2023届新高考大一轮复习真题源解析几何专题讲义第16讲定点问题.docx

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1、第16讲定点问题-.问题综述定点问题是常见的出题形式，解决这类问题的关键是引入变量表示直线方程、数量积、比例关系等，根据 等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量。1、解决直线过定点问题的基本步骤：（1）设出直线，（2）借助韦达定理和已知条件找出攵与加的一次函 数关系式，（3）代入直线方程，得出定点。2、处理定点问题的技巧：（1）引进参数法，设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或者曲线 系方程，而该方程与参数无关，得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点，即所求的定 点。（2）特殊到一般法。从特殊位置入手，找到定点，再证明该定点与变量无关。3、其中共线问题是解析几何

2、中常见问题之一，解决此类问题常利用向量共线定理，可以从两方面入手（1）共线向量坐标交叉相乘相等（2）直线上任意两点的向量存在倍数关系下面总结圆锥曲线中几种常见的定点模型.类型1： “手电筒”模型手电筒模型：限定AP与BP条件（如心定值，攵”+攵稗=定值，则直线AB过定点（因三条直线形似手 电筒，故名曰“手电筒模型”）22【例1-1已知椭圆C： ? + （ = 1函若直线/： y =丘+m与椭圆C相交于A,B求两点（A,B不是左右顶点）, 且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线/过定点，并求出该定点坐标.y = kx + m /口、【解析】设4（不芳）,8。2，%），由,得(3 + 4公

3、)%2+8欣x + 4(3) = 03%2+4/=12A = 64疗Z2 16(3 + 4k2)(苏-3)08mk8mk4(m2- 3)3 + 4-% 3 + 4 公?o 3(m2 4k2)y 2 =(i + 加)(3 +根)=k2xx2 + mk(x1 + x2) + m2 =；以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点0(2,0)= 一1=%+ 玉-2(玉 + %) + 4 = 03(m2-4Z:2) 4(m 2 3)16/欣+3+43 + 4+ 4 = 0 = 7m2 +16相左 + 4%2 =02k解得町=-2k,m2 =且满足3+ 4攵2 -nr 0 ,当加=2攵时，/： y = k（x-2）

4、9直线过定点。（2,0）与已知矛盾.当机=亍时，/： y = k（X-直线过定点（于0）.2综上可知：直线/过定点（,0）7【方法小结】本题为“弦对定点张直角”的一个例子：圆锥曲线如椭圆上任意一点P做相互垂直的直线交圆锥曲所以，直线/恒过定点(-1,0).舛由抛物线的定义可知3 +与3 .【解析】(I)由题意知/(3,0),设DQ,0)Q0),则FD的中点为(注0,0) 24因为=因为=P -9 2解得/ = 3+ 或，=一3 (舍去)由立马=3,解得 =2.所以抛物线。的方程为产=4%. 4(II) ( i)由(I)知尸(1,0)，设。0). (xd,0)(xd 0)因为|4| =恒必，贝|

5、)k。一1 =%+ 1 ,由%。得芍=/ + 2,故。(+2,0),故直线的斜率砥3=因为直线4和直线AB平行,设直线人的方程为丁 =比x + ，代入抛物线的方程得尸+立丁数=0, 2%由题意八=雪+%2 = 0,得b = -2 y0 %44设七(乙，%)，则为 =XE= %舔当乂。4时，心E=二比 = 色，*e *0% 4可得直线小的方程为丁-劣二兽/工-x。)，由尤=4%。，州-4整理得 了 =(尤-1)，直线AE恒过点尸(1,0)垢-4当y；=4时，直线AE的方程为x = l,过点尸(1,0),所以直线AE过定点尸(1,0).(ii)由(i )知直线AE过定点尸(1,0),所以|A目=|

