2013年全国高考理科数学试题分类汇编7：立体几何（修改）.doc

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1、2013 年全国高考理科数学试题分类汇编年全国高考理科数学试题分类汇编 7：立体几何：立体几何一、选择题1. （2013 年高考新课标 1（理） ）如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为 （）ABCD35003cm38663cm313723cm320483cm【答案】A 2. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）设是两条不同的直线,m n是两个不同的平面,下列命题中正确的是（）, A若,则B若,则 mnmn/mn/mnC若

2、,则D若,则mnmnm/mn/n【答案】D 3. （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为,则这两个球的体积之比为1:4（）ABCD1:21:41:81:16【答案】C 4. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）已知正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值等于（）1111ABCDABC D12AAABCD1BDCABCD23332313【答案】A 5. （2013 年高考新课标 1（理） ）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）ABCD1688816 168 16【答案】A 6. （2013 年高考湖北卷（理）

3、 ）一个几何体的三视图如图所示,该几何体从上到下由四个简单几何体组成,其体积分别记为,上面两个简单几何体均为旋转体,下面两个简单几何体均为多面体,则有1V2V3V4V（）ABC1243VVVV1324VVVVD2134VVVV2314VVVV 【答案】C 7. （2013 年高考湖南卷（理） ）已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于（）A BCD 122-122+12【答案】C 8. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 （）12211正视图俯视图侧视

4、图第第 5 5 题图题图ABCD41431636【答案】B 9. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ）已知nm,为异面直线,m平面,n平面.直线l满足,则（）,lm ln llA/,且/lB,且lC与相交,且交线垂直于lD与相交,且交线平行于l【答案】D 10. （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案） ）已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直,体积为94,底面是边长为3的正三角形.若P为底面111ABC的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为（）A512B3C4D6【答案】B 11. （2013 年普通高等学

5、校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案） ）某几何体的三视图如题 5图所示,则该几何体的体积为（）A5603B5803C200D240【答案】C 12. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）已知三棱柱的 6111ABCABC个顶点都在球的球面上,若,则球的半径为 （）O34ABAC，ABAC112AA OABCD 3 1722 101323 10【答案】C 13. （2013 年高考江西卷（理） ）如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上,且,正AB CD方体的六个面所在的平面与直线 CE,EF 相交的平面个数分别记为,那么,m nmn（）A8B

6、9C10D11【答案】A 14. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ）一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx平面为投影面,则得到正视图可以为 （）ABCD【答案】A 15. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）在下列命题中,不是公理的是（）A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平

7、面内D如果两个不重合的平面有一个公共点, 那么他们有且只有一条过该点的公共直线【答案】A 16. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）在空间中,过点作平面的A垂线,垂足为,记.设是两个不同的平面,对空间任意一点,B)(AfB,P,恒有,则（）)(),(21PffQPffQ21PQPQ A平面与平面垂直B平面与平面所成的(锐)二面角为 045C平面与平面平行D平面与平面所成的(锐)二面角为 060【答案】A 17. （2013 年高考四川卷（理） ）一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是 【答案】D 二、填空题18. （2013 年高考上

8、海卷（理） ）在平面上,将两个半圆弧和xOy22(1)1(1)xyx、两条直线 和围成的封闭图形记为 D,如图中阴影部分.记 D 绕22(3)1(3)xyx1y 1y y 轴旋转一周而成的几何体为,过作的水平截面,所得截面面积为,试(0, )(| 1)yy 2418y利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出的体积值为_【答案】. 221619. （2013 年高考陕西卷（理） ）某几何体的三视图如图所示, 则其体积为_.31121【答案】 320. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）已知圆和圆是球OK的大圆和小圆,其公共弦长等于球的半径

9、,且圆与圆所在的平面所成的一个二面OO32OK OK角为,则球的表面积等于_.60O【答案】 1621. （2013 年高考北京卷（理） ）如图,在棱长为 2 的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为_.1D1BPD1CCEBA1A【答案】 2 5522. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）如图,在三棱柱中,分别是的中点,设三棱锥的体积为,ABCCBA111FED，1AAACAB，ADEF 1V三棱柱的体积为,则_.ABCCBA1112V21:VVABC1ADEF

