专题11.5 离散型随机变量的分布列（含答案解析）.docx

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1、专题11.5离散型随机变量的分布列(讲)-2021年新高考数学一轮复习讲练测专题11.5离散型随机变量的分布列【考纲解读与核心素养】1 .理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，理解两点分布，理解次独 立重复试验的模型及二项分布，并能进行简单的应用.2 .培养学生的数学运算、逻辑推理、数据分析等核心数学素养.3 .高考预测：(1)考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念及其性质；(2)考查两点分布、次独立重复试验的模型及其应用.(3)离散型随机变量的分布列及其概率分布是高考命题的热点，与离散型随机变量的 数字特征结合命题是主要命题方式.4 .备考重点：(1)掌握取有限个值的离散型

2、随机变量及其分布列的概念及其性质;(2)掌握两点分布、次独立重复试验的模型及其应用计算方法.【知识清单】知识点1.离散型随机变量及其分布列1 .离散型随机变量的分布列(1)随机变量如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母X, y, 3 等表示.(2)离散型随机变量对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机 变量.随机变量的线性关系：若J是随机变量，其中。，。是常数，则也是随机变 量.2 .分布列的两个性质Pi 20 , i = 1,2,；Pi + P2 + .+ =1 .3 .分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各

3、事件概率之和为1可求参数的值.(2)随机变量J所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件P(K2k.)0.0500.0250.010k。3.8415.0246.635【总结提升】L解答离散型随机变量的分布列及相关问题的一般思路(1)明确随机变量可能取哪些值.(2)结合事件特点选取恰当的计算方法计算这些可能取值的概率值.(3)根据分布列和期望、方差公式求解.注意 解题中要善于透过问题的实际背景发现其中的数学规律，以便使用我们掌握的离 散型随机变量及其分布列的知识来解决实际问题.4 .离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意

4、义.(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率.(3)画表格：按规范要求形式写出分布列.(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确参考答案:1. A【分析】根据a,b,c成等差数列，a+b+c=l, c必可解得a,b,c,进而求出P(X=2).2Z? = + cCl 7【详解】由c = ；ab ,得414b = ,则 P(X=2)= 5, J/a-b + c = 12V.c = 一421故选A.【点睛】本题考查根据随机变量X的分布列求概率，分析题目条件易求出.2. B【分析】利用概率的性质列方程可求得。=，根据分布列和期望公式可求出P(X；)、2P(X：)

5、、E(X),从而可得答案.【详解】因为。(1+2+3+4)= 1,所以。二i 347所以 p(x9=2 + 3 = ,210101021P(X4a)=P(X5()2436x64x80x20故有97.5%的把握认为招聘的A、3两个岗位与性别有关.(2) X的可能取值为0, 1, 2,P(x = o)=寻=|, P(x = i)=警糕P(x = o)=寻=|, P(x = i)=警糕p(x =2)=屋=吆砥。95X的分布列为X012P339548951495EX =0xFixf2x =.959595 5点睛：考查独立性检验和离散型随机变量分分布列，属于基础题.的概率.知识点2.常见离散型随机变量的

6、分布列(1)两点分布：若随机变量X服从两点分布，即其分布列为其中则称离散型随机变量X服从参数为的两点分布.其中 = P(X = 1)称为成功概率.(2)超几何分布：在含有件次品的N件产品中，任取件，其中恰有X件次品，则事件X = Z发生的概率为p(x=z) =宅建Z: = 0,1,2,771,其中 m =,且nN.M &N、n,M,N eN*,称分布列为超几何分布列.X01 mP01 小1品, 品(3)设离散型随机变量X可能取得值为毛，z，为，X取每一个值七(i = l,2,的概率为P(X=xJ = Pj,则称表XXxX? Xi pPlPl Pi Pn为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列.

7、有时为了表达简单，也用等式P(X =xj = pj, i = l,2,表示X的分布列.【典例剖析】高频考点一:离散型随机变量分布列的性质【典例1】（2020.陕西高二期末（理）离散型随机变量*的分布列为下表，则常数。的值为（）X01P9cB-C3-8C212 1A. 3 b. 3 c. 3或3 d.以上都不对【答案】B【解析】-c+s-sc-i, 09C2-CC!3rh RrnT/rn 0V3 -8CV1由题可知：故选：B【典例2】（2020.山西应县一中高二期中（理）设随机变量X的概率分布列为则W7T（）X1234P1m12346A. B. - C. D.126412【答案】D【解析】PQX

8、-3|=1)=P(2HP(4)=9%故选。【典例3】（2020防城港市防城中学高二期中（理）袋中装有一些大小相同的球，其中标号为I号的球I个，标号为2号的球2个，标号为3号的球3个，标号为力号的球 力个.现从袋中任取一球，所得号数为随机变量X,若（或=浮）=2,则力.【答案】9【解析】1+2+3+十姓及回由题意可知，所有球的个数为2 ,.J=乌=0.2阳（力+1）B+1由古典概型的概率公式可得2,解得”队故答案为：9.【规律方法】离散型随机变量的分布列的性质的应用（1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值；（2）利用“离散型随机变量在一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之

9、和”求某些特定事件的概率；（3）可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.【变式探究】（2019吉林高二期末（理）1 .随机变量X的分布列如下表，其中b,。成等差数列，且c =则 P(X=2)=()4 A.7（2020.广东高二期末）.设随机变量X的分布列为叱%-2, 3, 4）, 0为常数,则1A. a- - 57B. P(Xg)= 2 10C. P(X4a)=g（2019吉林高二期中（理）.设随机变量X的分布列P（X=i）4 （i = 1,2,3），则P（X N 2）=【特别提醒】.对于分布列易忽视其性质 1+P2+=1及P/。，i = L2,，其作用可用于检验所 求离散型随机变量的分布列是

