第59讲 离散型随机变量及其分布列（达标检测）（教师版）.docx

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1、离散型随机变量及其分布列达标检测A组一应知应会1.（2019春金凤区校级期末）下列表格可以作为的分布列的是（）A.013【分析】根据分布列的性质0WPW1以及各概率之和等于1,能求出正确结果.【解答】解：根据分布列的性质0WPW1以及各概率之和等于1,在A中，各概率之和为21,故A错误；2在3中，-工b 故。错误. 22故选：C.2.（2020春越秀区期末）若随机变量X的分布列为X123.随机变量X的分布列为:X0123p工_Le218189?(2)设事件人表示“甲队得2分，乙队得1分”，事件人表示甲队3名同学中有2人答对，乙队中名同学中有1人答对，设事件8表示“甲队3名同学中有2人答对”，事

2、件。表示“乙队3名同学中有1人答对”,P (C) =P(X=1) =N(i4)x(i-1)+(iT)x!X(i-1)+(i-4)x (14)乂弓=福 NJo/ cScSNo o X o：.P (A) =P (BC) =P (B) P (C)=里乂二=卫.918 81.(2020秋仁寿县校级月考)某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女 同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同 学.(1)求X的概率分布；(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率.【分析】(1)确定X的可能取值，利用独立重复试验概率公式求概率，从而可得X的概

3、率分布列；(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为P (X=l) +P (X=2),从而可得结论.【解答】解：(1) X的可能取值为0, 1, 2, 3,则P (X=0)=5百即X的概率分布列为X0123尸。匹匹56562828(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为P (X=l) +P (X=2)=五+立=里.56 28 56. (2020江苏模拟)厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.(1)若厂家库房中(视为数量足够多)的每件产品合格的概率为0.7,从中任意取出3件进行检验，求 至少有2件是合格品

4、的概率；(2)若厂家发给商家20件产品，其中有4件不合格，按合同规定商家从这20件产品中任取2件，都进 行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出的不合格产品的件数t的 分布列，并求该商家拒收这批产品的概率.【分析】(1) “从中任意取出3件进行检验，至少有2件是合格品”记为事件4其中包含两个基本事件 “恰有2件合格”和“3件都合格。由此能求出至少有2件是合格品的概率.(2)该商家可能检验出不合格产品数字己可能的取值为0, 1, 2,分别求出相应的概率，由此能求出t 的分布列；只有2件都合格时才接收这批产品，从而商家拒收这批产品的对立事件为商家任取2件产品 检验都合格

5、，由此能求出商家拒收这批产品的概率.【解答】解：(1) “从中任意取出3件进行检验，至少有2件是合格品”记为事件A,其中包含两个基本事件“恰有2件合格”和“3件都合格”，P(A)=C：X (0. 7)2XQ. 3+(0. 7) 3=0. 784-(2)该商家可能检验出不合格产品数彳可能的取值为0, 1, 2,P(& =0)=姿玉，20c!c L 39u u 29520p2p(亡=2)=,u 乙)29520的分布列为：w012P1232因为只有2件都合格时才接收这批产品，故商家拒收这批产品的对立事件为商家任取2件产品检验都合格，记“商家拒收”为事件8,则P =l-P(g=0)$，iy商家拒收这批

6、产品的概率为二.1922.（2020芜湖模拟）学号为1, 2, 3的三位小学生，在课余时间一起玩“掷骰子爬楼梯”游戏，规则如 下：投掷一颗骰子，将每次出现点数除以3,若学号与之同余（同除以3余数相同），则该小学生可以上 2阶楼梯，另外两位只能上1阶楼梯，假定他们都是从平地（0阶楼梯）开始向上爬，且楼梯数足够多.（I ）经过2次投掷骰子后，学号为1的同学站在第X阶楼梯上，试求X的分布列；（II）经过多次投掷后，学号为3的小学生能站在第阶楼梯的概率记为尸，试求Pl, P2, P3的值,并探究数列P可能满足的一个递推关系和通项公式.【分析】（I）由题意得X的可能取值为2, 3, 4,分别求出相应的概

7、率，由此能求出X的分布歹！J.（II）P1表示学号为3的小朋友能站在第1阶楼梯的概率，推导出巳上,P3 =P3 =3+clx_2.x120+C2X3 X3-271 3由于学号为3的小朋友能够站在第阶楼梯，有两种可能：从第-2阶楼梯赢得比赛（投掷点数为3或6）直接蹬2个台阶上来.或从第 - 1阶楼梯“输掉比赛”上只蹬1个台阶上来.根据骰子投掷规则，赢得比赛的概率是输掉比赛的概率是2, 33（三3且GN*）,由此可探究数列小可能满足的一个递推关系和通项公式.【解答】解：（I ）由题意得X的可能取值为2, 3, 4.P (X=2) = X=，33 9P (X=4) = X=.33 9x的分布列为X2