10、1B1C【答案】 1:2423. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的体积等于_.2cm43233正视图侧视图俯视图（第 12 题图）【答案】24 24. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,正方体的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体1111ABCDABC D1CC所得的截面记为 S.则下列命题正确的是_(写出所有正确命题的编号).当时,S 为四边形;当时,S 为等腰梯形;当时,S 与的交点 R

11、102CQ12CQ 34CQ 11C D满足;当时,S 为六边形;当时,S 的面积为.1113C R 314CQ1CQ 62【答案】 25. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是_.【答案】 161626. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版） ）已知某一多面体内接于一个简单组合体,如果该组合体的正视图.测试图.俯视图均如图所示,且图中的四边形是边长为 2 的正方形,则该球的表面积是_【答案】 1227. （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）在如图所示的正方体

12、中,异面直线1111ABCDABC D与所成角的大小为_1AB1BCD1C1B1A1DCAB【答案】 3三、解答题28. （2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）如图,AB 是圆的直径,PA 垂直圆所在的平面,C 是圆上的点.(I)求证:PACPBC平面平面；(II)2.ABACPACPBA若，1，1，求证：二面角的余弦值【答案】 29. （2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案） ）如图,四棱锥PABCD中,PAABCD 底面,2,4,3BCCDACACBACD ,F为PC的中点,AFPB.(1)求PA的长; (2)求二面角BAFD

13、的正弦值.【答案】 30. （2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,圆锥顶点为.底面圆心p为,其母线与底面所成的角为 22.5.和是底面圆上的两条平行的弦,轴与平面oABCDOOP所成的角为 60.PCD()证明:平面与平面的交线平行于底面; ()求.PABPCDcosCOD【答案】解: () PABP D,/ / /CmABCDCDPCDABPCD设面面直线且面面 . / /ABm直线ABCDmABCDAB面直线面/所以,. ABCDDPPAB的公共交线平行底面与面面C() . rPOOPFFCDr5 .22tan.60,由题知，则的中点为线段设

14、底面半径为. 5 .22tan15 .22tan245tan,2cos5 .22tan60tan60tan,2CODrOFPOOF)223(3), 1-2(321cos, 1-25 .22tan12cos2cos22CODCODCOD. 212-17cos. 212-17cosCODCOD所以法二: 31. （2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,在四面体中,BCDA平面,.是的中点, 是的中点,点在线段ADBCD22, 2,BDADCDBCMADPBMQ上,且.ACQCAQ3(1)证明:平面;(2)若二面角的大小为,求的大小./PQBCDDBMC

15、060BDCABCDPQM（第 20 题图）【答案】解:证明()方法一:如图 6,取的中点,且是中点,所以.因为是MDFMAD3AFFDP中点,所以;又因为()且,所以,所以面BM/ /PFBD3AQQC3AFFD/ /QFBD面,且面,所以面; / /PQFBDCPQ BDC/ /PQBDC 方法二:如图 7 所示,取中点,且是中点,所以;取的三等分点,使BDOPBM1/ /2POMDCDH,且,所以,所以,且3DHCH3AQQC11/ / /42QHADMD/ / /POQHPQOH,所以面; OHBCD/ /PQBDC()如图 8 所示,由已知得到面面,过作于,所以,过作ADB BDCC

16、CGBDGCGBMDG于,连接,所以就是的二面角;由已知得到GHBMHCHCHGCBMD,设,所以 813BM BDC, cos ,sin2 2cos ,2 2cossin,2 2sin,CDCGCBCDCGBCBDCDBD在中,所以在中, RT BCG2sin2 2sinBGBCGBGBCRT BHG,所以在中 2212 2sin332 2sinHGHGRT CHG 22 2cossintantan6032 2sin3CGCHGHG; tan3(0,90 )6060BDC32. （2013 年上海市春季高考数学试卷(含答案)）如图,在正三棱锥中,异面直线111ABCABC16AA 与所成角的

