专题08 圆锥曲线中的最值与范围问题（解析版）.docx

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1、8.圆锥曲线中的最值与范围问题一.三角形面积的最值【例1】(2021年全国乙卷)已知抛物线C:x2=2py(p0)的焦点为八且尸与圆/：/ +(,+书2 = 1上点的距离的最小值为4.(1)求；(2)若点夕在M上，P4,依是。的两条切线，A3是切点，求尸面积的最大值.【解析】(1)抛物线C的焦点为歹0,I 2JFM =4 + 4,2所以，/与圆M:/ + (y + 4)2 = l上点的距离的最小值为3 + 4 1 = 4,解得p = 2； 2r丫2X(2)抛物线。的方程为2=4y,即y =对该函数求导得 二万 设点 A(Xj)、3(乙,%)、尸(%,%),直线的方程为y-y直线的方程为y-y方

2、（工一玉），即 y =- yx,即玉x 2y 2y = 0 ,同理可知，直线总的方程为入21一2%一2 =。,由于点。为这两条直线的公共点，则由于点。为这两条直线的公共点，则%/_2乂_2%=09%_2%_2%=0所以，点A、3的坐标满足方程玉工一2y一2% =。, 所以，直线A3的方程为不l2y 2%=。，x0x-2y-2y0 =0联立, x2，可得/一24工+ 4稣=。,由韦达定理可得%+%2 =2% ,=4%，所以，AB +v UJ/ .X。Ci、24xg-160 =yj-4j0），|x：-4%点P到直线AB的距离为d = 1Jx0 +4此时| OP |= 2cos工=血 42综上所述，

3、0P的最小值为池.2匕0）的左焦点片发匕0）的左焦点片发7.（2022年高三数学新高考测评卷（猜题卷八）已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点.若从椭圆T: 出的光线，经过两次反射之后回到点小光线经过的路程为8, 7的离心率为今（1）求椭圆T的标准方程;（2）设。（而,。），且无。，过点的直线,与椭圆T交于不同的两点弘M尸2是T的右焦点，且/M与NDgN互补，求面积的最大值.【解析】（1）由椭圆的性质可知，左焦点E发出的光线, 经过两次反射之后回到点6,光线经过的路程为4a = 8,解得 =2.又椭圆的离心率为立，得e = =立， 2

4、a 2所以c = g,故 Z?2 = / _ c、2 = 4 _ 3 =, 9故椭圆T的标准方程为土+y2=l；4（2）由题意得耳（6,0）,设N（&,%）.因为与互补，所以Zmb+&”=。，即一五方+ 一后=， “x -73 x2 73化简整理，可得不%6巳+9乂Ky=o，设直线眩V的方程为x =+,得 2mxy2 + （ 6） （Y + %） = 0 .x = my-n联立直线的V与椭圆的方程得d+ =114整理得（疗 + 4）y2 + 2mny + n2 -4 = 0 ,= 4m2n2 -4(m2 +4)(n2-4)0,可得？ ,2mn+ 4n2 -4m2 +4所以2帆：二勺G).m +

5、 4,)-2mn 八； =U，加一 +4故直线的方程为x = my + .点f2 (6,0)到直线4V的距离 二MN =V1+ m2=J1 +疗.（2mnI m2+4y2-4xn2 -4加2 +4=Jl + m2 m2 + 44,3/473 _ 2根24V3（m2+4）3Vl + m2 3 m2+4由2 V m? + 4 , n = 4.可得,- 0 .33. 产-|-4记/ = J3”-4,则，0,加二丁,=2x? -162 tx -3+4,3等号成立.当且仅当屿，即”4,2 20 ”一时,故加叫面积的最大值为g.4丫28.(“四省八校” 2022届高三下学期开学考试)如图，已知椭圆G：L+

6、y2=i,曲线G ： V = /-1与 轴4 .的交点为过坐标原点。的直线/与相交于A、B,直线M4、MB分别与G交于点。、E.AE（1）证明：以OE为直径的圆经过点M；（2）记M4B、石的面积分别为3、邑，若S=XS2，求2的取值范围.【解析】（1）证明：若直线/的斜率不存在，则该直线与y轴重合，此时直线/与曲线G只有一个交点，不 合乎题意.所以，直线/的斜率存在，设直线/的方程为了 =丘.y = kx2 得12_点_ = 0, )=r_设A（X，y）、8（,%），则为、是上述方程的两个实根，于是 X + , MW = T.所以 k J+1 %+=(1+1)(辰,+1)二中2+M%+X2)+

