第3章 32 第1课时——文科资料文档.docx

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1、3.2导数的应用【考情考向分析】考查函数的单调性、极值、最值，利用函数的性质求参数范围；与方程、数 列、不等式等知识相结合命题，强化函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想的应 用意识；题型以解答题为主，一般难度较大.基础知识主学习回扣基础知识训练基础题目r知识梳理.函数的单调性在某个区间3,加内，如果/对，那么函数y=r)在这个区间内单调递增；如果/ (xKO, 那么函数y =/(x)在这个区间内单调递减.1 .函数的极值(1)一般地，求函数y=/(x)的极值的方法解方程/ (x)=O,当/ (xo)=O时：如果在xo附近的左侧(00,右侧(x)0,那么JUo)是极大值；如果在初附近的左

2、侧。)0,那么JUo)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤求，(X);求方程f a)=o的根;考查/在方程1 3=0的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么人幻 在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么/U)在这个根处取得极小值.2 .函数的最值(1)在闭区间。，为上连续的函数/U)在口，句上必有最大值与最小值.若函数/U)在，句上单调递增，则地为函数的最小值，的为函数的最大值；若函数/U) 在口，切上单调递减，则达0为函数的最大值，,为函数的最小值.【概念方法微思考】“外)在区间(m L上是增函数,则/ (处0在(m L上恒成立”，这种说法是否正确? 提示不正确，正确的说法是：可导

3、函数次幻在(。，。)上是增(减)函数的充要条件是对b),都有/ (x)20(f (x)W0) 且/ (x)在(m b)上的任何子区间内都不恒为零.2.对于可导函数次幻，(沏)=0”是“函数人尤)在x=xo处有极值”的 条件.(填“充要” “充分不必要” “必要不充分”)若函数/OOuqlnx+f+mG)% 在(0,3)上单调递减，则/ (x)=+2x+q6W0 在(0,3)上恒6x-2f44成立，即=-2 (1+1)+二75 在(0,3)上恒成立,函数 g) = /+：, /(1,4),则X 1L大丁 1Ig4,5),工。小0,工当函数X力在(0,3)上不是单调函数时,实数的取值范围是(0,2

4、).(3)(20xx.盐城模拟)已知函数於)=(%a)ln x(a R),若函数於)存在三个单调区间，则实数。 的取值范围是.答案(T。)解析 f (x) = ln x+(xd) x x+1 XJC若函数x)存在三个单调区间，即/ (幻=0有两个不等正实根，即a=x(n x+1)有两个不等正实根，转化为ya与y=x(lnx+l)的图象有两个不同的交点，y =lnx+2,令 lnx+2=0,即 x=J, c即y=x(lnx+l)在(0,点)上单调递减，在6, +8)上单调递增.ymin=一，当 Xw(。，勾时，V0，所以的取值范围为(一5，0).思想方法-用分类讨论思想研究函数的单调性含参数的函

5、数的单调性问题一般要分类讨论，常见的分类讨论标准有以下几种可能: 方程/ (%) = 0是否有根；若/ (x)=0有根，求出根后判断其是否在定义域内；若根 在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法.例 已知函数g(x) = lnx+or2 (2a+l)x,若试讨论函数g(x)的单调性.解 g (x) =2QX2 (2。+ l)x+1(2x- l)(x 1) x ,*,函数g(x)的定义域为(0, +),JQ，当。=0 时，gr (%)=.0/V由 (x)0,得由 / (x)1.当 0 时，令 g (x) = 0,得 x= 1 或 x=),若+0,得 xl 或 0Vx一，由/ (x)0,

6、得 =或 0% 1,由/ (幻0,得11弓，若e= 1,即在(0,+8)上恒有/(x)2o.综上可得：当=0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增,在(1, +8)上单调递减；当03时，函数g(x)在(0，叁上单调递增，在七，1)上单调递减，在(1，+8)上单调递增.课时作业X基础保分练.若函数/(x)=xlnx(x0),则/(X)的单调减区间是 答案(0,1)解析 / (幻=1；，令/ (x)0,即 1：0,得 0x0,得x2,所以大幻的单调增区 间为(2, +).1 .若危)=乎，eae时，/ (x)0,则r)在(e,+8)上为减函数，所以人)次。).4.若函数/OOnV + hf + c

7、x+d的单调减区间为(一1,3),则Z?+c=.答案一12解析 f (x) = 3x2+2/?x+c,由题意知，-1%0”是“人幻在R上单调递增”的 条件.(填“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分又不必要”) 答案充分不必要解析 f (x)=,|x2+6f,当时，(x)2O在R上恒成立，故70”是“火处在R上单调递增”的充分不必要条件.1Y2 1.已知函数/U)(xR)满足11)=1, r)的导数/ (x)：则不等式式/卜5十方的解集为*答案xk1 解析 设 F(x)=/U)一%,：.Fr (x)=/ (x)-1,V/ (x)4，：.Ff (x)=/ (x)-10,即函数F(x