17、大小为,求该三棱柱的体积.1BC1AA6B1A1C1ACB【答案】解因为 . 1CC1AA所以为异面直线与.所成的角,即=. 1BC C1BC1AA1BC C6在 Rt中, 1BC C113tan62 33BCCCBC C从而, 233 34ABCSBC因此该三棱柱的体积为. 13 3 618 3ABCVSAA33. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）本小题满分14 分.如图,在三棱锥中,平面平面,过作,垂足ABCS SABSBCBCAB ABAS ASBAF 为,点分别是棱的中点.FGE，SCSA，求证:(1)平面平面; (2

18、)./EFGABCSABC ABCSGFE【答案】证明:(1),F 分别是 SB 的中点 ABAS SBAF E.F 分别是 SA.SB 的中点 EFAB 又EF平面 ABC, AB平面 ABC EF平面 ABC 同理:FG平面 ABC 又EFFG=F, EF.FG平面 ABC平面平面 /EFGABC(2)平面平面 SABSBC平面平面=BC SABSBCAF平面 SAB AFSB AF平面 SBC 又BC平面 SBC AFBC 又, ABAF=A, AB.AF平面 SAB BC平面 SAB 又SA平面 SABBCSA BCAB 34. （2013 年高考上海卷（理） ）如图,在长方体 ABC

19、D-A1B1C1D1中,AB=2,AD=1,A1A=1,证明直线 BC1平行于平面 DA1C,并求直线 BC1到平面 D1AC 的距离.D1C1B1A1DCBA【答案】因为 ABCD-A1B1C1D1为长方体,故, 1111/,ABC D ABC D故 ABC1D1为平行四边形,故,显然 B 不在平面 D1AC 上,于是直线 BC1平行于平面 DA1C; 11/BCAD直线 BC1到平面 D1AC 的距离即为点 B 到平面 D1AC 的距离设为 h考虑三棱锥 ABCD1的体积,以 ABC 为底面,可得 111(1 2) 1323V 而中,故 1ADC115,2ACDCAD132AD CS所以,

20、即直线 BC1到平面 D1AC 的距离为. 13123233Vhh2335. （2013 年高考湖北卷（理） ）如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,直线平面ABOCO,A BPC ,分别是,的中点.ABCEFPAPC(I)记平面与平面的交线为 ,试判断直线 与平面的位置关系,并加以证明;BEFABCllPAC(II)设(I)中的直线 与圆的另一个交点为,且点满足.记直线与平面lODQ12DQCP PQ所成的角为,异面直线与所成的角为,二面角的大小为,求证:ABCPQEFElC .sinsinsin第 19 题图【答案】解:(I), EFACACABC 平面EFABC 平面 EFABC平面又 E

21、FBEF 平面 EFl lPAC 平面(II)连接 DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.) 36. （2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版） ）如图 1,在等腰直角三角形中,分别是上的点,为的中点.将ABC90A6BC ,D E,AC AB2CDBEOBC沿折起,得到如图 2 所示的四棱锥,其中.ADEDEABCDE3A O() 证明:平面; () 求二面角的平面角的余弦值.A OBCDEACDBCDOxEA向量法图向量法图y

22、zB.COBDEACDOBEA图 1图 2【答案】() 在图 1 中,易得 3,3 2,2 2OCACAD CDOBEAH连结,在中,由余弦定理可得 ,OD OEOCD 222cos455ODOCCDOC CD 由翻折不变性可知, 2 2A D所以,所以, 222A OODA DA OOD理可证, 又,所以平面. A OOEODOEOA OBCDE() 传统法:过作交的延长线于,连结, OOHCDCDHA H因为平面,所以, A OBCDEA HCD所以为二面角的平面角. A HOACDB结合图 1 可知,为中点,故,从而 HAC3 22OH 22302A HOHOA所以,所以二面角的平面角的

