅当f(x) = 7K,即f(x)=2, x=0时取得最小值.所以 ?4,所以实数m的最大值为4.【点睛】(1)本题主要考查指数方程的解法，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推 理转化能力.(2)处理参数问题常用的方法有分离参数和分类讨论.本题利用的是分离参数法.9.设x, 均为正实数，且:;一 十 -:1,则冲,的最小值为2 + x 2 + y1 ?10 .已知Ocxvl,则一 十二的最小值为2x 17411 . (1)已知x 0,求了 =工+的最小值.并求此时x的值：x3(2

12、)设Ovxv二，求函数y = 4x(3-2x)的最大值：4(3)己知、2,求x + -a的最小值：1 9(4)已知x0, y。，且一+ = 1,求x+y的最小值:xy20.已知函数 f(x) = 2+2-X.(1)求方程a)=2的实根：(2)若对于任意xeR,不等式(2*)之而。)一6恒成立，求实数m的最大值.参考答案1. C【解析】【分析】根据不等式的性质，以及基本不等式，即可判断出结果.【详解】因为Ov4v，所以又由基本不等式可得：二茄，质以石，-12又ah 2所以y/出？ a ,因此 + y/ab a. 2故选：c.【点睛】本题主要考查山不等式的性质，以及基本不等式比较大小，属于基础题型

13、.2. D【解析】【分析】先对函数/ (X)进行化简变形，然后利用均值不等式求出最值，注意条件：“一正二定三相x?-4x + 5解：例=2x.4当且仅当x 2二-即x =172【详解】=-(x-2) +2(x-2)23时取等号,x 2故选:【点睛】本题考查r利用基本不等式求函数的值域，要注意到条件：“一正二定三相等”，同时要以活运用不等式,属于基础题.3. C【解析】【分析】 观察图形，设直角三角形的长直角边为短直角边为/?.由4个三角形的面枳和与大正方形的 面积的大小关系，得到/ + 2,必,并判明何时取等即可【详解】通过观察，可以发现这个图中的四个直角三角形是全等的，设直角三角形的长直角边

14、为。，短直角边为如图，整个大正方形的面积大于等于4个小三角形的面积和，即/+ 2.即/+之2时.当。=时，中间空白的正方形消失,即整个大正形与4个小三角形重合.其他选项通过该图无法证明，故选C【点睛】本题考查均值定理的几何法证明，考查数形结合，属于基础题4. C【解析】【分析】4由冲+ =1 + 3可得出y=1,然后利用基本不等式可求得工+)的最小值.x+ 1【详解】上 _,23-X 4-(x +1)4( xy + y = x+3 , Z y =1,x+1x+1x+1444x-l,. .x + l0 , x + y = x-1 += (x + 1) +2 2J(x+l)2 = 2, x+ 1

15、1)x+ 1 V 7x + 当氏仅当无=1时，等号成立，因此，x+y的最小值是2.故选：c.【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，解题的关键在于对所求代数式进行化简变形，考查”算能力，属于 中等题.5. C【解析】【分析】利用，,和的关系进行代换，再利用基本不等式即可得出.【详解】当且仅当4二走时取等号.2,3。+Z?的最小值为2点故选：C【点睛】本题主要考查了基本不等式求最值，考查了学生的运算求解能力.6. D【解析】试题分析：左X y + 2攵-1=0变形为(x+2) = y + 1,所以过定点(一2,-1),代入直线得2m +n = ./- 1(2/7/+ /2)= 4 + 4-

16、 - 4 + 274 = 8,当且仅当匕.时等号成m n m n /m nm n立，取得最小值8考点：1.直线方程：2.均值不等式求最值C【解析】【分析】运用乘1法，可得由/y=(AH-l)+yl = (/l)+y-(- + -)-1,化简整理息 x +1 y基本不等式即可得到最小值.【详解】由肝 y=(/l) +y- 1=(m 1)+力 1 1=ri)+yj2 (-! + -)-1x + 1 yy (x +1)、=2 (2 +八一 +)-1x + y23+4 叵=1ZEU = 7.x + y当且仅当x=3, y=4取得最小值7.故选：C.【点睛】本题考资基本不等式的运用：求最值，注意乘1法和