8、)在R上单调递减.；)-亍加)T，F(f)F(l),而函数F(x)在R上单调递减，,即不等式的解集为x|x1.7.若函数共幻二%3一/-在(0/)内单调递减，则实数。的取值范围是答案1，+)解析 f (x)= 3a22ax 19由已知得3f2qx10在(0/)内恒成立，3131即分在(0/)内恒成立，令g(x)=1x一分，31又当W(0,1)时,观幻=那一区的值域为(一8, 1),的取值范围是1, +8).8 .若函数氏r)=/12x在区间(k1, R+1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是.答案(一3, -1)U(1,3)解析 因为0得函数的增区间是(一8, 2)和(2, +-),由)，0

9、,得函数的减区间是(一2,2),由于函数在(上一1,攵+1)上不是单调函数，所以有 k 12Z:+1 或攵-12攵+1,解得一3k1或1Z3.9 .函数ZU)在定义域R内可导，若/U)=/(2x),且当x(8, 1)时，(x)0,设6/=7(0), b=f(9。=火3),则q, b,。的大小关系为.(用“V”连接) 答案ca0,段)在(一8, 1)上为增函数.又13)=AI)，且一1040时，xf1 (x)-0成立的x的取值范围是.答案(一8, -1)U(O,D解析 因为犬x)(xR)为奇函数，八-1) = 0,所以/U)=-Ai)=o.当xWO时，令g(x)八：),则 g(x)为偶函数，g(

10、l)=g(1) = 0.则当x0时，g。)=9xf (x) ZU)= P 6故g(x)在(0, +8)上为减函数，在(一8, 0)上为增函数.所以在(0,十8)上,当。4g(i)=o,得号6所以1x)；在(一8, 0)上，当X0.综上知，使得x)0成立的x的取值范围是(-8, -1)U(O,1).1 n k.已知函数人x)=r(%为常数)，曲线y=/U)在点(1，式D)处的切线与X轴平行.求实数攵的值；求函数/U)的单调区间.- In x-kx解（1v（x）=-3一（x0）.In x 1 x又由题意知/(i)=-=0,所以攵=1.(2 (x)= -(%0).设 /z(x)=In % l(x0)

11、,贝(%)=一土-%0,所以/z(x)在(0,+8)上单调递减.由为 1)=0 知,当 0%0,所以/ (x)0；当 xl 时，/?(x)0,所以，(x)0.综上,与力的单调增区间是(0,1),单调减区间是(1, +8).11 .已知函数段)=lSR,e为自然对数的底数)在点(0,式0)处的切线经过点(2, 2).讨 C论函数b(x)=/(x)+4x(aR)的单调性.因为犬0)=匕一1,所以过点(0, bD，(2, 2)的直线的斜率为k=0-2b+而/ (九)=一左 由导数的几何意义可知，/ (0)=/?=一工所以b=1,所以大幻=七一1.则 F(x) = ax+p1,/(x)=q鲁,当q0时

12、，F (x)0 时，由 F (x)0,得力Ina故当aWO时，函数F(x)在R上单调递减；当0时，函数方在(一8, In )上单调递减, 在(一In a, +8)上单调递增.%技能提升练.定义在区间(0, +8)上的函数y=x)使不等式x)W (x)=/3的导函数，贝喘的取值范围是. J Z答案(4,8)解析 (%) 2/(%)0, x0,.尊,(%)丁贺%)0令g(x)=,则g(x)=号在(0, +8)上单调递增，又由 4)v3x),得 x)0,又由 4)v3x),得 x)0,V xf (%)3/(x)0,f 3丁犯)xf (x) 34x)X6X6X4令(x)=,则(尤)=号在(0, +8)

13、上单调递减, ,啰都,喘8.12 .若函数./U)=1?+2办在I，+8)上存在单调增区间，则a的取值范围是答案(3, +8)解析对/(x)求导，得/ (x)= x2+x+2tz=+；+2a由题意知，/ (x)0在I，+8)上有解, 当|,十8)时，/ (x)的最大值为/ (|)=,+2.,2I令g+2G0,解得 ag9 所以。的取值范围是(一3, +8) g拓展冲刺练13 .对于三次函数/(工)=必+加+“+。3工0),给出定义:设/ (x)是函数y=/(x)的导数，/ (x) 是/ (x)的导数，若方程/(x)=0有实数解M),则称点5),火刈)为函数)=/(幻的“拐点”.经 过探究发现：

