专题15 圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题（原卷版）.docx

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1、专题15圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题一、考情分析圆锥曲线中的探索性问题与不良结构问题是近年高考的热点，探索性问题通常为探索是否存在符合的点、直 线或结果是否为定值，求解时一般是先假设结论存在，再进行推导，有时也会出现探索曲线位置关系的试题，结 构不良问题时，兼顾开放性与公平性，形式不固化，问题条件或数据缺失或冗余、问题目标界定不明确、具有多 种评价解决方法的标准等特征，选择不同的条件，解题的难度是有所不同的，能较好地考查学生分析问题解决 问题的能力.二、解题秘籍（一）解决探索性问题与不良结构问题的注意事项及方法1 .解决探索性问题的注意事项探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若

2、结论正确则存在，若结论不正确则不存在.当条件和结论不唯一时要分类讨论；（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法.2 .存在性问题的求解方法存在性问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为：假设满足条件的元素（点、直线、 曲线或参数）存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素（点、直线、曲线 或参数）存在；否则，元素（点、直线、曲线或参数）不存在.反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法.3 .结构不良问题的主要特征有：问题条件或数据部分缺失或冗

3、余；问题目标界定不明确；具有多种解决方法、途径；具有多种评价解决方法的标准；所涉及的概念、规则和原理等不确定.29【例1】（2023届江西省赣州厚德外国语学校、丰城中学高三上学期10月联考）已知双曲线C：二 2 = 1经过点（2,-3）,两条渐近线的夹角为60 ,直线/交双曲线于A5两点.（1）求双曲线。的方程.若动直线/经过双曲线的右焦点是否存在1轴上的定点”（叫0）,使得以线段A5为直径的圆恒过M点？若存在，求实数加的值；若不存在,请说明理由.【解析】（1）,两条渐近线的夹角为60；.,渐近线的斜率2 = 6或土且，即。=6或=走；a33当b = y/3a时，由二-广=1得：=1, = 3

4、 ,双曲线C的方程为：x2 - = 1 ； 矿价3当=走时,方程;-於=1无解；3CT tr（2）。= 庐乒=1,则有耳（TO）,设K。）,线段耳K的中点为（乂力则有.x-2 = ny = 2m = 2x 4-1 n = 2y29又K是椭圆上的动点，则有3二,即 0x+i) +(2y)故线段片 0）的焦点为F,点P （加儿）在抛物线C上，且.求抛物线C的标准方程；若直线l：x-y-2 =。与抛物线C交于A,3两点，求AABF的面积.【解析】（1）解：选择条件，由抛物线的定义可得PF = /+,因为尸产=% +1,所以=% +1，解得p = 2,故抛物线C的标准方程为y2=4x.选择条件，因为%

5、 =2% =2,所以 为 =2,% =1,因为点P（x0,y。）在抛物线。上,所以y；=2px。,即2)=4,解得 =2,所以抛物线C的标准方程为y2=4x.选择条件.当尸产_Lx轴时，Pb = + = 2,所以 =2.故抛物线C的标准方程为y2=4x.(2)解:设由(1)知尸(1解).x-y-2 = 0.由 2 4，得 y2_4y_8 = 0,y =4x则 X +% =4,x% =-8,所以 一 %| = J(x + %= J16 + 32 =46,故 AB = J1 +器 M - 丫21 = & x 4G = 4a/6 .因为点尸到直线/的距离d=4也=立，V1 + 1 2所以ABb的面积

6、为，A8d = Lx4x正=2月.222三、跟踪检测1. (2023届广东省佛山市顺德区高三上学期教学质量检测)已知动圆C经过点打1,0),且与直线4-1相切, 记动圆。圆心的轨迹为E.求E的方程；已知尸(4,%)(%0)是曲线E上一点,是曲线E上异于点2的两个动点,设直线24、依的倾斜角分别3兀为以尸，且。+ /?=3,请问：直线A3是否经过定点？若是,请求出该定点，若不是,请说明理由.4(2023届江苏省泰州市泰兴市高三上学期期中)已知圆。：/+产=16,点A (6,0)，点5为圆。上的动点, 线段AB的中点M的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)设T (2,0),过点T作与x轴不重