6、A目+归耳=(毛+ 1) + (工+ 1)=/+, + 2。 “0%)设直线AE的方程为x = my + l ,因为点4%,%)在直线AE上故m=3-.设8(x”y),直线AB的方程为y-%=-比(%-/)为27Q由于为。0,可得x =已y + 2 + /，代入抛物线的方程得y2+9y 8 4xo=。 为为OQA所以为 + y= ，可求得x=_% ，芯=一+)+4)，0%X。所以点3到直线AE的距离为4 a8、1=4(a + yjxoH xo + 4 4-m(% H) 1/ _ _ %Jl + /则 AABE的面积 S = ；x4（G +亡）（玉）+: + 2”16,当且仅当 =X。即 = 1

7、时等号成立， %所以MBE的面积的最小值为16.4. （ I ）证明：设直线/上任意一点尸（工/）关于直线y = x-i对称点为此（玉），%），直线/与直线4的交点为（0，-1）,；.I: y = kx-l , :y = kx-l,攵=匕已，K=Xxo由= 得 y + % =%+/-2 ， 乙乙V - VA由-=T，得y_%=用_工,X - XqXn = V 4-1由得，%=xT的=。+%)+1xx0j(x-1)+ j + x-1 + 1_ e+ 1)（II ）设点 M（X，m）, N（X2，%），由由y = kx-犬+29=2得(1 + 23)尤2-4版=0,Ak可得户或A迨4kJ+ 2攵

8、22k2 1、2r+工由狄i=l,可将人换为K可得N4k 2-公、2 + 左22 +吃即直线MN： y-yN=kMN（x-xN），),),口 2-k21 + 攵2(4k )2 + k2k I 2 + 公)I + k2即为 =一上。+3, 则当攵变化时，直线MN过定点（0,3）.5.试题分析：由直线AP方程y = x + 6得M（0,6）,由y = -x-2得N（0,-2）故所求面积为16万.（2 ）根据两直线互相垂直设出直线AP , BP的方程，写出以MN为直径的圆的方程试题解析：（1）解析：当P（-4,2）时，直线AP方程是y = x + 6,所以加（0,6）；直线BP方程是y = -X-2

9、 ,所以N（0,-2）,因此|MN|=8.所以以MN为直径圆的面积是161.（2 ）解法1：设直线= Z（x + 6）交y轴于A/（0,6A）；同法可设直线1,2、(在 2 1、BP:y = (x + 2)交y轴于N 0,线段MN的中点。0,-.所以以MNkV k). k )为直径的圆的方程为:+ 丁一32-1? k 展开后得V+y2 y 12 = 0,令y = 0,得工=2百，则过定点（26,0）和卜2百,0b解法2：设M（0,a）,N（0,b）,线段线段MN的中点。,巴心.所以以MN为直径的圆的方程为：/ 2 z 2%2 + y 一 + =W ,展开后得 V +），一（ + 匕） + =。

10、，2 ） 2 J考虑到 RALPH,有=1 =必=12= f + y2 一（+ 3 - 12 =。， 6 2令 =0,得工=26，则过定点（2后0）和卜2G,0）.考点：直线与圆的综合应用.6 【解析】试题分析：（I ）可以设直线4的方程为尸编+ 1,再设直线/上任意一点P（x,y）关于直线y = x + l对称点为（公,%）,于是分别表示出忆二上二泡=迎，由直线对称性可知，P）所在直线与y = x + l垂直， x /且P4中点在y = x + l上，于是整理得出人人的值；（H）本问考查椭圆中直线过定点问题，设将AM方程与椭圆方程联立，可以求出点M的坐标，同理将直线AN方程与椭圆方程联立，可

11、以求出点N的坐标，根 据M, N两点坐标，可以求出直线MN的方程，从而判定直线MN是否过定点.试题解析：（I ）设直线/上任意一点（工）关于直线）=工+ 1对称点为（%,%）直线/与直线4的交点为（。/），/ : =丘+ 1，4 :y = 4x + l攵二匕1温二比二，由江=*+1x x022得 y+% =x+/ + 2由=_得y _ % =/一工，工一元由得尸禅% =工 + 1“y%（y + %） + l （尤+ 1）（%+1） （x + Xo+2）+ lkk、= 1.XX。（II ）设点M（5,凹）,77（%2，%），由，y =例 +1玉22 得（4公+1）才+8依=0,彳+ X =18k

