2023届新高考大一轮复习真题源解析几何专题讲义第26讲曲线系问题.docx

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1、第26讲曲线系问题一、问题综述利用“曲线系”解题，主要是为了简化解析几何中繁杂的计算，例如与单位圆相切的直线系可以设为 xcos 0 + ysind+ 1 = 0二、典例分析类型L直线合成二次曲线型v2强方 耨J【例1】(2017年新课标卷)已知椭圆C:=十=1(人0),四点爪1,1),8(0/)，噂8乳+a b .黝 2亍 勒2中恰有三点在椭圆C上.(1)求。的方程；(2)设直线/不经过鸟点且与。相交于两点.若直线6A与直线的斜率的和为- 1,证明：/过定点.丫2【解析】略 + y2=4(2)由题可设鸟斜率分别为其中4 + & = - 1。令曲线M： P2AJP2B ,可表示为(仁工-+1)

2、(女21- y + 1)= 0 o联立可以得到如下方程组*- +i)(3- 丁+1)= (其方程组的解为匕三点)*2+4/=4化简得泳女212 + (,_ l)x+(广 I)2 = 0出 = 4Kz2(y+ D(y- i)进而(y- l)x+ (y- 1)2 = 4柩2(y+ l)(y- 1)，解得y=l 或 x+(y- 1)= 4左上(+1)(即点 2 或L)即lAB : %+ (y- 1)=优&(y+ 1)恒过(2,- 1)类型2：过直线与曲线交点型例2圆2x+ 4y- 4= 0, l:y= x+八/p|C于A3。以钻为直径的圆过原点(0,0),求/方程。4+ A(x- y+ t)= 0

3、(圆心P联 今日-2名)【解析】设以为直径的圆的方程为E:x2 + V _ 2x+ 4y-由(o,o)i E, Pi /,那么代入可得t= - 4或 1t= - 4或 1解得进而y= x+ 1或 y = x- 4类型3：混搭型【例3】在直角坐标系wy中，曲线y=x2+g-2与X轴交于4 3两点，点C的坐标为(0,1).当机变化时，证 明：过4 3、。三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.【解析】过2与y=0交点的曲线系可以设为E ： (x2 + mx- 2- y)+t)= 0因为表示圆，且过(0,1)则|(O2+ m?0 2- 1)+ 2(1- t)= 0|/1= 0解得4= 0, t=- 2E

4、： (x2 + mx- 2- y)+y(y+2)= 0令x=0可以求得弦长为X - % = 3【方法小结】此类问题关键点在于曲线系的设法。三、巩固练习221 .设直线/: y= 4x- 3与椭圆七七十 1交于两点，过A,5两点的圆与石交于另两点C。，则直线CD的斜率为()B.- 2B.- 2D.- 4.圆。过(0,0),且与y=2x- 8相切与点尸(4,0)。(1)求圆。的方程。(2)圆C上两点关于y=丘- 1对称，且以MN为直径的圆过(0,0),求直线的方程. (2016年全国联赛题) 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，b是x轴正半轴上的一个动点似尸为焦点, 。为.顶点作抛物线C.设P是第

5、一象限内C上的一点，。是x轴负半轴上一点，使得PQ为。的切线，且I PQ I =2,圆均与直线0P相切于点P,且均与轴相切.求点尸的坐标，使圆G与。2的面积之和取到最小值.X294.椭圆G： +y2=i,圆G：(x- 2)一+ 9=,过。(0,1)作圆的两条切线分别与椭圆交于P,Q ,证明PQ与 169圆相切。四、巩固练习参考答案1.解析：设/(刀：依+外+0，所以lAB JlCD : (ax+ by+ c)(4x- y- 3) = 0 ,则过A氏C。四点的曲线系为辑 2v2 二y-3)=0。记-与 + 2 (ox+Z?y+c)(4x-。表示为圆，则f,y2系数相等，且无q项。化简得I + 4

6、九二bA1251614bA- aA= 02.解析：(1)设与y=2x- 8相切与点尸(4,0)的圆系方程为(x- 4)2 + y2 + A(2x- y- 8)=又过(0,0),那么带入求得，4= 2所以所求圆的方程为(x- 2f + (y- 二 5(2)易得 )=丘-1过圆心，那么攵=1,进而设Gv ：x+y+0 ,考虑用曲线系设过M,N的曲线系方程为(x- 2 + (y-仔-5+ /l(x+ y+。,过(0,0),且圆心在，mn ：尤+y+，= o上，那么可得j二 0|3- 2+ t= 0进而求得，=0或-3,所以所求方程为y= - x 或者 y = - x- 33.解析：设抛物线为V=2p

7、x,那么方踪,更，设P（x。,%）由极点极线IpQ := p(%+ %)，进而。(-/，0)那么至此，点P满足网 ，设与8相切于点P的圆系方程为 产片+%=427C:(x- x0) + (y- %)+(%- xoj)= 0由C与x轴相切，那么令y= 0可得 + （丸为- 2x（）x+x； + y； = 0 ,那么A=%y；- 4%ox/- 4y；= 0进而可得由曲线系方程得圆的半径为，=工。+2% ,那么面积之和为 2进而求得S最小时，尤=白，进而求得，4 .解析设/: y= kx+ 1 ,由相切得S+ 16 .2k+ 1| _ 21+ k2 3进而求得联立lug与a1- y)(k2x+ 1- y)= 0 次=16(1+ )(1- y)可以得到由此可以得到由此-9x+ 12y+ 28= 0四一 2,81+ 144 3