7、合的直线/交曲线。于E、尸两点.(i)过点/作与直线/垂直的直线相交曲线。于G、”两点，求四边形EGF”面积的最大值；(ii)设曲线。与x轴交于P、Q两点，直线PE与直线。/相交于点N,试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.2. （2023届上海师范大学附属嘉定高级中学高三上学期期中）己知双曲线。/2-丁=1,过点7,0）作直线/ 和曲线。交于A,3两点.求双曲线C的焦点和它的渐近线；若，=0,点A在第一象限,轴,垂足为凡连结求直线斜率的取值范围；过点7作另一条直线机”和曲线。交于JF两点.问是否存在实数使得市.炉=0和网=|同 同时成 立.如果存在,求出满足条件的

8、实数t的取值集合；如果不存在,请说明理由.3. （2023届湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三上学期期中联考）设点P为圆C：Y + y2 =4上的动点，过点p作X轴垂线，垂足为点Q,动点M满足2瓶=6所（点A Q不重合） （1）求动点M的轨迹方程E ；若过点7（4,0）的动直线与轨迹E交于A、3两点，定点N为，直线N4的斜率为。直线M5的斜率为何, 试判断仁+网是否为定值.若是,求出该定值；若不是，请说明理由.4. （2023届湖南省郴州市高三上学期教学质量监测）已知椭圆+ mIS人。）的离心率为丰，过坐 标原点。的直线交椭圆后于尸，A两点淇中P在第一象限，过P作x轴的垂线,垂足

9、为C,连接AC,当C为椭圆 的右焦点时,PAC的面积为72 .求椭圆E的方程；若B为4?的延长线与椭圆E的交点，试问：是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，说明理由.5. （2023届云南省部分重点中学高三上学期10月份月考）已知抛物线C： V=2pMp0）的焦点为。点2）在抛物线C上，且。目=2 .求抛物线C的标准方程.直线/： x = y+r与抛物线。交于两点，点P（TO）,若ZAPO=/B尸O （0为坐标原点），直线/是否 恒过点M?若是，求出定点M的坐标；若不是，请说明理由.6. （2023届上海市高桥中学高三上学期9月月考）在平面直角坐标系中，。为坐标原点，动点G到耳卜6,0）,

10、月（G,。）的两点的距离之和为4.试判断动点G的轨迹是什么曲线，并求其轨迹方程C.已知直线 =与圆鸟：1-百 + 交于M、N两点,与曲线。交于尸、。两点，其中 M、P在第一象限,d为原点。到直线/的距离,是否存在实数般使得T = （|NQ|-|MP|）2屋取得最大值，若存在, 求出和最大值；若不存在，说明理由.7. （2022届广东省潮州市高三上学期期末）已知椭圆C：5 + = l（a方0）的离心率为半，以原点。为圆 心椭圆C的长半轴长为半径的圆与直线2x-V2y + 6 = 0相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知点A石为动直线产总-2）（厚0）与椭圆。的两个交点，问：在x轴上是否存在定

11、点E,使得前+丽.丽 为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值；若不存在,请说明理由.8. （2022届河北省深州市高三上学期期末）已知抛物线。：丁=41,点尸为。的焦点，过方的直线/交。于 A.B两点.（1）设43在。的准线上的射影分别为P,Q,线段尸。的中点为R,证明：AR/FQ.（2）在x轴上是否存在一点T,使得直线ATIT的斜率之和为定值？若存在，求出点了的坐标；若不存在，请 说明理由.9. 已知椭圆氏与+ 丁 =l（al）的离心率为等，圆A:%2+（y-a）2 =/（r0）与椭圆石相交于8,c两点.uim uiim（1）求A8AC的最小值；（2）若乱尸2分别是椭圆后的上、下焦点，经过点