23、余弦值为. 15cos5OHA HOA HACDB155向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示, OOxyz则, 0,0, 3A0, 3,0C1, 2,0D所以, 0,3, 3CA 1,2, 3DA 设为平面的法向量,则 , ,nx y zA CD,即,解得,令,得 00n CAn DA 330230yzxyz 3yxzx 1x 1, 1, 3n 由() 知,为平面的一个法向量, 0,0, 3OA CDB所以,即二面角的平面角的余弦值为. 315cos,535n OAn OAn OA ACDB15537. （2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案） ）如图, 四

24、棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 侧棱A1A底面ABCD, AB/DC, ABAD, AD = CD = 1, AA1 = AB = 2, E为棱AA1的中点. () 证明B1C1CE; () 求二面角B1-CE-C1的正弦值. () 设点M在线段C1E上, 且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为, 求线段AM的长. 26【答案】 38. （2013 年高考新课标 1（理） ）如图,三棱柱 ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A A1,BA A1=60.()证明 ABA1C;()若平面 ABC平面 AA1B1B,AB=CB=2,求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值

25、.【答案】()取 AB 中点 E,连结 CE,1AB,1AE, AB=1AA,1BAA=060,1BAA是正三角形, 1AEAB, CA=CB, CEAB, 1CEAE=E,AB面1CEA, AB1AC; ()由()知 ECAB,1EAAB, 又面 ABC面11ABB A,面 ABC面11ABB A=AB,EC面11ABB A,EC1EA, EA,EC,1EA两两相互垂直,以 E 为坐标原点,EA 的方向为x轴正方向,|EA |为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系Oxyz, 有题设知 A(1,0,0),1A(0,3,0),C(0,0,3),B(-1,0,0),则BC =(1,0,3),1BB

26、=1AA=(-1,0,3),1AC=(0,-3,3), 设n=( , , )x y z是平面11CBBC的法向量, 则100BCBB nn,即3030 xzxy,可取n=(3,1,-1), 1cos, ACn=11|ACACn|n|105, 直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为105 39. （2013 年高考陕西卷（理） ）如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O平面ABCD, . 12ABAA() 证明: A1C平面BB1D1D; () 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小. OD1B1C1DACBA1【答案】解:()

27、 ;又因为,在正方形 AB CD 中,BDOAABCDBDABCDOA11,面且面. BDCAACACAACABDAACOABDAC11111,，故面且面所以；且在正方形 AB CD 中,AO = 1 . . 111OAOAART中，在. OECAOCEAEDB1111111为正方形，所以，则四边形的中点为设，所以由以上三点得且，面面又OOBDDDBBODDBBBD111111E.E,.(证毕) DDBBCA111面() 建立直角坐标系统,使用向量解题. 以 O 为原点,以 OC 为 X 轴正方向,以 OB 为 Y 轴正方向.则 . ) 1, 0 , 1 () 1 , 1 , 1 (),100

28、(),001 (,0 , 1 , 0111CABACB，）（由()知, 平面BB1D1D的一个法向量 .0 , 0 , 1),1 , 1 , 1 (),1, 0 , 1 (111）（OCOBCAn设平面OCB1的法向量为，则0, 0,2122OCnOBnn ).1- , 1 , 0(向向向2n为解得其中一个. 21221|,cos|cos212111nnnnnn所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为 340. （2013 年高考江西卷（理） ）如图,四棱锥中,PABCDPA,ABCD EBD 平面为的中点OD1B1C1DACBA1,连接并延长交于.GPD为的中点，3,12DABDCB E

29、AEBABPA ，CEADF(1) 求证:;ADCFG 平面(2) 求平面与平面的夹角的余弦值.BCPDCP【答案】解:(1)在中,因为是的中点,所以, ABDEBD1EAEBEDAB故, ,23BADABEAEB 因为,所以, DABDCB EABECB 从而有, FEDFEA 故,又因为所以. ,EFAD AFFD,PGGDFGPA又平面, PAABCD所以故平面. ,GFADAD CFG(3) 以点为坐标原点建立如图所示的坐标系,则, A33(0,0,0), (1,0,0),( ,0),(0, 3,0)22ABCD(4) ,故 3(0,0, )2P1333 333(0),(, ),(,0