7、 l_、2+/+=X九2xx2xtx2xx2所以例J_M?,即NOM石= 90。，所以。石为直径的圆经过点（2）由已知，设M4的斜率为人（勺0）,则M4的方程为 =1,y = k.x-、2 1解得y = x -1y = k.x-、2 1解得y = x -1则点A的坐标为（配片一1）,又直线MB的斜率为-,同理可得点8的坐标为k； k；ky = kxx- x2+4/-4 = 0得（1 + 4形）工2_8尢X=0,解得瓯1+46%-11 + 46则点。的坐标为则点。的坐标为g 4K2-1、+ 461 + 4好,1（ _%k 4_仆、又直线MB的斜率为一厂，同理可得点E的坐标，k】4 +跖 4 +

8、6J于是I =3叫.眼耳1 +6.&4J1+L理4=/32（1：州”, 2 211 1 2、1 1 + 46 V k； 4 + 好（1 + %）（4 + 好）因此S-0 + 4硝仰+4）因此寸一函一因此S-0 + 4硝仰+4）因此寸一函一1 (4、=46+芸 + 17 k2 K 76464x2F?+i712564ai2 4当41=记时,即当=1时,等号成立，2525、所以4三二，所以4的取值范围为 u，+8 .64L64229,（山西省吕梁市2022届高三下学期开年摸底联考）已知椭圆G二+=1（。/?0）的左，右焦点分 a lr别为E，工，点夕为椭圆短轴的一个端点，且西瓯=0际+瓯| = 2友

9、.（1）求椭圆。的方程;（2）直线/：、&-2y = 0与椭圆。交于弘N两点，P,。为。上两点，且直线PQN,求四边形物W0面积的最大值.【解析】（1）设椭圆的半焦距为。，由瓯瓯=0,得。=。.又|丽+瓯| = 2血=26,得b = O又。2=/+。2 由解得/=4,从=2,22所以求椭圆。的方程为土 +匕=1.42母或1母或1x = a/2y/2x-2y = 0 r（2）联立2 得1+= 1y142不妨取M1）, 7V（-V2,-1）, plij|M7V| = 2V3,设直线Q yy =x + m联立，2 2 2 得f +血如+/2 一2 = 0 ,二+二=142A = 2m2-4（/7？-

10、2）0,即 （0 v / v 2）,则相=,（4一）（2 + /）2 = 一, / 一2 +8/ + 8 , 22设_2/+& + 8,贝上广（。=一2/一6+8 = 2 1）（/+4. + 4）,易知当0/o, /W单调递增，当1/2时，/（。2 T联立联立X 一了=得Q尸）/+2质_3 = 0, y = kx-1.设NG2,%），则%+%=-Rr，2 一%2-42 W0, = 4%2_4、（2-公卜（一3）0,即公 2,3八/. MN = Jl + 严 + x2）2 - 4x,x2/. MN = Jl + 严 + x2）2 - 4x,x2J1 + /2 2亚J3 %2k2-2 MP QN

11、MP t QN PQ、_MP + QN + PQ、_MN1瓦 瓦一PQ +PQ PQ PQJ+k2 .2后,3 k2工k22-1 = V3-2 -1 .乂。Wk22，13 /3， 0y/Sk2 1 2得(3 + 4%2)+8 4 21+4左212 = 0,T+T-1,8攵 26k贝14+/=一7，% + %=%（4+/+2）= 同理可得%+%=-3,%+%=一马.因为M, N分别为弦43,。的中点，所以“所以“4k2 3k 、3 + 4/3 + 4公,3k2+4 3V+4J所以想闸=4山+1），反3，/+i3 + 4/F、N二? 卡所以S4RMNIa=5 忻网伊+1）（3 + 4 阴（3/+4

12、）轴（“） 1 1艮12左4+25左237 0,艮12左4+25左237 飞=0, y =4x4由题意可知 = 1一%（%-依）=/公一为左+ 1=。,设两切线的斜率分别为人义，则仁+心=总入右=, 玉）工0设斜率为占的直线对应的切点为尸&,*）,斜率为&的直线对应的切点为。（七,%），k方程下7 + %的=。的根尸因此“二十%=小于是尸不了，。二，厂k.2(12由M/所得,2 %k +k 2化简得2、一黄而肛则直线。尸的方程为2%fy + 2x=。，点M到直线。P的距离为1=4)-y； | + y；，QP =甘kl)、2+、22_2_、2k k?)114-k、k2= J（y；4x）（y；+4

13、）,则MPQ的面积为乙乙1 2因为点加（）,贝），/ 。在椭圆上，即）;o =一一耳1 1 2 、因为y；-4/ =-尸；-4%+彳在-层,0上单调递减，4 3 L v3 728当/=。时，、；一4九0=，当*。=一方时，（-4九0）2=耳，198所以 5 V -4x0，因此（巾向噜，所以络5.（半， yJ103因此&MPQ面积的取值范围为183所以，Spab% -4%也;+44_4%=1_(%+4)2_4%=_乂_12%_15 = _(% + 6)2 + 21,12 L由已知可得54先 03,所以，当先=-5时，P43的面积取最大值一X 202 =20 2【方法技巧】圆锥曲线最值问题的求解方

14、法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何法，即通过利 用曲线的定义、几何性质以及平面儿何中的定理、性质等进行求解；二是代数法，即把要求最值的几何量 或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.二.直线斜率的范围【例2】(2016年新课标2卷)已知椭圆E: 土+乙=1的焦点在不轴上，A是E的左顶点，斜率为k (k t 30)的直线交E于A, M两点，点N在E上，MANA.(1)当 t=4,|A|=|AN| 时，求AMN 的面积；(2)当21AMi =|4V|时，求k的取值范围.22【解析】(1)设则由题意知必。，

15、当,=4时，的方程为二十二=1, A(-2,0).7T由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为丁.因此直线AM的方程为 =X + 2.4221 n )将 x=y - 2代入 3 + q = l 得7y212 = 0.解得 y = 0 或 丁 = 7，所以 y =.1 12 12 144因此AAW的面积S.amn =2x xX=.2 7 749(2)由题意/3, k0,将直线AM的方程y = Z(x + J7)代入土 +工将直线AM的方程y = Z(x + J7)代入土 +工=1 得(3 + tk ) x? + yttk x + r kI 3/ 0.由9)=煞3 + tk2故 AM = X+“

16、 Jl + 22由题设，直线AN的方程为y = +故同理可得an =竺曲)k3k2+t由 2|AM|=|4V| 得/ 即(%3_2),=3%(2% 1).当攵=蚯时上式不成立，因此因此”3等价于号产=罗0k 20_即由此得J -小或”解得蚯女2.KZ/t - Z U【方法技巧】解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面（1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.（3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.（4）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范

17、围.利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.匕0）左、右焦点分三.结构不良问题【例3】（2022届高三数学新高考信息检测原创卷（四）已知椭圆C: 别为月，.给出下列条件：椭圆C过点（0,1）,且离心率e = ；椭圆C过点），孝J,且玛（1,0）；焦距为2,且离心率62（1）在以上三个条件中任意选择一个，求椭圆。的方程,注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（2）在（1）的条件下，若直线/：y = Mx2）与椭圆c交于点”，N ,且和+原训=。，求女的取 值范围.【解析】选，：椭圆C过点（0,1）, = i,b2 +c2 = a2 c1 =

18、 I2 1,= 1, a2 = 2 ，2椭圆。的方程为土+ y2=i；选，.椭圆c过点卜，日选，.椭圆c过点卜，日1 1 - 1 a2 2b2,* b1 + c2 = a2 91 = a2 b2 9 / a2 = 2 9Z?2 = 1,丫2椭圆。的方程为二+丁=1；2选，V 2c = 2, ：.c = , 9： e = , =立，/=2, b2=l,2 a 2，椭圆。的方程为：+ 丁=1.y = k（x-2）,（2）联立f得0 + 2/+ g攵2_2 = 0,万+9=1,由 A = 8（l 2左2）。，得曰%等.设Ng%），则有%+=77，2 =771 . 1十乙K1 I乙K%巴+左02=0,