10、否正确.1 .确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的.2 .利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均 为非负数.高频考点二: 超几何分布【典例4】（2020.北京高二期末）某小组有5名男生、3名女生，从中任选3名同学参加 活动，若X表示选出女生的人数，则=1525A. 7 B. 56 C. 7 D. 7【答案】c【解析】当N2时,当N2时,尸4警卷当*3时,则 P(X*2)=P(X=2)+P(X=3)41+表 3,故选：C.【典例5】（2019陕西高三（理）盒中装有一打（12个）乒乓球，其中9个新的，3个 旧的，从盒中取3个来用，

11、使用完后装回盒中，此时盒中旧球个数是一个随机变量，求 4的分布列.【答案】详见解析【解析】4的可能取值为3, 4, 5, 6p（i=4）=； ，=）a 220Q0 C 21砥=6)=瓦=支此时旧球个数4的概率分布列为43456P12202722027552155【规律方法】1 .随机变量是否服从超几何分布的判断若随机变量X服从超几何分布，则满足如下条件：（1）该试验是不放回地抽取次；（2） 随机变量X表示抽取到的次品件数（或类似事件），反之亦然.2 .超几何分布的两个特点（1）超儿何分布是不放回抽样问题.（2）随机变量为抽到的某类个体的个数.3 .超几何分布的应用条件及实质（1）条件：考察对象

12、分两类；已知各类对象的个数；从中抽取若干个个体，考 察某类个体个数4的概率分布.（2）实质：古典概型问题.4 .求超几何分布的分布列的步骤第一步，验证随机变量服从超几何分布，并确定参数N, M, 的值；第二步，根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率；第三步，用表格的形式列出分布列.【变式探究】（2019淮北师范大学附属实验中学高二月考（理）4箱中装有4个白球和根（根eN）个黑球,规定取出一个白球得2分，取出一个黑球得 1分，现从箱中任取3个球，假设每个球被取出的可能性都相等.记随机变量X为取出的 3个球所得分数之和.2（1）若 P（X=6） = t，求 ?的值；（2）当机

13、=3时，求X的分布列.(2019周口市中英文学校高二期末(理)5 .从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动.求所选3人中恰有一名男生的概率；(2)求所选3人中男生人数自的分布列.高频考点三：离散型随机变量分布列的求法【典例6】(2020.黑龙江实验中学(理)设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3求：(1) 2T+1的分布列；(2)求尸的值.【答案】(1)见解析；(2) 0.7【解析】由分布列的性质知：+ 解得碑= 0,3(1)由题意可知p(2jr+i-i)-p(jr-o)-o.2, PCzsr+i-3)-p(-Y-i)-0A,P(2Z+l-5)P(

14、X-2)-0.1PC2Z+l-7)-P(X-3)0.3, P(2JT+l-9)-P(X-4)-0-3所以2X+1的分布列为:2X+113579P0.20.10.10.30.3(2)P(lZ4)-P(jr-2) + P(X3)+JP(Z-4)0.1+0.3 + 030.7【典例7】(2017山东，理18)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理 暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心 理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评 价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者Al, A2, A3, A4, A5, A6和4名女

15、志愿者 Bl, B2, B3, 84,从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.（/）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含Al但不包含用的频率.（）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.【答案】（/）的分布列为18X01234p142521102?521142X的数学期望是%=2.【解析】试题解析：（D记接受甲种心理暗示的志愿者中包含4但不包含用的事件为则尸QU） = =1Go 183）由题意知X可取的值为:0,12 3,4则C0 1 尸(x = o)=W = _,G 42-尸(x = l)=结i=二C 21Jo X1C3C2 10尸(X = 2)=M

16、=下，产(才=3)=结=二%21因此X的分布列为尸d）=警哈 5o 1X01234P1425211021521142X的数学期望是EX=0xP(X=0) + lxP(X=l) + 2xP(X = 2) + 3xP(X=3) + 4xP(X=4)c 115。1 c 54 1c4221214221212142=0x Fix + 2xf3x f4x = 2.【总结提升】1 .求分布列的三种方法（1）由统计数据得到离散型随机变量的分布列；（1）可设出随机变量匕 并确定随机 变量的所有可能取值作为第一行数据；（2）由统计数据利用事件发生的频率近似地表示 该事件的概率作为第二行数据.由统计数据得到分布列可

17、帮助我们更好理解分布列的作 用和意义.（2）由古典概型求出离散型随机变量的分布列；求离散型随机变量的分布列，首先要 根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概 率.而超几何分布就是此类问题中的一种.（3）由互斥事件的概率、相互独立事件同时发生的概率及次独立重复试验有人次发 生的概率求离散型随机变量的分布列.2 .求离散型随机变量分布列的步骤（1）找出随机变量X的所有可能取值与0=1, 2, 3,）；（2）求出各取值的概率P（X=xi）=pi；（3）列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.【变式探究】6 .随机变量自服从两点分布，且P化=1尸0.8用=31-2,则P（r（=-2）=.（2018陕西高二期末（理）7 .某企业有A、3两个岗位招聘大学毕业生，其中第一天收到这两个岗位投简历的大 学生人数如下表：A岗位8岗位总计女生12820男生245680总计3664100（1）根据以上数据判断是有97.5%的把握认为招聘的A、3两个岗位与性别有关？（2）从投简历的女生中随机抽取两人，记其中投8岗位的人数为X,求X的分布列和 数学期望.参考公式：K2 =其中 n = a+b+c+d.- be(Q + b)(c + d)(a + c)(/? + d)参考数据: