专题07 圆锥曲线中的定值问题（解析版）.docx

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1、专题7圆锥曲线中的定值问题一、考情分析求定值是圆锥曲线中颇有难度的一类问题，也是备受高考关注的一类问题，由于它在解题之前不知道定值的 结果，因而更增添了题目的神秘色彩.解决这类问题时,要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻 求定值的“不变”性,用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱,这样可 将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口.同时有许多定值问题, 通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索.二、解题秘籍（一）定值问题解题思路与策略定值问题肯定含有参数，若要证明一个式子是定值，则意味着参数是不

2、影响结果的，也就是说参数在解 式子的过程中都可以消掉，因此解决定值问题的关键是设参数：（1）在解析几何中参数可能是点（注意如果设点是两个参数时，注意横坐标要满足圆锥曲线方程）（2）可能是角（这里的角常常是将圆锥曲线上的点设为三角函数角的形式），也可能是斜率（这个是最常用的，但是既然设斜率了，就要考虑斜率是否存在的情况） 常用的参数就是以上三种，但是注意我们设参数时要遵循一个原则：参数越少越好.因此定值问题的解题思路是：（1）设参数；（2）用参数来表示要求定值的式子；（3）消参数.2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略求代数式为定值.依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化

3、简即可得出定值；（2）求点到直线的距离为定值.利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；（3）求某线段长度为定值.利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.9【例1】（2023届湖湘名校教育联合体高三上学期9月大联考）已知椭圆。:二+产=1,6为右焦点，直线 2/:y = x-1）与椭圆C相交于A, 8两点，取A点关于x轴的对称点S,设线段AS与线段5s的中垂线交于 点。.当，=2时，求|Q制；当，工0时，求铝是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由.AB求椭圆E的标准方程；如果。尸是。加、。的等比中项，那么?是否为常数？若是

4、，求出该常数；若不是，请说明理由. k22【解析】（1）椭圆:二+与=1的右准线为直线/,动直线 =近+加交椭圆于两点，当A零点分别是 cr ZrZ7 h椭圆E的有顶点和上顶点时，则4（。, 0）1（。,/）, （不R，因为线段A3的中点为射线OW分别角椭圆2 212=1.2a - 15c丫2（2）解：把y = +m代入椭圆E：L + V = i,可得（5/+ 1）工2+1。2辰+ 5m2一5 = 0,可得10km10km5m2 - 5X. +% =-7，入1%2 =一；1-5 公+ 1 25 公+ 12m,则町+/ =左（七+%）+ 22=5公+，所以与 =5 km5 km m5左2+15/

5、+1），所以直线aw的方程为y =-X，5k1y =xSk2，可得其X 21+ V =125k251 + 1,因为。P是。15的等比中项，所以OP2=OM.OQ,可得焉=岛|,气25 mk2(5尸+ 1)又由25k225 mk5k2+1 - 2(5/+1)解得m = -2Z ,所叫=2此时满足所以誉为常数2所叫=2此时满足所以誉为常数2（六）与定值有关的结论1 .若点48是椭圆C：22上关于原点对称的两点，点尸是椭圆C上与AB不重合的点，则KpA KpB _9a2.若点A乃是双曲线C：22二一二二1（0力0）上关于原点对称的两点，点尸是双曲线。上与不重合的 a b点，则 kpA kpB点，则

6、kpA kpBa2223.设点P（w）是椭圆C：点+去二八匕。）上一定点，点A，B是椭圆C上不同于P的两点，若2bm%幺+ % =。，则直线A3斜率为定值一-（n W 0）； an224.设点P（w）是双曲线C：4.设点P（w）是双曲线C：，我=1（。0/。）一定点,点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若kpA+kpB =0,直线AB斜率为定值-(n W 0)； cm15 .设点P52M是抛物线C： y2=2px（p0）一定点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若%+%=0,直线AB斜率为定值-2（ W 0）. n%22.设A民C是椭圆/ + * = 1（。匕0）上不同3点,B,C关于x轴对