30、)2222222BCCPCD ，设平面的法向量,则 , BCP111(1,)ny z111130223330222yyz解得,即. 113323yz 13 2(1, )33n 设平面的法向量,则,解得, DCP222(1,)nyz 222330223330222yyz2232yz即.从而平面与平面的夹角的余弦值为. 2(1, 3,2)n BCPDCP1212423cos41689n nn n 41. （2013 年高考四川卷（理） ）如图,在三棱柱中,侧棱底面,11ABCABC1AA ABC,分别是线段的中点,是线段的中点.12ABACAA120BAC1,D D11,BC BCPAD()在平面

31、内,试作出过点与平面平行的直线 ,说明理由,并证明直线平面ABCP1ABCll ;11ADD A()设()中的直线 交于点,交于点,求二面角的余弦值.lABMACN1AAMND1DCBA1B1C1AP【答案】解:如图,在平面内,过点做直线 /,因为 在平面外, ABCPlBCl1ABC 在平面内,由直线与平面平行的判定定理可知, /平面. BC1ABCl1ABC由已知,是的中点,所以,则直线. ABACDBCBCADlAD因为平面,所以直线 .又因为在平面内,且与相交,所1AA ABC1AA l1,AD AA11ADD AAD1AA以直线平面 11ADD A解法一: 连接,过作于,过作于,连接

32、. 1APA1AEAPEE1EFAMFAF由知,平面,所以平面平面. MN 1AEA1AEA1AMN所以平面,则. AE 1AMN1AMAE所以平面,则. 1AM AEF1AM AF故为二面角的平面角(设为). AFE1AAMN设,则由,有,. 11AA 12ABACAA120BAC60BAD2,1ABAD又为的中点,所以为的中点,且, PADMAB1,12APAM在中, ;在中, . 1Rt AAP152AP 1Rt A AM12AM 从而, 1115AAAPAEAP1112AAAMAFAM所以. 2sin5AEAF所以. 22215cos1 sin155故二面角的余弦值为 1AAMN155

33、解法二: 设.如图,过作平行于,以为坐标原点,分别以,的方向为轴,11AA 1A1AE11BC1A111,AE AD 1AAx轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系(点与点重合). yzOxyzO1A 则,. 10,0,0A0,0,1A因为为的中点,所以分别为的中点, PAD,M N,AB AC故, 3 13 1,1 ,12222MN所以,. 13 1,122AM10,0,1A A 3,0,0NM 设平面的一个法向量为,则 1AAM1111,nx y z即故有 1111,nAMnA A 11110,0,nAMnA A 1111113 1,10,22,0,0,10,x y zx y z从而 1111

34、310,220.xyzz取,则,所以. 11x 13y 11,3,0n 设平面的一个法向量为,则 1AMN2222,nxy z即故有 212,nAMnNM 2120,0,nAMnNM 2222223 1,10,22,3,0,00,xy zxy z从而 2222310,2230.xyzx取,则,所以. 22y 21z 20,2, 1n 设二面角的平面角为,又为锐角, 1AAMN则. 12121,3,00,2, 115cos525nnnn故二面角的余弦值为 1AAMN15542. （2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ）本小题满分10 分

35、.如图,在直三棱柱中,点是的中点111ABCABCACAB 2 ACAB41AADBC(1)求异面直线与所成角的余弦值BA1DC1(2)求平面与所成二面角的正弦值.1ADC1ABA【答案】本题主要考察异面直线.二面角.空间向量等基础知识以及基本运算,考察运用空间向量解决问题的能力. 解:(1)以为为单位正交基底建立空间直角坐标系, 1,AAACABxyzA 则, )0 , 0 , 0(A)0 , 0 , 2(B)0 , 2 , 0(C)4 , 0 , 0(1A)0 , 1 , 1 (D)4 , 2 , 0(1C, )4, 0 , 2(1BA)4, 1, 1 (1BA 10103182018,c