8、34PA41999（n）pi表示学号为3的小朋友能站在第1阶楼梯的概率,根据投掷骰子的规则，若出现点数为3或6,则他直接站在第2阶楼梯，否则站在第1阶楼梯.故Pl看同理可得：丁会呜产号3吗）飞小界募嗡.由于学号为3的小朋友能够站在第阶楼梯，有两种可能：从第 - 2阶楼梯赢得比赛（投掷点数为3或6）直接蹬2个台阶上来.或从第72-1阶楼梯“输掉比赛”上只蹬1个台阶上来.根据骰子投掷规则，赢得比赛的概率是工，输掉比赛的概率是2,33故 p=2p 4Ap (23 且 N*) (*)3 n-1 3 n2将(*)式可变形为p -p 尸(P P ，(n3).1 n 1 n-13n-1 1 n-2从而知：数

9、歹U力-4是以尸2-日=为首项，以-工为公比的等比数歹U，93则有为-分=工乂()n-2= ( - 1) 9 3 3进而可得:Pn= (Pn- P展 1) + (Ph-1 -Ph-2)+ (P2-P1) +P1=(-A)+( -A)g+( - A)2+233331-()nH2 93= 31 一()叫.(N*). 43B组一强基必备(2019郑州市第一次质量预测)2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市 之一，郑州市正式发布PM2.5数据.资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与 前几年相比得到了很大改善.郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(

10、AQI),其中在轻度污染区、中度 污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气 质量.(1)若某日播报的AQI为118,已知轻度污染区AQI的平均值为74,中度污染区AQI的平均值为114, 求重度污染区AQI的平均值；(2)下表是2018年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在170/80)内.组数分组天数第一组50,80)3笫二组80,110)4第三组110,140)4第四组140,170)6第五组170,200)5第六组200,230)4第七组230,260)3第八组260,290)1郑州市某中学利用每周日的时间进行

11、社会实践活动，以分布的AQI为标准，如果AQI小于180,则 去进行社会实践活动，以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量 监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X,求X的分布列及数学期望.【解】（1）设重度污染区AQI的平均值为羽 则74X2+114X5 + 2x=U8X9,解得x=172.即重度污染区AQI的平均值为172.（2）由题意知，AQI在170,180）内的天数为1,由题表可知，AQI在50,170）内的天数为17,故11月份AQI小于180

12、的天数为1 + 17=18,1 Q QQ又*=，则该校周日去进行社会实践活动的概率为之由题意知，X的所有可能取值为0/23,且P(X=0) =P(X=0) =CC?2W=2041 015nzY_ n_C18C|2P(XT)- Go4591 015P(X=2) =Cl8cL 297Go -1015,则X的分布列为X0123P2041 0154591 0152971 01511203数学期望 E(X)=0X1 q+IX1 oi5 + 2Xl 015 + 3X203=?P0.2a3a则a的值为（）A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4【分析】根据概率之和等于1计算.【解答】解:0.2+a+

13、0.3a=1,4=0.2.故选：B.3.（2020春宁德期末）若随机变量n的分布列如表:n-2-10123p0.10.20.20.30.10.1则 P （ti1）=（）A. 0.8B, 0.5C. 0.3D, 0.2【分析】P（T（1） =P（T| = 0） +P（T|= - 1） +P（T|= - 2）,由随机变量T|的分布列能求出结果.【解答】解：由随机变量”的分布列知：P（T1）=p（Tl=0）+p（n= - l） +p（n= 一 2） =0.2+0.2+0.1=0.5.故选：B.4. （2020春桂林期末）已知随机变量X的分布列是则 a+b=()X123P_1ab【分析】由随机变量X的

14、分布列的性质直接求解.【解答】解：由随机变量X的分布列的性质得：卷+a+b = l，解得a+b=.3故选：A.5 . （2020春顺义区期末）已知随机变量X的分布列如表（其中。为常数）X012345P0.10.1a0.30.20.1A. 0.4B. 0.5C. 0.6D.0.7则 P （1WXW3）等于（）【分析】根据概率之和为1计算m再计算P（1WXW3）.【解答】解：由概率之和等于1可知。=0.2,：.P (1WXW3) =0.1+0.2+0.3 = 0.6.故选：C.2, 3, 4),则 P3 b6 .（2020春渭滨区期末）设随机变量8的分布列为p （&二X）=ak（k=l,4等于（）