12、1- 4k2同理谭1=言，_1-% 左2_4“ -%+1-4 + 公1一4二公一4%N 4 公+1 4 + rxM - xN-8k-8% 8M3攵之一3）3k4V+1 4 + /MN:y-yM=kMNx-xM） , ：.y-1 4/ 公+i（ Sk xI 4公 +1口口k +1即： y =x 3k8（/+1） + 1 -4攵之 _ k2 +153（4Z:2+1） + 4Z:2+1_ 一_3TX3（5、当女变化时，直线MN过定点0,.3）方法点睛：定点问题的探索与证明时一般考虑以下两种解法：（1）可以先设直线方程为丁 =丘+加，然后利用 条件建立力的等量关系进行消元，借助于直线系的思路找出定点；

13、（2）从特殊情况入手，先探求定点，再证明 与变量无关.2227.【详解】注意到，椭圆G、G的标准方程分别为?+十=1,千+ /=1；乙+ 2=1由 42=（224-1）x2-4a/2Ax = 0y = kx-j2n xp =-D 2产+14缶2亚2 厅2A2+1 2人2+1.内饰地,r 20一-2五、点1212+2-2小 + 2-,因为 = 43所以，点。、8%2+1 8公+185k?-叵 2岳2_&8公+1 - 2攵？+11则kpQ _4岳_ 4岳- 2k次2+1-2r+1故乂 PQ 2公 + 1故乂 PQ 2公 + 12k 12%2 +1J ， 2k8. （1）将点P坐标代入曲线G即可求得

14、，得曲线G的方程；将点p坐标代入曲线。2方程，结合椭圆离心率，即可求得曲线的标准方程。（2）设A（/y）、网格必）和直线出的方程、直线总的方程，分别联立椭圆方程，用k表示出补马、y、，求得直线AB的斜率，表示出AB的直线方程，进而求得过的定点坐标。【详解】22(1)曲线 G：x2 + y2=/&0)和。2：a + = 1 mb0)都过点。(0,2).厂=2, b = 2,曲线G的方程为/ + ），=4.曲线G的离心率为日. 2 02b2 3 e = = i7 = 一aor 4/. q = 422，曲线G的方程上+上 16 4（2）设A（/y）,巩孙），直线A4的方程为=勺工-2,代入至h2 +

15、 9=4,消去y,4k可得(1 +匕2卜2_做% = 0,解得x = 0或77 ,1 rCj2k； - 22直线距的方程为 =2,代入到程 +162直线距的方程为 =2,代入到程 +16=1,消去y,可得（1+4片）/n化/=。,8k；-2k= 4攵2，直线钙的斜率=U=T1 + A；所以直线AB恒过定点（0,2）线于AB,则AB必过定点（线于AB,则AB必过定点（xcr-b1) %(4一/)a2 +Z?2 a2 + b1）（参考百度文库文章圆锥曲线的弦对定点张直角的一组性质”）f v2J3【例 1-2】(2017 全国 I 理 20)已知椭圆 C：二+ 二=1 (),四点 Pi(l, 1),

16、 P2 (0, 1), P3 (-1,), a2 b22P4（,万）中恰有三点在椭圆上（1）求。的方程;（2）设直线/不经过P2点且与C相交于A, B两点,若直线尸2A与直线25的斜率的和为-1,证明：/过定点.【解析】（1）由于A，4两点关于y轴对称，故由题设知。经过G，2两点.1 1又山一7 H7a2 b24 +2知。不经过点人所以点尸2在。上=1 因此13cr 4/r，解得=1a2 = 4/?2 = 1故。的方程为f + y2=i.4（2）设直线耳4与直线鸟B的斜率分别为肩,女2,如果/与x轴垂直，设I： x=z,由题设知f0,且|，|2 ,可得A, B的坐标分别为（Z,在王匚-亚三工=