36、os111111DCBADCBADCBA异面直线与所成角的余弦值为 BA1DC110103(2) 是平面的的一个法向量 )0 , 2 , 0(AC1ABA设平面的法向量为, 1ADC),(zyxm )0 , 1 , 1 (AD)4 , 2 , 0(1AC由 1,ACmADm 取,得,平面的法向量为 0420zyyx1z2, 2xy1ADC) 1 , 2, 2( m设平面与所成二面角为 1ADC1ABA, 得 32324,coscosmACmACmAC35sin平面与所成二面角的正弦值为 1ADC1ABA3543. （2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对

37、） ）如图,四棱锥中,与都是等边三角形.PABCD902,ABCBADBCADPAB ，PAD(I)证明: (II)求二面角的大小.;PBCDAPDC【答案】 44. （2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案） ）如图所示,在三棱锥PABQ中,PB 平面ABQ,BABPBQ,D C E F 分别是,AQ BQ AP BP的中点, 2AQBD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH.()求证:AB GH; ()求二面角DGHE的余弦值.【答案】解:()证明:因为,D C E F 分别是,AQ BQ AP BP的中点, 所以EFAB,DCAB,所以EFDC, 又E

38、F 平面PCD,DC 平面PCD, 所以EF平面PCD, 又EF 平面EFQ,平面EFQ平面PCDGH, 所以EFGH, 又EFAB, 所以ABGH. ()解法一:在ABQ中, 2AQBD,ADDQ, 所以=90ABQ,即ABBQ,因为PB 平面ABQ,所以ABPB, 又BPBQB,所以AB 平面PBQ,由()知ABGH, 所以GH 平面PBQ,又FH 平面PBQ,所以GHFH,同理可得GHHC, 所以FHC为二面角DGHE的平面角,设2BABQBP,连接PC, 在tRFBC中,由勾股定理得,2FC , 在tRPBC中,由勾股定理得,5PC , 又H为PBQ的重心,所以1533HCPC 同理

39、53FH , 在FHC中,由余弦定理得552499cos5529FHC , 即二面角DGHE的余弦值为45. 解法二:在ABQ中,2AQBD,ADDQ, 所以90ABQ,又PB 平面ABQ,所以,BA BQ BP两两垂直, 以B为坐标原点,分别以,BA BQ BP所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设2BABQBP,则(1,0,1)E,(0,0,1)F,(0,2,0)Q,(1,1,0)D,(0,1,0)C(0,0,2)P,所以( 1,2, 1)EQ ,(0,2, 1)FQ ,( 1, 1,2)DP ,(0, 1,2)CP , 设平面EFQ的一个法向量为111( ,)mx

40、y z, 由0m EQ ,0m FQ , 得111112020 xyzyz 取11y ,得(0,1,2)m . 设平面PDC的一个法向量为222(,)nxyz 由0n DP ,0n CP , 得222222020 xyzyz 取21z ,得(0,2,1)n .所以4cos,5m nm nm n 因为二面角DGHE为钝角,所以二面角DGHE的余弦值为45. 45. （2013 年高考湖南卷（理） ）如图 5,在直棱柱,1111/ /ABCDABC DADBC中，,.90 ,1BADACBD BC13ADAA(I)证明:; (II)求直线所成角的正弦值.1ACB D111BCACD与平面【答案】解

41、: () ACBBABCDBDABCDBBDCBAABCD111111,面且面是直棱柱. (证毕) DBACBDBDBBDBACBBBBDBDAC11111,，面。面且又() 。的夹角与平面的夹角即直线与平面直线111111,/ACDADACDCBADBCCB 轴正半轴。为轴正半轴，为点，量解题。设原点在建立直角坐标系，用向XADYABA BDACyBDyACyCyBDDA),0 , 3(),0 , 1 ()0 , 1 (),0 , 0(),3 , 0 , 3(),0 , 0 , 3(,00 , 01，则，设).3 , 0 , 3(),0 , 3, 1 (. 30, 003012ADACyyy