17、满足的条件：一正二定三等，考吉运算能力，属于中档题.8. B【解析】【分析】分析得到直线经过圆心，所以二十人二1,再化简得与 = (+:)(2 + “)= 3+艺+三，2 ab a hl a 2b再利用基本不等式求最小值得解.【详解】由题得圆的方程可以化为(X-2)2 + (), +1)2 = 9,所以圆心为(2 11),半径为厂=3,因为直线cix-by-4 = 0(4 0/ 0)被圆/ + /_41+ 2y-4 = 0截得的弦长为6,所以总线经过圆心，所以 2。+4/?4=0,即今/?二1,4b + a A 1-4/?o - 14b a , k所以=(I)(Pb) = 3 + + 2 3

18、+ 2. 一 = 3 + 2-y2 ,ab ab 2a 2ba2b当且仅当。=4-20力=应一 1时取“=”，所以的最小值为3 + 2点.ab故选：B.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9. B【解析】【分析】首先将所给的不等式进行恒等变形，然后结合均值不等式即可求得其最小值，注意等号成立的条件.【详解】12 1 252x.2x I-x x 1-x 2 x 1-x*/0x0 且 1 一0,虻2”叫1X2,X1-XX1-X5(1 工匚2a-取得最小值2.X 1-X925(1 工匚2a-取得最小值2.X 1-X92当且仅当5(1

19、时,3X 1-X1 25r 丁 + c 的最小值为7 + 2二八.2x 1-A-2故选B.【点睛】 本题主要考查基本不等式求最值的方法，代数式的变形技巧，属于中等题.10. B【解析】【分析】o2x_22由题意得出一 Z74 = 4，利用基本不等式求得一 4的最大值，可得出关于。的x+x+XX不等式，由此可解得实数。的取值范围.【详解】依题意得当x0时，+，恒成立，JV+ 一X又因为X + ：之25A=4,当且仅当x = 2时取等号，所以二三的最大值为所以24+12,解得因此，实数的取值范围为一：，+8) 24 L4 )故选：B.【点睛】本题考查利用基本不等式恒成立求参数，考查计算能力，属于基

20、础题.11. AB【解析】【分析】 对A,根据.：次函数的最值判定即可.对B,利用基本不等式判定即可.对C,利用基本不等式判定即可.对D,根据指数函数的值域判定即可.【详解】对A,), =/+2工+3 = (+1)2+222,当且仅当工=一 1时取等号.故人正确.对B, , =6、+0_217专7 = 2,当且仅当x = ()时取等号.故B正确.对 C, y = sinx +J -2 2.&ii A = 2.取等号时 sinx =J ,又 xe 0,g故不可 sinx V sinx sinx 27能成立.故C错误.对D,因为)，=3 乂 0,故、=3、22,故口错误.故选：AB【点睛】本题主要

21、考查了函数最值的运算，属于基础题.12. BD【解析】【分析】结合基本不等式条件，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，当0，所以所以是正确的：对于 C 中，由/ (c=(：3) +,=正 +3 + N2 kx2 + 3 人=2,4c + 3 Jx2 + 3 y +3即W+3 = l,即/=一2 (不成立)，所以不正确；1Jx2 +3对于 D 中，由 log3(2a + )= 1 + logoJ人，可得 2a+b = 3M?,且。0/0,可得，+ 2 = 3,则 a +力=4 伍 + 3)(, + 2) =, (5 + 竺+ 二)之J *(5 + 2。b 3ab / ) = 33ab 3Nab当且仅当一=即。=8时等号成立，所以是正确的故选：BD.【点睛】本题主要考查了基本不等式的应用，其中解答中熟记基本不等式的使用条件” 正、二定、三相等”，逐项判定是解答的关犍，着重考杳了推理与运算能力.13. ABD【解析】【分析】利用基本不等式，逐一判断个选项，即可.【详解】A.正实数7、满足任 二22m.一 + = (m + /:)(+ )=(3 + + 比 22 m 、 c In 2ni 3 + 2 叵时 3 + 2吐了)=2当且仅当2二二”时，等号成立，故A正确:相