17、-1,得U2,不符合题设.2t2t、Y2从而可设/： y = kx + m,将 y = Ax +根代入1- = 1 W4 .(4左2 + l)x2 + Sknvc + 4机2 - 4 = o由题设可知八二1 6（422 根2 + ） 0设 4%,y ),3(%,%)，则为+*2 =8km4m2 -44公+1 百万-4.+1而上+%_ y1 何+机一1 + Ax2+机1 2京赴+（根-1）（西+）xx2xx2X2x x2由题设 K +氏2 =1，故(2k + 1)玉工2 +(， )(% +X2) = 0 .口口 小,1、4/7i 48km即(2Z: + 1).- +y- = 0.4K+14Z+1

18、解得左=-四立 2当且仅当机一1时z A。，欲使/： y =+1尤+加，即y +1 = 竺口。一2）, 所以/过定点（2, -1）【方法小结】本题为手电筒模型中攵ap+原尸二定值一个例子，由3+ %=定值 得到k与m的一次关系，再 代入直线方程，得到定点。类型2：切点弦恒过定点丫2【例2-1】过椭圆土+ 9=1的右准线/上任意一点加引椭圆的两条切线，切点为A34(1)求证：直线恒过定点(2)略【解析】有如下结论：圆V + 2 =/上一点处的切线方程为/x+=r2 ,类比也有结论：椭圆=+ 5 = 1(O八0)上一点尸(X。,%)处的切线方程为H +弊=1ar b-cr h【解】(1)设R),A

19、(X,y),B(X2，y2),则的方程为上+ 孙=1 ,3一一4点/在M4上.立用+电=1 同理可得且马+。2=133由知AB的方程为正x + ) = 1,即x = 73(1-ry) 易知右焦点F(V3,0)满足故直线AB恒过定点尸(6,0)(2)略【例2-2(2019全国IH文21)已知曲线C： y =三，。为直线y 二-上的动点，过。作C的两条切线，22切点分别为A, B.(1)证明：直线A8过定点：(2)若以(0,1)为圆心的圆与直线A8相切，且切点为线段A8的中点，求该圆的方程.( 【解】D t.- ,则 x；=2y.1X H由于V = X,所以切线D4的斜率为X，故2_ =西.整理得

20、2历-2y + l=0.x-t设8(乙,%)，同理可得2% -2% + 1=。.故直线A3的方程为2拄-2丁 + 1=0.所以直线A3过定点(0).2(2)略【方法小结】切点弦方程是指从圆锥曲线外一点可引两条切线，切点为48,连接两个切点AB所得方程具 有相同的推导方法。切点弦性质可以作为结论，在考试中可以借鉴本题的书写步骤。切点弦方程的推导简单， 方程形式简洁，可以大大简化解题过程。类型3：相交弦恒过定点22【例3】如图，已知直线/： x = my + 过椭圆C： +去=1(。人0)的右焦点尸，且交椭圆。于A5两点，点A, B在直线G： x =上的射影依次为点D,E连接AE, BD,试探索当

21、加变化时，直线AE, BD是否交于一定点N?若交于N,求出N点的坐标，并证明，否则说明理由【解析】相交弦性质实质是切点弦过定点性质的拓展，结论同样适用，但是相交弦过定点涉及坐标较多，计算 量相对较大，解题过程需要思路清晰，同时注意总结这类问题的通法.【解法一】./（1,0） =（2,0）,先探索，当m=0时，直线轴，则ABED为矩形，由对称性知，AE与BD2交于定点n（q ；1。），证明：设4和必）3（%2,%）（,必），当机变化时首先AE过定点N即(/ 4-/22,?：2)j2 + 2mb2y + Z?2 (I - 6r2) = 0A = 4a2b2 (/ + m2b2 - l) 0(.,