12、耳的直线/与椭圆E交于M,N两点,0为坐标原点，则。乙N与OgM的面积之和是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时直线/的方程；若不存在，请 说明理由.22（2022届北京一六一中学高三12月测试）已知椭圆C：L +上=1（机2）上一点与椭圆C的两个焦点构 m 2成的三角形周长为4亚+ 26.（1）求椭圆。的方程;（2）过点P（2,D作光轴的垂线/,设点A为第四象限内一点且在椭圆C （点A不在直线/上），点A关于/的 对称点为4,直线AP与C交于另一点艮 设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系,并说明理由.10. （2023届海交通大学附属中学2023届高三上学期10月月考）已知双曲

13、线C：右焦点为F（2,0），渐近线方程为y = 土岛，过F的直线与C的两条渐近线分别交于48两点.（1）求。的方程；若直线A3的斜率为1,求线段A3的中点坐标;点p(%j)、。(/，必)在C上，且%Z，X过尸且斜率为-g的直线与过。且斜率为G的直线交于点M.从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立.M在A3上；尸。 A3；|MA|=|MB|. 22/ o 11. 已知椭圆C a+1二乂心八。)的离心率为:，点/J在椭圆。上.(1)求椭圆。的方程；22若椭圆。的两条切线交于点M (4,力，其中，此切点分别是A、民试利用结论：在椭圆鼻+ 2 = 1上的点 a lr(小,为)处的椭圆切线方程是竿+

14、等=1,证明直线AB恒过椭圆的右焦点与；试探究曲 + 赢 的值是否恒为常数，若是，求出此常数；若不是，请说明理由.12. (2023届四川省成都市高三上学期月考)如图所示，已知A3两点的坐标分别为(-2,0),(2,0),直线AP/P的交点为P,且它们的斜率之积，求点P的轨迹E的方程；设点C为x轴上(不同于A5) 一定点，若过点P的动直线与E的交点为Q,直线PQ与 直线x = -2和直 线工=2分别交于M,N两点，当NACM = N4CN时,请比较ZACP与NACQ大小并说明理由.13. (2023届广东省佛山市南海区三水区高三上学期8月摸底)在平面直角坐标系中,0为坐标原点,抛物线 ：/=2

15、、(0)的焦点为尸，抛物线上不同两点MN同时满足下列三个条件中的两个：FM + FNMN. |OM |=| ON |=| MN |=8C；直线 MTV 的方程为 丁 = 6p .请分析说明两点满足的是哪两个条件？并求抛物线的标准方程；过抛物线的焦点尸的两条倾斜角互补的直线A5和。交抛物线于AACQ,且A,C两点在直线BO的下 方,求证：直线AQ BC的倾斜角互补并求直线AD, BC的交点坐标.2综上所述：.双曲线。的方程为：Y 匕=1.3（2）由题意得：7；（2,0）,假设存在定点（伙0）满足题意，则苏.碗=0恒成立;方法一：当直线/斜率存在吐设/：y = Mx-2）,4（不必）/（0）,产攵

16、- 2）一A=36（l+Z:2）0,2 J 得：（3-公卜2 +4人_（4 +3）X二 134k24攵2+3MA-MB = x1 -m）（x2 一2） + y% =%2 加（玉 + x2） + itt + 左？（大/ 一2（% 十） + 4）=（1 +尸）J% - RS +时（而 +/ ） +二 +41、=（4攵2+3）（1+攵2）一一3+加+4左 2 二，.（4&2+3）（1 + 22） 4左 2（2女2+m）+ （租2+42）（攵23）= 0整理可得：根24根5）+（3 3/） = 0.,f/772 -4/71-5=0 z咋一 3/=0I；当相=一1时，加.耐=0恒成立；当直线/斜率不存在

17、时,/: x = 2,则A（2,3）, 5（2,-3）,当 M（-1,0）时,MA =（3,3），MB =（3,-3）,/. MA.MB = 0成立;综上所述：存在（T。）,使得以线段A3为直径的圆恒过“点.方法二：当直线/斜率为。时,/:y = 0,则4（-1,0）,5（1,0）,/. MA- MB = nr -1 = 0,解得：m = l；当直线/斜率不为。时，设/：x = + 2,4（5,），区（%2，%）,产”2伽2-1/0由 T=1 得:-3+9 =。,，02fnt 9n=-e，x%=r，:.MA -MB = x -77i)(x2 一/)+ y% =%2 制玉 +x2) + m2 +