7、称，直线AC,BC与x轴分别交于点M.N OMON = a2.22- = +0B cr- = +0B cr6 .点48是椭圆C：斗目”,。）上动点Q为坐标原点，若Q4_LOB,则 er b0到直线AB为定值）7 .经过椭圆。2/+Q2y2=。2 （ab0）的长轴的两端点Al和A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于Pi 和 P2,则 |P4I|P&I=.X2 y2.过椭圆一7 + * = 1 （ab0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x cr b轴于R则焉3X2 V28 .点P为椭圆一r +匚=1（。0/0）（包括圆在内）在第一象限的弧上任意一点，过P引x轴、y轴的

8、平 a d一b行线，交y轴、x轴于M,N,交直线y =尢于Q,R,记AOA/Q与AONR的面积为，S 一则: a【例9】（2022届上海市黄浦区高三一模）设常数相0且椭圆:X2m2+ 丁=1,点。是上的动点.（1）若点。的坐标为（2,0）,求的焦点坐标;（2）设/% = 3,若定点A的坐标为（2,0）,求处川的最大值与最小值；（3）设机=；,若上的另一动点。满足（。为坐标原点），求证：。到直线PQ的距离是定值.丫2/、【解析】（1）椭圆： + y2=l,点2的坐标为（2,0）, m: m = 2,c = C,r的焦点坐标为；（2）设尸（x,y）,又A（2,0）,22由题知春+9=1,即y2=l

9、_99.,|PA|2=（-2）2 + /=（x-2）2+l-y = -、24J又3 0,由OP JL OQ可知加.加=0,即%尢2 + X% =。,X|X2 +（3 +2 + /） = ,即（1 + 攵+ 虹（X + x2 ） + /=。,2（1 +k2）.匚二+ .二 +/=0可得1 +42=5产,满足人0, ）4 + 224 + 公 0到直线PQ的距离为d = -3= = g为定值;J1 +攵 25当直线尸。斜率不存在时尸，OQ,可得直线方程为 = *,。到直线P。的距离为咚 综上,0到直线PQ的距离是定值.三、跟踪检测(2023届江苏省南通市海安市高三上学期质量监测)已知椭圆E：5 +，

10、= l(ab0)的离心率为孝,短轴长为2.(1)求E的方程;过点加(T,0)且斜率不为。的直线/与自左向右依次交于点3, C,点N在线段上，且过点加(T,0)且斜率不为。的直线/与自左向右依次交于点3, C,点N在线段上，且MCNBNCP为线段3c的中点，记直线。尸，QV的斜率分别为尢，Q 求证：K七为定值.【解析】(1)由椭圆E： : + / = l(ab0)的离心率为正，短轴长为2, 可知 =立,2人=2 ，则1一与=2,./=4 ,。2a2 4无2故的方程为上+尸=1；4(2)证明：由题意可知直线/的斜率一定存在，故设直线/的方程为p = Ax+ 4),设设, y),。(%2, %)，N

11、g，M)，尸(玉)，为)，2厂 21F V = I联立联立4,可得(4/+1)_?+32心:+ 64%24 = 0,y - Z(x + 4)A = 16(1 - 12Z:2) 0, /. 0 F 0 , gp 42-m2-l0）的焦点为R斜率不为0的直线/与抛物线C相切，切点为4当/的斜率为2时，AF =10.求p的值;平行于/的直线交抛物线。于9。两点，且/胡。=90。，点/到直线与到直线/的距离之比是否为 定值？若是，求出此定值；否则，请说明理由.Y2【解析】（l）由Y=2py,得丁 二 2P令一=2,贝ljx = 2p, P即点A的横坐标为2，所以其纵坐标也为2p, 故MF| = 2p

12、+ : = 10,所以 =4；(2)由(1)得f =8y设直线BD的方程为y = kx+m（k w 0）,设直线BD的方程为y = kx+m（k w 0）,B X，T ,D，8 )由 ZBAD = 9Q 得 88 88 = 7，否一玉）X2 X0即 & +$)(W +x0) = -64,即 xx2 + x0 (x, + 9 ) + x： = -64，由（i）知 y = k=今, = 4Z , y = kx + m , ,联立 2 o ，消 得丁 -86 8/72 = 0,厂=8y则 X + %2 =瓯中2 = m，所以-8帆+32r + 16尸=-64,所以根=6攵2+8,/:丁孚。）+ ,=