22、a I)而 Kan - Kena2 - 1 .、瓦一（X+必）一殴出l-aa2-l 7（f-世）又Kan q2_1/一2mb2 、 b2(l-a2)(a2 - l)(m/72 - mb2)a2 + nvb1=上 二以+%)一 myy=丁(一/7就)-仁=Ken A、N、E三点共线，同理B、N、D三点共线 AE与BD相交于定点N（心0）【解法二】本题也可以直接得出AE和BD的方程，令y=。，得与x轴交点M、N,然后两个坐标相减=0,计算 量也不大。【方法小结】方法1采用归纳猜想证明，简化解题过程，是证明定点问题的一类通法，但是需要注意解答的严 谨。类型4：动圆恒过定点动圆恒过定点问题实质是垂直向

23、量问题，也可以理解为“弦对定点张直角”的新应用【例4-1】已知椭圆+4 = 1（。匕。）的离心率为等，并且直线y = %+b是抛物线V=4x的一条切线.（1）求椭圆的方程（2）过点S（0,- 1）的动直线/交椭圆于A5两点，试问在坐标平面上是否存在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过定点T?若存在，求出T的坐标，若不存在，说明理由 t y = x+ b,【解】（1）由? %23- 4）x+ = oy2= 4x由直线y = x + b与抛物线V =4x相切得= (2b- 4)2 - 4b2 = 0? b 1C V2 9. 92 q2 _ /721 re=，矿=/?*+ c2 = a- =i.(H

24、)很明显直线/的斜率存在，焦点坐标为(01),设直线方程为 =依-1,与抛物线方程/=Ty联立可得：f+4 4 = 0.故：%1 + x2 = -= 4.X，N尤2，一寸，贝=直线。M的方程为尸VX，(4)与y = -1联立可得：A -,-1 (X )4同理可得8 ,-11工2)易知以AB为直径的圆的圆心坐标为:22 2(% + /)且：一+ =以一* = 2k,X x2 XjX222、一+ ,-1 ,圆的半径为:X)% x22 2c =2 xX x2则圆的方程为：(X 24+(y + l)2 =4伊+1xx2令1 = 0整理可得：V+2y_3 = 0,解得：y=3,%=1，即以AB为直径的圆

25、经过y轴上的两个定点(0,-3),(0,1).【方法小结】圆过定点问题，可以先取特殊值或者极值，找出定点，再证明向量数量积等于0.三.巩固练习1 . (2017新课标H)设。为坐标原点，动点M在椭圆C： + /=1,过M做九轴的垂线，垂足为N,点 2p 满足 nP = 6nm .(1)求点P的轨迹方程；(2)设点。在直线x = -3上，且方网=1 .证明：过点尸且垂直于O。的直线/过。的左焦点儿丫2一2 .(2011山东)在平面直角坐标系尤Oy中，已知椭圆C： + /= 1.如图所示，斜率为灯人 0)且不过原点的直线/交椭圆。于A3两点，线段m的中点为E,射线OE交椭圆。于点G,交直线x=-

26、3于点。(- 3,m).(I )求病+1的最小值;(II)若 |OG= OD1OE(i)求证：直线/过定点；(ii)试问点民G能否关于不釉对称？若能，求出此时DABG的外接圆方程；若不能，请说明理由.3.(2014山东)已知抛物线。：尸2Px(p0)的焦点为b，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线I交C于另一点、B,交x轴的正半轴于点。，且有|E4| = |RD|,当点4的横坐标为3时，A4D厂为正三角形。（I）求C的方程；（II）若直线/，且4和。有且只有一个公共点以（i ）证明直线A过定点，并求出定点坐标；（ii） 钻石的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.