15、A-iA-ic-iD.【分析】随机变量w的分布列的性质求出，=0.1,由此根据p3g9）=尸（m=2）+。熊=旦）, 3544能求出结果.【解答】解：随机变量彳的分布列为p（g二区）=ak（k=l, 2, 3, 4），4/.。+2。+3。+4。= 1,解得 a=0.1,.p(L g 三)=尸(m=2)+p 鳍=旦)=2xo.i+3xo.i=. 442故选：D.324【分析】由随机变量X的分布列的性质得a+Z?+c、=l,且，/?, ce0, 1.由q, h,D1c成等差数列，得2b= o+c,从而能求出 P(W = l) =P (X= - 1) +P (X=l)的值.【解答】解：随机变量X的分

16、布列如下:P a b c/.a+b+c= 1,且 a, b, ceO, 1.%, b, c成等差数列， 2,bcicy (2)联立，得。=工，4+C=Z, 33：.P(k|=l) =P (X= - 1) +P (X=l) =a+c=.3故选：D.8.(2019春白山期末)随机变量X的分布列如表，其中，b, c成等差数列，且c4&b，2X246Pabc则 P (X=2)=()A. B. C. D.45721【分析】由m b,。成等差数列，且cab，利用随机变量X的分布列和性质列出方程组，能求出 2b, c,由此能求出P (X=2)的值.【解答】解：Z, b,。成等差数列，且cab，2由随机变量x

17、的分布列得：2b=a+c c=-ab ,解得=匹，b=,27321L &+b+c=lP (X=2) a.7故选：C.9.(2019春邹城市期中)已知随机变量X的概率分布为P (X=)=-A-(=0, 1, 2),其中 (n+l)(n+2)。是常数，则P (0X2)的值等于()A. B. C. D.3399【分析】根据条件，由概率分布的性质概率之和为1,分析即可求出。的值，再由。(0WX2) =p (X=0) +P (X=l),即可求出结果.【解答】解：根据题意，随机变量X的概率分布为尸（X=72）=a(n+1)(n+2)(=0,1, 2),则有 P (X=0) +P (X=l) +尸(X=2)

18、=且+且+2=1,2 6 12解可得:a=93则 P (0WX2) =p (X=0) +P (X=l)3 9 9故选：D.10. （2019曲靖二模）已知随机变量3的分布列为:-2-10123P112312412112212112若P（ g则实数x的取值范围是（）A. 4VxW9B. 4x9C. x9【分析】由随机变量的分布列，知产的可能取值为0, 1, 4, 9,分别求出相应的概率，由此利用尸（尸Vx） =11,求出实数x的取值范围.12【解答】解：由随机变量f的分布列，知：资的可能取值为0, 1, 4, 9,且 P （产=0）=, 12P（1=1）=12 12 12P （E2=4）=+工-

19、=*-, 12 12 12P （或=9）=, 12/.实数x的取值范围是4Vx9.故选：A.11. （2020春鼓楼区校级期末）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于旦的是（）7A.至少有1个深度贫困村B.有1个或2个深度贫困村C.有2个或3个深度贫困村D.恰有2个深度贫困村【分析】用X表示这3个村庄中深度贫困村数，则X服从超几何分布，计算对应的概率值即可得出结论.【解答】解：用X表示这3个村庄中深度贫困村数，则X服从超几何分布，3-k 所以p(x=k)二&一 c JP(X=1) =P(X=1) =P(X=2) =P(X=3) =计算 P(X=o) =183

20、51235135所以 P(X=1)+P(X=2)=|，即有1个或2个深度贫困村的概率为2.7故选：B.12. (2020春吉林期末)已知离散型随机变量己的分布列如表所示，则表中p值等于【分析】由离散型随机变量W的分布列的性质能求出p.012p0.4P0.3【解答】解：由离散型随机变量的分布列得：0.4+p+0.3=l,解得=0.3.故答案为：0313. (2020春淮安期末)已知随机变量X的概率分布为：X0123456P0.160.220.24? *0.100.060.01则 P (X23)=【分析】由随机变量X的概率分布求出P （X=3）,再由P （X23） =P （X=3） +尸（X=4）