14、任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点” 就是对称中心.设函数g(x)=2V6/+4,则g(志)+g(斋)+g(器)=.答案0解析 g (x) = 6x212%, .gff (x)=12%12,由 g(x)=0,得 x=l,又 g(l)=0,A函数g(%)的对称中心为(1,0),故 g(x)+g(2x)=0,二, g(w)+g(T55)+g(T55)=g(D=o.16.已知函数人均二,加一(+ l)x+lnx(4。)，讨论函数/U)的单调性.1 1)(% 1)斛 /(X)= QX (4 + 1) + ： =(%0),当 01,由 f (x)0,解得 或 0xl,由

15、/ （九）。，解得14时，oj0,解得 xl 或 0x1,由 / （x）0,解得:xL综上，当00,得 xl.2 .P89T1函数y=3/9x+5的极大值为答案11解析 =9/-9,令 9X（1） + 5=11.P91习题T2函数/（x）=x2sinx在（0,兀）上的单调增区间为答案你兀）解析 令 /（%）= 1 2cos x0,得 cos71又x（0,兀），所以铲xv兀，所以y（x）=x2sinx在（0,%）上的单调增区间为住，r tt3 .P92T4函数y=x+2cos尤在区间0,之上的最大值是.答案1+V3解析 二，=12sinx,兀、(71 71当&时，y 。；当了(不5时，)，max

16、=5+小.题组三易错自纠6.已知定义在实数集R上的函数人幻满足.*1) = 3,且/(x)的导数/ (x)在R上恒有 / (%)2(%eR),则不等式/(x)2x+l的解集为.答案(1, +)解析 令 g(x)=/(x) 2x1,，屋(x)=f -20,，g(x)在 R 上为减函数，g(l)=/(l) 21=0.由 g(x)L不等式的解集为(1, +8).7.函数共幻二V十加一办在R上单调递增，则实数。的取值范围是.答案L3Q解析 / (x) = 3f+2or。三0在R上恒成立，即4次+12W0,解得一3WqW0,即实数。 的取值范围是L3,0.I 38.若函数兀1)=#一亍2+分+4恰在-1

17、,4上单调递减，则实数。的值为.答案一4解析/ (x)=f3x+，且/(x)恰在L4上单调递减，*.f (x)=x23x+6/0 的解集为1,4,.二一1,4是方程/ (x)=0的两根，则 a=(1)X4=4.9 .若函数於尸京一以十根在0,3上的最大值为4, m=.答案4解析 / (x)=x2-4, %e0z3,当 次吊。2)时,f (x)0,当 x(2,3时，/ (x)0,所以於) 在0,2)上是减函数，在(2,3上是增函数.又五0)=2,八3)=-3+m.所以在。3上，“。皿=/(0) =4,所以机=4.10 .已知函数次2qx+1,若函数/(x)在(1上有极值，则实数a的取值范围为答案

18、修4)解析 / (x)=f+2x2。的图象是开口向上的抛物线，且对称轴为x= 1,则/ (九)在(1,2)上是单调递增函数，因此上是单调递增函数，因此f (1) = 3 20,f (2) = 8 2心0,解得|。0,即 8x一土0令 y 0,即 8x一土0解析 由 丁二底+:，得 y =8x/(xWO), ,解得，函数y=4f+5的单调增区间为(3，+).1 .函数段)=3勺单调减区间是.答案(一8, 0), (0,1). eA-(x 1)解析: f(X尸、2(#0),令 f W0 可得 x0 或 0x0),当，(x)0 时，解得 0x0,则其在区间(一兀，兀)上的解集为(一兀，一3u(o,

19、3，即加)的单调增区间为(一兀，一3和(0, 9思维升华确定函数单调区间的步躲(1)确定函数x)的定义域.(2)求 / (x).(3)解不等式/ (x)0,解集在定义域内的部分为单调增区间.(4)解不等式/ (幻o,故x)在(0, +8)上单调递增；当0时，/ (x)vo,故x)在(0, +8)上单调递减；当0。1时，令f (x) = 0,解得x=7则当为w(o, 时，/。)0,故兀)在(0,上单调递减，在(+8)上单调递增.综上所述，当。21时，4x)在(0, +8)上单调递增；当时，火X)在(0, +8)上单调递减；上单调递减,上单调递增.思维升华(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数

20、对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点.跟踪训练1已知函数人幻=*加一2x+2）（0）.试讨论7U）的单调性.解 由题意得/ （工）=8加+（2-2）x（q0）, 令 fr (x) =。，解得 X1=O, %2= .2 2a当 00,贝iJxvO 或 x,人，I1 22a令，(x)1时，令/ (x)0,则x0或x,令 / (x)0,则令 / (x)0,则22a 0.综上所述,当0a1时,:和（0, +8）上单调递增，在、0上单调递减.7题型三 函数单调性的应用命题点1比较大小或解不等式例2 （l）（20xx.江苏省阜