13、依一2&2,设F到直线/和直线B。的距离分别为4,4 ,则由/ 3D得,则由/ 3D得,4 _ |m-2| _ 6k2 +6d2 - 2 + 2公 一 2/+2所以点尸到直线BD与到直线/的距离之比是定值，为定值3.4. （2023届江苏省百校联考高三上学期考试）设厂为椭圆C： 土+ 丁=1的右焦点，过点尸且与x轴不重 2合的直线/交椭圆。于A, 5两点.当旃=2雨时，求同； 在X轴上是否存在异于尸的定点Q,使g为定值（其中勺A,勺3分别为直线QA,。3的斜率）？若存 在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设直线/的方程为1=冲+ 1, A（x2J，3（%,%），x = my+

14、 9-联立元2+2v22得1 +2）y +2my-l = 0,A 十乙）一乙2m x+%=- m +2又因为乔=2丽，所以又因为乔=2丽，所以1/n +2% = -2% 2 m V143a/2 T即同邛（2）假设在x轴上存在异于点尸的定点。（，,0月wl）,使得答为定值. Kqb设直线45的方程为 =药+ 1, -2 厂 2 _1联立|了 +，=,得（苏+2）9 + 2枢y 1 = 0,x = my+ 2Z 1则y +凶必=，所以y+ %=2机x%.m 4- 2nr + 2y所以豆=百一=y （-，）=y （2y2 + 1-，）=，盯1%+（1）%=2m%+2（17）必=（3-2” + % 、

15、kQB %,（现一，）2（，町+1-），孙+（1）% 2myiy2+2（-t）y2 必+（3-2，）出x2-t要使曜为定值,3-2r _ 11 3-2t解得1 = 2或，=1 （舍去），此时M = -1 Kqb故在1轴上存在异于尸的定点。（2,0）,使得g为定值.6.（2022届湖南省长沙市宁乡市高三下学期5月模拟）已知抛物线G：V=4x的焦点与椭圆E:22点+方=1（。/70）的右焦点尸重合，椭圆后的长轴长为4.过点/且斜率为Z的直线/交椭圆于两点，交抛物线G于M,N两点，请问是否存在实常数人 使2 t砌+所为定值？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由.【解析】（1）因为抛物线G：V=4x

16、的焦点为（1,0）,所以c = l,又。=2,则A2=/_c2=3,22故椭圆E的方程为：上 +上=1；43（2）设 A（不X）、加（玉，）、0”），设直线/的方程为y = a（x-1）,与椭圆E的方程联立2,所以轨迹为椭圆，且4 = 2,。= 1,所以 2=3,22所以轨迹后的方程为：工+工=1.43（2）由题知：4（一2,0）, 4（2,0）,设。（4,。，（不 x）,刈孙 必）所以Qb方程为：y = Xx + 2), QA2方程为：y = -(x-2), 02联立方程：联立方程：/54-2/18/、27 +/ 27 + 打丁=曾+2）22，可以得出M：二+ 匕=143同理可以计算出点N坐

17、标:，2*-6 -6/、3 +*3 +匕当MN存在，即产。9,即/W3时，左MV =6z(-9)【解析】（1）设4（石方）1（孙），线段河的中点坐标为（如，），联立得x2+2y2-2 = 0.y = 2(x-l)9消去y可得:16%1 + X2 =,9工2-16冗+ 6 = 0,所以， （oXlX2 二，Q2所以与二2,代入直线A3方程，求得加=-%， y9因为。为ABS三条中垂线的交点，所以MQ_LA8,91（ Q 有女例。K8 = -1,直线MQ方程为丁 + = -7* X- 44 A令 y = O,q=A，所以。,0 .25由椭圆。：3 + 丁=1可得右焦点（1,0）,故|。耳| 二不

18、29（2）设AGj）,8%,%），中点M坐标为（为,坨）.上+y2=lb0）的左、右焦点为耳，F2,且 a b左焦点坐标为卜血，0）, P为椭圆上的一个动点，/耳2人的最大值为求椭圆M的标准方程；若过点（-2,-4）的直线/与椭圆M交于A, 3两点，点7V（2,O）,记直线NA的斜率为尢，直线NB的斜率为网，1 1 证明：1+厂=1 K k2【解析】（1）因为左焦点坐标为卜顶,。），所以c =收，当点P在上、下顶点时，/耳尸居最大，又/耳尸乙的最大值为所以 Z? = c = V2，由 / =从+。2 得 2 =4, 22所以椭圆M的标准方程为工+工=1;42（2）当直线/的斜率为。时: 直线/

19、的方程为丁 = 7,2直线y = Y与椭圆上 +工=1没有交点，与条件矛盾，42故可设直线/的方程为 = 7期+，x = my联立直线/的方程与椭圆方程可得，Y 2,一+ L = 142化简可得（根y + /+2y2=4,所以（2? +2）V +2mZx + Z2 -4 = 0,由已知方程（疗+2）产+ 2加x+，-4 = 0的判别式A = 4所产- 4+2乂/一4）= 16而一8+320,求椭圆C的标准方程;又直线x = /殁+，过点（2,y）,所以_2 = Ym+，8所以7 m1 x, -2 x? -2 4n所以厂+厂 =+ =一 .k、 k2 x y21 + 4m因为直线/过定点(一2,

20、-4),所以根+ = 一：代入;+ ；，11 x, - 2- 241 + 4m 1得一+ = + =1.k、 k2 y y2 1 + 4根 1 + 4m所以7 m1 x, -2 x? -2 4n所以厂+厂 =+ 0)的长轴的两个端点分别为 -8m + 2y2 = T (x 一 2).联立直线/的方程与椭圆方程，得(x2)2+2/=-4(x2)根(x 2)+ 。, 即(l + 4/%)(x2)2+4(x2)y +2y2 =0,，九2丫2 2、(l + 4m)-+4n -+2 = 0, V y ) y )M为椭圆。上除A, 3外任意一点，直线A/交直线x = 4于点N,点。为坐标原点，过点。且与直

21、线3N 垂直的直线记为/,直线8M交y轴于点P,交直线/干点Q,求证：步器为定值.【解析】（1）由己知。=2,又 C = B, c = B 所以=？ = 1，q 22椭圆标准方程为土+ 丁=1；4r2（2）设ywO,则才+ ；=1, x：+4y：=4,直线AM的方程为P =4;（x + 2）,令工=4得 =且、，即N（4, 粤）， 为 + 2西 + 2玉 + 26y_ X +2 _ 3 y ,BN _ 4-2 不+2. m + 2X + 2I .L BN,勺=，直线l的方程是y - i x，M3y直线的方程为 =/力（-2）,令x =。得y = -21,即p（o,一0、）， x-2Xj -2X

22、j -2M + 23y,oo2（%+2）由，因为；+44=4,故解得 _2（百+2）,即。一6,二一尸7（d x i y JI %-2grp.竺二XPXb = |Q2|1以 |PQ|q/卜6-03 10.（2023届湖南师范大学附属中学高三上学期月考）已知A（-20,O）,3（2夜,0）,直线夕4夕3的斜率之积3为-丁,记动点P的轨迹为曲线4求C的方程；3直线/与曲线C交于,N两点，。为坐标原点，若直线OM,ON的斜率之积为-证明：MON的面4积为定值.【解析】设P-）,则直线的斜率原直线总的斜率kpB =二垃（2返）,二 y y 二），= 3-x + 2及 x-2V2 -x2-8- 422化