18、9(z2 + l) 12r(2r-mr)9(z2 + l) 12r(2r-mr)3?-l= (zy)+2)(ry2 +2)-m(fy, +2 + (y2 +2) + m2 +y% =(r +1)yy2 +(2t-mt)(y -i- y2) + 4-4m-hm29 (12m-15)r+9 /、2 八+ 4 4m + m- =-1-(2 m) =0 ；3 产11)9_. _.=,R|J m = - 时,M4.M5 = 0成立;综上所述：存在（-I,。）,使得以线段A3为直径的圆恒过M点.22【例2】（2。23届云南省师范大学附属中学高三上学期月考）已知双曲线。言年=叱。）的右焦点为/（G。）,从虚

19、轴长为26；离心率为2；双曲线。的两条渐近线夹角为60。中选取两个作为条件，求解下面的问题.求。的方程;过点尸的直线/与双曲线C的左、右两支分别交于A3两点,。为坐标原点，记民面积分别为若兴=1,求直线/的方程.d2（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.）【解析】（1）若选，可知【解析】（1）若选，可知c2 = a2 +/,工=2, a2b = 2/3,Cl y解得 =c = 2,2.c的方程为T若选，因为2=6a2b = 273,a = 1,b = a/3,2.c的方程为T- = 2,若选,设递增的渐近线的倾斜角为凡可知v晨,a1 +b2 =c2 = 2,a则 2 = tan。

20、= tan60 ,aa2 +h2 =c2此时无法确定a,b,c（2）尸（2,0）,由题意知，直线/斜率不为0,设直线/： x = + 2.x = ty + 2,由 2 v2得 212+12。，+ 9 = 0,厂一 J 二 L3设设4%),设%2,%)J y 11 % I,则可知3 1W 0且A0恒成立,-2t9.66乂 + % = r，Y% = r，, y % , r 夕一夕_33. SAOB /mof-S4bOF = S4A0F _ = !A1 _ =6+.A = 2 + 73S&BOF S&BOF S&BOF 必 %g=43r-l g=43r-l 小（M+必）2-2必为 _10产+2 7口

21、 M % _1。+2田一行丁后五二一亍二二f二土石，满足/ 一且或看虫. 332a/3x H32a/3x H3 直线的方程为y邛A竽或等（二）是否存在型探索性问题 求解此类问题一般是先假设存在，再根据假设看看能否推导出符合条件的结论.=1（人0）的左、右焦点分别【例3】（2022届天津市南开中学2高三上学期检测）已知椭圆C： 为、尸2,且Fz也是抛物线小 V=以的焦点，尸为椭圆。与抛物线石在第一象限的交点，且户用=1.（1）求椭圆。的方程;（2）若直线y = Z（x-l）与椭圆。交于R,S两点，问是否在工轴上存在一点。使得当左变动时，总有ZOTS = ZOTR ?说明理由.【解析】（1）,K也

22、是抛物线E：尸=41的焦点,玛（1,0）,.c = 1,且抛物线的准线方程为x = -1,设点?（如%）,552 . I Pg | = ，/ +1 = ，. / = ，272 2a/648 %=访=亍.彳+方jt.9a2 -b1 =。2 =,解得/=41=3,29椭圆方程为上+汇=1;43（2）假设存在丁,0）满足NO75 = NO77?.设尺（即y）,S（4%），联立联立y =攵(工_1)3f+4y2=i2f8人 + 4公12 = 0,由韦达定理有X +=著、，中2 =收二，其中。恒成立， 3+43+4K由NOTS = /O77?（显然7，77?的斜率存在），故G+*=0,即,Xy-t W