19、且6（1,0）, .-.4+77 = 0,.）（%2）+ 左（二2）=0玉 一 工2 - % Xo I（1 1 ）当左=0时，等式成立；当ZwO时，2- + -=。，Ui-1 O/、Gk2 -4 242整理得2%一3（%+电）+ 4 =。，得、 ：_ + 4 = 0.、一）1 + 2/ 1 + 2/（b可知上式恒成立，故直线/的斜率上的取值范围是一半，手. 【方法技巧】结构不良问题，需要仔细审题，在各种选择当中选一个自己擅长的，或认为更有把握的求解.【演练提高】221.（辽宁省沈阳市大东区2022届高三下学期质量监测）如图，已知椭圆C：3+匕=1的左、右焦点为月、 CT 2F?,左、右顶点分别

20、为4、4,离心率e = YI, 为椭圆。上动点，直线AM交y轴正半轴于点4直 2线4M交y轴正半轴于点夕（当必为椭圆短轴上端点时，4反重合）.（2）若函=3诟，求直线M4的方程;（3）设直线M4、A4的斜率分别为占、攵2,求匕十42的最大值.【解析】（1）因为椭圆的离心率为6 =立，故 =交即 = _L, 2 a 2 a2 222故/=4,所以椭圆的方程为： +匕=1.42（2）设（x。，%），因为直线A交y轴正半轴于点4则与工2,儿。,又 AM : y =又 AM : y =(x + 2),故 A 0,2%、“0 + 2,MM : y =)工0 _ 2（x-2）,故小0,一I因为次=3砺，故

21、言r3xa,所以xr所以为邛,V6故叫二土V6故叫二土(% + 2)=日（3）由（2）可得占=Jo/ 一2川J k -XV.一-0% + 2Xq 2 Xq + 2 拓 - 4因为。先4近，-72 ,故匕+22的最大值为- %2 .（2022届高三数学新高考信息检测原创卷（三）已知双曲线的焦点在不轴上，中心在原点，离心率为逆,3（1）求双曲线的标准方程;（2）双曲线的左右顶点为A, B,且动点。（），。（&-冷在双曲线上，直线3c与直线A。交于点P, M（-V2,0）, N（友,0）,求战.向v的取值范围.22【解析】设双曲线的标准方程为十方=1（。力。）,61 -1屋一屏联立C联立C2=/+/

22、,得=3,廿=,所以双曲线的标准方程为二-y2= c 2石3、a 3（2）已知。（佻），。（mf）, A（-V3,0）, B（V3,0）.当 2 = 6时，动点P与点A, 5重合,当 zw6 时，直线 AO：y = (x + G),直线 BC：y =-上后1一6), 一73 -m、/m-y/3 x /2联立两直线方程得V =-(-3). 212又因为2 /?=1,即_3/=3机2,所以/=_卜2_3),即土+丁2=1.33V 73f T r f f 、又 PM PN= PO+OM7f T r f f 、又 PM PN= PO+OM7(T - )PO-OMPO - OM=PO -2,且所以俞.丽

23、（一1,4.已知抛物线G V=4x的焦点为区 直线/： y = 2x + 与抛物线。交于4夕两点.（1）若。=-1,求E4B的面积；（2）若抛物线。上存在两个不同的点机N关于直线/对称，求”的取值范围.【解析】（1）抛物线C：V=4光的焦点为/（1,。），q = 1 时，直线/：y = 2x-1,y = 2x-91联立2 4，可得f-2x + ： = o,y =4x4设 A(玉，), Bx外)，则 % +=2 , x,x2 =；.= J + 2 (% +&)2=m4m=岳，点F到直线l的距离距离cl =与：0-4=乌, V？TT 5.E45 的面积 S =|A8h/ =xVi?x = . 22

24、52（2）点M, N关于直线/对称，直线MN的斜率为-；,为）， N6,为）， N6,，可设直线MN的方程为丁 = -：% +根， 乙,点关于直线/对称，加的中点（2根+ 8,-4）,在直线y = 2x + cz上,J-4 = 2（2m+ 8） + 4,得a = -4m20, Vm-2, ：.a0）,直线/:x = 2与抛物线。交于点（1）求的值.（2）已知点A（-2,0）,过抛物线。上一动点P （点。在直线/的左侧）作抛物线。的切线分别交40,AN于点。，E,记aMDP , NEP的面积分别为5，邑，求5+Sz的最小值.【解析】将2代入抛物线方程产=2%，得丁=4，即尸2），由|脑V|=4,