27、24. （2018 黑龙江哈尔滨三中高二期中（文）曲线C: 土+ V=1,直线/:丁 =依-l（Z0）关于直线y = x-1对2称的直线为4，直线/, 4与曲线c分别交于点人、m和4、N,记直线4的斜率为占.（I ）求证：k - kx = 1 ；（II）当上变化时，试问直线MN是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理5.（2016 浙江高二期中）已知圆C:（x+4）2+y2=4与X轴交于A、B两点、,P是圆。上的动点，直线AP与PB分别与y轴交于V、N两点.（1）若P（-4,2）时，求以A/N为直径圆的面积；（2）当点P在圆C上运动时，问：以为直径的圆是否过定点？如果

28、过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由.6.（2017 江西高考模拟（文）如图，已知直线/:丁 =丘+ 1/0）关于直线y = x + l对称的直线为4 ,直线/,/12与椭圆E：3 + y2=i分别交于点人、知和人、n ,记直线4的斜率为（II）当左变化时，试问直线是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请说明理由.(2019 全国高三竞赛)如图，中心在坐标原点和焦点分别在/轴、y轴上的椭圆G、G均过点M(0,-V2),且椭圆G、G的离心率均为变。过点M作两条斜率分别为攵、攵的直线，分别与椭圆G、 2。2交于点P、Q o当 = 4%时，直线PQ是否过定点？若过定点，求出

29、定点坐标；若不过定点，请说明理7 .已知曲线G :f + y2 =/(r 0)和G ：，+，= 1 (a b 0)都过点P(0,-2),且曲线C2的离心率为日(1)求曲线G和曲线G的方程;(2)设点A, B分别在曲线G，G上，9，总的斜率分别为勺，Q 当=4幺0时，问直线AB是否过 定点?若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.【巩固练习参考答案】1 .【解析】(1)设 P(x,y), (%,%),则 Mx。,。)，7VP = (x-x0,y), W=(0.%).由而=近而得 =无，y0= y.22因为M(x。,为)在。上，所以土+乙=1.因此点P的轨迹方程为V + 丁 = 2 .(2

30、)由题意知尸(-1,0).设。(31), P(m,ri),则OQ = (-3,0 , PF = (-1 - m.-ii) , OQ- PF = 3 + 3m - tn ,OP = (m,),PQ = (-3 -m,t-ri),由 OP PQ = 1 得3m / + m2 =,又由(1)知根之 + / = 2 , 故3+ 3/72一优=0.所以电即= （）,即尸.又过点尸存在唯一直线垂直与OQ,所以过点尸且垂直于。的直线/过。的左焦点厂.2【解析】（【）设直线/的方程为 =丘+ /（左0）,由题意，r0.y = kx + t,由方程组 x 0D= J(3 + 分=，+1,由方程组 x 0D= J

31、(3 + 分=，+1, KK9 得(3/ + 1)X2 + 6ktx + 3产3 = 0 ,由题意A0,所以女2+1产.由韦达定理得芯+%=6kt3公+1国=卜加+，2id9k2 +13r+19/ 所以乂+必=一一. 12 3+1Aktt由于石为线段A3的中点，因此乙=二,%=, L 3 公+1 L 3公+1止匕时Me = 一看 XESK所以0E所在直线方程为=-羽又由题设知。（-3, m）, 3k令x = -3,得加=L 即欣=1,所以+二22加Z = 2, k当且仅当加二女 二 1时上式等号成立，此时 由（）得0v，v2, 因此当相= Z = 1且0v，v2时，疗+二取最小值2.（II） （i）由（I）知0。所在直线的方程为y = -,乂将其代入椭圆C的方程，并由左0,2k 1解得G（-7=,43k2 +1 V3V+12k t1又成一一3，），3公+1 3公+/ k由距离公式及0得I q012 / 3攵、2 /129%+1吨二(一反五京二,由 |OG=| OD-OEt = k, 因此，直线/的方程为y = Mx + l).