42、BDAC），（），（的一个法向量平面则的法向量为设平面303,313-.00,111ADnACDADnACnnACD 7213733|,cos|sin003,313-1ADnADnACD），（），（的一个法向量平面. 72111夹角的正弦值为与平面所以ACDBD46. （2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD 版） ）如图,在四棱柱中,侧棱,1111ABCDABC D1AAABCD 底面/ /ABDC11AA 3ABk4ADk,.5BCk6DCk(0)k (1)求证:11;CDADD A 平面(2)若直线与平面所成角的正弦值为,求的值;1AA1ABC67k(3)现

43、将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼接成一个新的棱柱,规定:1111ABCDABC D若拼接成的新的四棱柱形状和大小完全相同,则视为同一种拼接方案.问:共有几种不同的方案?在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为,写出的表达式(直接写出答案,不必要说( )f k( )f k明理由)【答案】解:()取中点,连接 CDEBE, / /ABDEQ3ABDEk四边形为平行四边形 ABED且 / /BEAD4BEADk在中, BCEV4 ,3 ,5BEk CEk BCkQ 222BECEBC,即,又,所以 90BECBECD/ /BEADQCDAD平面,平面 1AA QABCDCD ABCD

44、,又, 1AACD1AAADAI平面 CD11ADD A()以为原点,的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系D1,DA DC DDuu u r uuu r uuur, ,x y z, (4 ,0,0)Ak(0,6 ,0)Ck1(4 ,3 ,1)Bkk1(4 ,0,1)Ak所以, ( 4 ,6 ,0)ACkk uuu r1(0,3 ,1)ABkuuu r1(0,0,1)AA uuu r设平面的法向量,则由 1ABC( , , )nx y z100AC nAB nuuu ruuu r得取,得 46030kxkykyz2y (3,2, 6 )nk设与平面所成角为,则 1AA1ABC111,s

45、in|cos,| |AA nAA nAAn uuu ruuu ruuu r,解得.故所求的值为 1 26673613kk1k k()共有种不同的方案 4 2257226 ,018( )53636 ,18kkkf kkk k47. （2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理） （纯 WORD 版含答案） ）如图,直棱柱111ABCABC中,D E分别是1,AB BB的中点,122AAACCBAB.()证明:1/ /BC平面1ACD; ()求二面角1DACE的正弦值.ABCD1A1C1BE【答案】 48. （2013 年高考北京卷（理） ）如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C

46、1C是边长为 4 的正方形,平面ABC平面AA1C1C,AB=3,BC=5.()求证:AA1平面ABC;()求二面角 A1-BC1-B1的余弦值;()证明:在线段 BC1存在点 D,使得ADA1B,并求的值.1BDBC【答案】解: (I)因为 AA1C1C 为正方形,所以 AA1 AC. 因为平面 ABC平面 AA1C1C,且 AA1垂直于这两个平面的交线 AC,所以 AA1平面 ABC. (II)由(I)知 AA1 AC,AA1 AB. 由题知 AB=3,BC=5,AC=4,所以 ABAC. 如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系 A-,则 B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3

47、,4),C1(4,0,4), xyz设平面 A1BC1的法向量为,则,即, , , )x y zn = (11100ABACnn34040yzx令,则,所以. 3z 0 x 4y (0,4,3)n =同理可得,平面 BB1C1的法向量为,所以. 由题知二面角 A1-(3,4,0)m =16cos25n mn,m|n|m |BC1-B1为锐角,所以二面角 A1-BC1-B1的余弦值为. 1625(III)设 D是直线 BC1 上一点,且. 所以.解得,( , , )x y z1BDBC ( ,3, )(4, 3,4)x yz4x,. 33y4z所以. (4 ,33 ,4 )AD由,即.解得. 10AD AB 9250925因为,所以在线段 BC1上存在点 D, 90,125使得 ADA1B. 此时,. 1925BDBC