21、 +P （X=5）+尸（X=6）,能求出结果.【解答】解：由随机变量X的概率分布知：P （X=3） = 1 - 0.16 - 0.22 - 0.24 - 0.10 - 0.06 - 0.01 =0.21,P （X23） =P （X=3） +尸（X=4） +P （X=5） +P （X=6）= 0.21+0.10+0.06+0.01 =0.38.故答案为：0.38.14. （2019春渭滨区期末）设随机变量X的概率分布列如表，则。（以-2|=1） =.x1234PAmAA643【分析】由Ix-2|=1,解得尤 即可得出P （|尢-2|=1） =P （X=l或3）.【解答】解：由以-2|=1,解得x

22、=l, 3.：.P （|x-2|=l） =P （X=l 或 3）6 4 12故答案为：区.12（2020春顺德区期末）已知随机变量X的分布列如表，X123旦旦旦234其中a是常数，则pdX3）的值为.22【分析】由随机变量X的分布列的性质求出。=1|,再由=尸（x=l）,能求出结果.【解答】解：由随机变量X的分布列的性质得：解得4 =夸，13A p（ix）=p （X=1）=曳乂卫=旦2，2 213 13故答案为：1315. （2020春丰台区校级月考）已知随机变量X的分布列为p（x二i）二;（i = l, 2, 3, 4），则P（2XW4）等于4），列方程求出=5,从而利用P （24），列方程

23、求出=5,从而利用P （23, 4），【分析】由随机变量X的分布列为p（x二i）二一（i = l, 2, 3,2aVX4) =P (X=3) +P (X=4),能求出结果.【解答】解：随机变量X的分布列为p（x二i）二匚一（i = l, 2,2a2a 2a 2a 2a解得。=5,：.P (2VXW4) =P (X=3) +P (X=4) = 4= 10 10 10故答案为：J_1017.（2019春河南期末）设随机变量f的概率分布列为：Pk+1,k=U, 1, 2, 3,则 P (8=2)【分析】由题意可得P （孑=0） +P麓=1） +P （2=2） +P （=3） =1,所以25，所以P

24、（=攵）=所以c专专号二,所以c25所以P （4=攵）=产、,所以尸（?=2）=25（k+l）425产、，进而求出答案.25（k+l）【解答】解：因为所有事件发生的概率之和为1,=1,即 P(3=0) +P (彳=1) +P(m=2) +P (=3)故答案为：A2518.（2020春越秀区期末）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为2000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表:作物产量（kg）400500概率0.60.4作物市场价格（元/依）作物市场价格（元/依）10概率概率0.50.5（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列;(2)

25、若在这块地上连续4季种植此作物，求这4季中至少有2季利润不少于2000的概率.【分析】(1)计算利润的各种可能取值及其对应的概率得出分布列；(2)根据二项分布的概率公式计算.【解答】解：(1) X的可能取值有1200, 2000, 3000,且尸(X=1200) =0.6X0.5 = 03, P (X=2000) =0.6X0.5+0.4X0.5 = 0.5,P (X=3000) =04X0.5=0.2.故X的分布列为:1200200030000.30.50.2(2)由(1)可知种植1季作物，利润不少于2000的概率为0.5+0.2=0.7,.这4季中至少有2季利润不少于2000的概率为：C%

26、7)2(0.3) 2+c0.7) 30.3+ (0.7) 4=0.9163.19. (2020春济宁期末)在某校举办的“国学知识竞赛”决赛中，甲、乙两队各派出3名同学参加比赛.规 则是：每名同学回答一个问题，答对为本队赢得1分，答错得。分.假设甲队中每名同学答对的概率均 为2,乙队中3名同学答对的概率分别是工，2, 2,且每名同学答题正确与否互不影响.用X表示乙 32 3 3队的总得分.(1)求随机变量x的分布列；(2)设事件4表示“甲队得2分，乙队得1分”，求P(A).【分析】(1)用X表示乙队的总得分，由X的可能取值为0, 1, 2, 3,分别求出相应的概率，由此能求 出随机变量X的分布列

27、.(2)设事件A表示“甲队得2分，乙队得1分”，事件A表示甲队3名同学中有2人答对，乙队中名同学中有1人答对，设事件B表示“甲队3名同学中有2人答对”，事件C表示“乙队3名同学中有1人 答对“，P (A) =P (BC) =P (B) P (C),由此能求出结果.【解答】解：(1)用X表示乙队的总得分，由X的可能取值为0, 1, 2, 3,P(x=o)= (14)(1-白)(1-不=心， / ooX oP(x=i)Ux(14)x(i-1)+(iA)x|x(i-)+(iA)x (l4)x枭福 NJoo o x op(x=2) =-1 X-X (l-4)+4-X (1-4)XT233233233 9