21、宁中学调研）对于定义在R上的可导函数人幻，当x（l, +8）时，（x段）。恒成立.已知=#2），人=33），c=（也+1族，则小h, c的大小关系为.（用连接） 答案ca0,即函数g（x）单调递增.又 a=/(2) = m = g(2),6=m3) =，) =g(3), c=(也 +1 次6)=9C1 =g(巾)， 因为 17223,所以 g(E)vg(2)vg(3),即 cab.(2)已知定义域为R的偶函数段)的导函数为/ (x),当x0时，(幻/U)。若。b=当譬，。罟)，则入A C的大小关系是.(用连接) 111 4J答案cah解析设g(x)卡，贝1屋(%)=如生也，又当V0 时,xf

22、(x)-/x)0,所以屋(x)vo,即函数g(x)在区间(一8, 0)内单调递减.因为7U)为R上的偶函数，所以g(x) 为奇函数，其定义域为(一8, 0)U(0, +),所以函数g(x)在区间(0, +8)内单调递减. 由 0ln 2e3,可得 g(3)g(e)g(ln 2),即 ca(m-2 019次2),则实数m的取值范围为.答案(2 019,2 021)解析令(x)=与，(0, +),雨Wz一益)则 h (X) 二 . :xf (%)一於)v0, ：.hf (x)(m-2 019求2), m-2 0190,/(m-2 019)42) 口已一7号V，即江机一2 019)/?(2).m-2

23、 0192：.m-2Q90,解得 2 019加0时，有必(?一启)0的解集是.答案(-8, -2)U(0,2)解析.当X。时，哼=尤等30,此时 x7(x)0.又#x)为奇函数，在(-8, 0)上，当尢0,此时九2*%)。.故杼0的解集为(一8, 一2)U(0,2).命题点2根据函数单调性求参数例 3 已知函数x) = lnx, g(x) =ax2+2x(0).若函数/z(x)=/(x) g(x)存在单调减区间，求Q的取值范围；(2)若函数(x)=/U)g(x)在L4上单调递减，求a的取值范围.解 (l)/z(x) = ln xJoWZx, x(0, +),所以(X)=：or2,由于/z(x)

24、在(0, +8)上存在单调减区间, 所以当x(0, +8)时，：一办一2子一工有解.1?设G(x)=2所以只要aG(X)min即可.而 G(X)= C 1一 1，所以 G(x)min= - 1.所以a.又因为W0,所以的取值范围为(一l,0)U(0, +8).(2)因为用(外在1,4上单调递减，所以当 1,4时，/z (x)=,一ax2W0 恒成立， X12即gwv恒成立.由(1)知 G(x)=2-1,所以 oeGOOmax,而 6(=-1)2-1,因为 x1,4,所以17所以G(X)max= 一书(此时工=4),7所以一石，又因为qWO,所以。的取值范围是一卷o)u(o, +).引申探究本例

25、(2)中，若函数/i(x)=/(x)g(x)在L4上单调递增，求的取值范围.解因为/i(x)在1,4上单调递增，所以当1,4时,(1)20恒成立, 1 ?所以当xL4时，qW/一;恒成立，又当 JSL4时,R|)min= - l(此时 X=D，所以 1,即。的取值范围是(一8, 1,思维升华根据函数单调性求参数的一般思路利用集合间的包含关系处理：y=/U)在3,句上单调，则区间(外?是相应单调区间的子集. (2加工)为增函数的充要条件是对任意的勿都有/ (x)0且在(，Z?)内的任一非空子区 间上，/ (x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.(3)函数在某个区间上存在单调区间

26、可转化为不等式有解问题.跟踪训练2(1)设函数91nx在区间a1,。+1上单调递减，则实数。的取值范围是.答案(1,29解析的定义域是(0, +), f (x)=x-*/Va10,由/ (x)W0,解得0%W3,由题意知 一1W3,解得1。2.(2)已知函数jx) = an x + f+ (-6)x在(0,3)上不是单调函数，则实数a的取值范围是答案(0,2)解析 函数(x)=E+2x+。-6.若函数/(x)=aln x+W+m6)x在(0,3)上单调递增，则/。)=且+2%+-620在(0,3)上恒6 尢一2 F44成立，即匚1=-2 (1+1)+百7-5在(0,3)上恒成立，令函数g= /+：,，(1,4), X十1L人丁 1I则g引4,5),22；