23、简得工十匕=1。2血）； 86y = kx + m,联立V 2+ = 186（2）直线/的斜率存在时，可设其方程为 =+加, 化简得（3 + 4%2）入2+87n+ 4 m 2-24 =。则 二 （8切2）2 4（3 + 4攵2）（4m2 _ 24）= 48（88 + 6 M） 0 ,8km 4m4k之 + 3g 4k2又到9的距离=舟=羌奈Srr) s 1 , w 1 4V3a/17F 43 + 4/r-所以S.omn =彳I MN I d =彳-一尸 =213 ,8km 4m4k之 + 3g 4k2又到9的距离=舟=羌奈Srr) s 1 , w 1 4V3a/17F 43 + 4/r-所以

24、S.omn =彳I MN I d =彳-一尸 =213 , 2 g 4k2Jl + %2当直线/的斜率不存在时，可设M（Xo，%）,N（x。,%）, - 242+L森病5=有淳所以空二的+）（生+“） xx2XjX?k2xx2 + km(x + %) + 4xx24m2k2 -24k2 -8k2m2 +3m2 +4k2m2=3 + 4 公4m2 - 243 + 4/-24公+3/ _ 3 4m2-24 4化简得=4F+3Jl + / j48(8+6-/ 叫3 + 4/为定值.Jl + 公 “F + 3 _ 4凤i + /贝-一色i峙+苓解得X； =4,y； = 3 ,此时 Sqmn =2xlx

25、|x0)；0| = 2 ,综上，OMV的面积为定值2TL11. （2023届贵州省遵义市新高考协作体高三上学期质量监测）已知点耳是椭圆C:二十反=1的左焦点，Q 43（ 是椭圆。上的任意一点，A -J .12 y求|Q德+|8|的最大值； 过点K的直线/与椭圆C相交于两点,N,与y轴相交于点P.若布=如画,丽=而，试问 + 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【解析】（1）由椭圆方程知：q = 2, b = M，c = Vz2 -b2 = 1 则6（T，。），鸟（1,0）,由椭圆定义知：|郎|=2一|。闾=4一|。阊，.|Q耳|+|24|=|3|-|。用+4,vQA-QF2/33

26、=1.63（2）由己知，不妨设5（%），则A（f, C（xo,O）,所以女=&, 3 c所以女=&, 3 c= p 所以儿：y二5（一玉），乙人0乙Z代入椭圆E:工+父=1的方程得：（2 +公卜22%公工+女2片12 = 0, 63/、2r k22r k2设。（与，%），则f+而=张，即而=釜+与，, k 2x（）k2所以=5二二%一”。即。x（）k 玉） ）7F 0,27F rX左3玉工_依。所以 kpD = 2：=-, 即 kBDk = - ,27F+Xo-XoTT 即也即NABO为定值一.214.如图，点/是圆4：/+（ + 1）2=16上任意点，点5（0,1）,线段mb的垂直平分线交半

27、径AM于点P,当点M在圆A上运动时,（1）求点P的轨迹E的方程；（2）伏2/x轴,交轨迹后于。点（Q点在V轴的右侧），直线/：x = my +及与后交于C,。（/不过。点）两点,且直线。与直线。关于直线对称，则直线/具备以下哪个性质？证明你的结论？直线/恒过定点；加为定值；为定值.【解析】（1）如图，由。A方程，得AQD,半径 =4,/ P在的垂直平分线上,，PM = PB,所以|以| + | 03| = |以| + |PM| = |AM|=4| AB|=2,:P的轨迹E是以A ,区为焦点，长轴长为4的椭圆，由 2a = 4,则。=2, c = 1, = 3,点P的轨迹E的方程为工+二=1.43（2）解：:直线/与轨迹E交于C,。两点，设C3，X），。（%，%）,如图，得?细誓=1,另+%8mn3 + 4m24/一123 +4m2x = my+v 9 公 消工+ = 143整理，得(3 + 4m2)2 + 8nmy + 4n2 -12 = 0,因为CQ与。关于5。对称,8Q/x轴,所以+即0=,。亍1 ,X。彳,42 W彳, 、乙)22AzL+A4 = o33为 一 5 赴 一 J/ % = my1 + ， =+ n,(3、J 整理：2Mxy2 + n-m- (y +