23、-/由 R,S两点在直线 y = Z（x1）上，故 =%（% 1）,% =%（工2-1）， 代入整理有2百一 （% +1）（川+）+ 2,=。,6/-24将代入即有： 4 = 0，要使得与攵的取值无关，当且仅当）= 4时成立， 3 + 4%-综上所述存在7（4,0），使得当k变化时，总有ZOTS = ZOTR.（三）探索直线是否过定点求出此类问题一般是设出直线的斜截式方程了 =+，,然后根据已知条件确定太，的关系式，再判断直线是否过定点.【例4】（2022届北京市房山区高三上学期期末）已知椭圆氏J + *l（a）0）的离心率为母,A3分别为椭圆E的上、下顶点，且1ABi =2.（1）求椭圆E的

24、标准方程；（2）设直线/与椭圆E交于M,N （不与点A3重合）两点,若直线AM与直线AN的斜率之和为2,判断直线/是否经过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由.【解析】（1）由离心率为正，可得 =且 2 a 2因为A3为椭圆的上、下顶点，且卜2,所以劝=2即人1 ,又 / =/ +。2解得：a = 2丫2所以椭圆E的标准方程为+4（2）直线/经过定点证明如下：当直线/的斜率存在时，设/ ： y =依+-（/ w 1）,y = kx + t由,f，得（1 + 4尸）/ + sktx + 4产4 = 0,+ y =114 一则 = （8）24（1 + 442）（4/-4）0得：/4左2+1

25、.Skt则为+%=干出也4r -41 + 4公则心+L =2i二1+上1二独3% x2831）;？4（1+ 1）1）一XjX2所以 = Z -1，经检验,可满足/v 4公+1,所以直线/的方程为尸+1,即y = Mx+l）-1所以直线/经过定点（1,1）.当直线/的斜率不存在时，设/: X = 7篦,“（九加）,N（m,-yM）,m m解得m = -1，此时直线/也经过定点（-L-1）综上直线/经过定点（-1，-1）.（四）探索结果是否为定值 此类问题一般是把所给式子用点的坐标或其他参数表示，再结合韦达定理或已知条件进行化简，判断化简的 结果是否为定值.=1（/? ）过点 a aV2 v2【例

26、51（2022届云南省三校高三联考）在平面直角坐标系xOy中椭圆： + （1）求椭圆E的方程;UUU（2）点Q（%,%）是单位圆/ + 丁=1上的任意一点，设p,M,N是椭圆E上异于顶点的三点且满足UUU UUUlULUJT o ULIffl oOP = x0OM + yON.探讨加2+求2是否为定值？若是定值，求出该定值，若不是定值，请说明理由.【解析】（1）因为点A ,B及，坐在椭圆上，所以2 b2，解得 =1，/=8,（33）（2 ）2 +二二、9/ 9b2所以椭圆方程为片+），=1.8（2）令j）,N（X2，%），则 *为%+%9，%）%+%），所以（*。*1 +）所以（*。*1 +）

27、+ （尤0*+为%）2即卷+4,+ *+可+（2%友百次2V8 7 k8 7 V 8/乂 工 + 犬=1，4+ 货=1，4 + 尤=1，所以2*T%/+2%=0, ooo即2 = , %1%282所以。1丫2）2 = （_11%2）=那,那=（1-71）（1-72）= 1 一 （亦 + 无）+资,修92即比+通=1,又jy；=l,& +货=1,所以犬+才=8, 88uuur ? uuur）所以OM +ON =4+石+3+ =9,uuir2 uuin2、3/古八OM +ON为正俏.922【例6X2022届天津市耀华中学高三上学期月考）已知。为坐标原点，双曲线G :斗-夫=1（4 。方0）和4 b

28、x椭圆。2： +卓=1（%。）均过点7，孚且以6的两个顶点和。2的两个焦点为顶点的四边形是面 积为2的正方形.（1）求G,G的方程；（2）是否存在直线/,使得/与G交于A,8两点，与。2只有一个公共点，且1+而1=1而I?证明你的结论；（3）椭圆。2的右顶点为Q,过椭圆。2右焦点的直线4与G交于M、N两点,加关于X轴的对称点为S,直线 SN与x轴交于点。，。，”。的面积分别为加/词”是否为定值？若是,求出该定值；若不是，请说 明理由.41 t 14t【解析】（1）根据题意：=一转 =1，= +五T = l，5ax nx a2 3 多以G的两个顶点和c2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形