25、即4赤=4,解得P = L（2）设点产（2,2。，Ze（-lJ）,设直线座的方程为x = m（y 2f） + 2，将x =帆（y _2。+ 2t2与抛物线方程V = 2x联立，得到y2-2m（y-2，）-4*=0 ,由 A = 0,可得2 = 2/,即直线座的方程为2ty = x+2t由已知得直线4的方程为x- 2y+2 = 0 ,将座的方程与4的方程联立得如=，+1 ,同理可得力 = - 1,易得 S.MN =MNX4 = 8 ,AD ? + 1由 AM = 2AE _-tc1 _r则72 = =，所以Sde = 2（1t2）,AMN 4而 S*=；x4（2 2 巧= 4（1）.故 S +S

26、2 = SfMN - S&ADE - S4PMN = 8 - 60-产）=2 + 6/ 2.故S+S2的最小值为2,此时 = 0.4 .（浙江省十校联盟2021-2022学年高三下学期开学联考）如图，已知点P在半圆Q：M+（y + 2）2=4（y0）的两条切线，切点分别为儿B,直线仍BP, /夕分别与x轴交于点弘N, T,记77VB的面积为3，的面积为S?.（1）若抛物线C的焦点坐标为（0, 2）,求夕的值和抛物线。的准线方程:S（2）若存在点R使得U = 8,求o的取值范围.【解析】（1）日=2, = 4 .准线方程为直线y = -2.（2）设A（x，yJ,过点A的切线方程0：%x=p（y+

27、yj，于是加五,0、2 )过点B的切线方程工=（ + %），于是N（g,。点（勺,九）在两条切线上，所以石 %0 =，(% + %) =(+%)菁/、 、2亏菁/、 、2亏% +2于是丁% (% -x2)2 x+w 2(斗+%2)TN = Ix2 (%j -x2)2 %+w2(%+)由a ；网.闾由a ；网.闾=8 ,所以=2%./2、于是点尸大L，点u的轨迹方程为I 2 p）问题转化为抛物线与半圆。：f+（y + 2=4（y2）有交点.44记无）=%，则/（2）=x4 0,PP角牟得：0p匕。）的离心率为；，短轴长为26, 直线,与椭圆。交于4夕两点.（1）求椭圆。的标准方程;（2）若线段A

28、8的中点为只。为坐标原点，当AQ5面积取最大值时，求线段。尸长度的最小值.c 1【解析】（1） 离心率e = _ =I.设a = 2c =:,则（6）2+产=（2力2,.“2=1. a 279/=4,=/_。2=4 1 = 3, 椭圆的标准方程为 +二=1. 43（2）当直线，的斜率存在时，设其方程为 = + ?.联立直线方程组2X一 +4y2 31消 y 得3/+4（京+ m）2 -12 = 0 ,即（3 + 4-）12+8/771V+4/一12 = 0 .y = kx + m.设4（3,其）,5（孙），由韦达定理得玉+=8km4m2-12 S.aob = 11rn|x2 -x,| = |m

29、|7（i+2）2-42 =m S.aob = 11rn|x2 -x,| = |m|7（i+2）2-42 =m A W-12-4-3+ 4攵 2斗9-3/+12攵2=逋粤 3 + 4 攵 23 + 4 公斗9-3/+12攵2=逋粤 3 + 4 攵 23 + 4 公,3 + 4/一/=2百.m23 + 4公（3 + 48）2 ：.OP=（2k2十3 V12m J4/92m2-39i = rrr 4m2 nvH74m-2-94m-33V2m当m 时,S取得最大值道，此时2疗=3 + 4/.V2m当m 时,S取得最大值道，此时2疗=3 + 4/.=3 + 423, A I 0P|2 2- = -2x3 2当直线）的斜率不存在时，设A（2cosO,Gsin。），则3（2cos。,sin。）.= 2/3sin6cos= V3sin20,即当8 二1时，493的面积取最大值6.1y 尤 _|_ yyy联立， 2,整理可得（4根+ 16 + 4/=0,y1 = 4x由 = （4机+ 16）2 -16m2 0 ,可得加一2 ,% + M =-二(七 +/) + 2 加=8故MN的中点为（2根+ 8,-4）,3 + 4H 2-8km 4k1（、八 6m 3又+%=E = 一获乂+%=3+%2）+ 2根=由二.尸一