29、，边长为应故4 =1,。2 =1，故。2?=%2 +1,代入计算得到4 =百,2 =6电=亚, 222故G=1（2）假设存在直线方程满足条件，当直线斜率不存在时,x = G或x =-g,代入计算得到y = 6，验证不成立;（y = kx + b当直线斜率存在时,设直线方程为了 =丘+/则/2_II = 1I 32艮 |1（2 + 322）%2+6 助x+326 = 0,4 = 36%224（3/726）（2 + 3左2） = 0,化简得至1从=3r+2.+ 6 妨x+3/一3 = 0.（y = kx + b设A& j）,3伍,力），2 _次=,故（3公1产（y 3 -（% + % = 6kb“

30、 “一 3|砺+砺=丽=_刀+丽，故函,砺， 50 5 I比62 =许即 XW +X% =X& +（% +Z?）（AX2 +b） = 0,即（F +1）X%2 +初（5 +12）+ / 二,即(公+1)212 +化简得至 |J2=3 公+3,13k2 -1 3&2-1#2= 4：+| 1方程组无解,假设不成立.(2b = 3k 乙 + 3故不存在直线满足条件.(3)焦点坐标为(1,0)，易知直线方程斜率不为零，设直线方程为x = my +1,加(4)川(马,)，则5仁，-%)，rx Ytvy + 1（y + v?=_ 1，化简得到（2+ 3）9 + 4殁-4 = 0）2广+3（可 + 三=11

31、 %2 = _=直线NS方程为： =上&（x-%） + y,%1 x2取y二o得到r,X =必+ =（祖）1+1）必+（冲2+1）% = 2 吵为 +1 = 一 “2+3 +1 = 3y +必必+ %y +%4m2m2+3G =G+i寸两一3-G =G+i寸两一3-，吟是定值为(六)探索直线与圆锥曲线的位置关系 探索直线与圆的位置关系一般根据圆心到直线距离与圆的半径的大小进行判断，探索直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系一般根据判别式.【例7】已知定理：如果二次曲线加2+。2+以+乡+/二0与直线如+见, +0(0)有两个公共点2、Q () 是坐标原点，则OP OQ的充要条件是(A + C)q

32、? - (mD + nE)q + (m2 + /)F = 0.(1)试根据上述定理，写出直线/：尤+2y-3 = 0与圆C:%2 + y2+_6y + c = 0相交于P,Q,坐标原点为。，且OPJ_OQ的充要条件，并求c的值;29(2)若椭圆与直线3吁“相交两点尸、，而且如跳试判断直线尸Q与圆141的位置关系,并说明理由. A屏【解析】(1)由定理可知。尸，OQ的充要条件为：2x(-3)2-(1-12)x(-3) + (1 + 4)c = 0,即 18 33 + 5c = 0,，c = 3.22(2),椭圆3+斗=1与直线皿+ + 9 = 0相交两点尸、Q,z 70、八口口 117n+ “(

33、 +-(勿丁 +n) = 0 ,E|J + -y =2-矿a b q-工fz的半径为=llr a2 b2m2 + 2，1?又圆心(0,0)到直线PQ的距离为d= /7 m+几直线p。与圆+=rjr相切./+记(七)探索类比问题此类问题多是椭圆与双曲线的类比22【例8】设小K分别为椭圆*22【例8】设小K分别为椭圆*= l(rz0,Z?0)的左、右两个焦点.(3、若椭圆C上的点A 1,-到小 工两点的距离之和等于4,写出椭圆。的方程; 2)设K是(1)中所得椭圆上的动点，求线段耳K的中点的轨迹方程;(3)已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆。上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点,当直线PM、PN22的斜率都存在，并记为历、攵取时，那么Mm与女pn之积是与点尸位置无关的定值.试对双曲线二-当=1写 cr b出具有类似特性的性质,并加以证明.,八2【解析】(1)点4 1,彳在椭圆。上，且到片、工两点的距离之和等于4,则2)24 = 4,解得I 2)L声=122。=2, b =3才陶圆C的方程为土+工=1 ； 43