2023届高考复习解析几何微专题——圆锥曲线中的最值范围问题Word版含解析.docx

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1、2023届高考复习解析几何微专题雄曲线中的最值、范围问题(学生版)一、圆锥曲线中最值问题的常用求解方法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几 何法.(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的 最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等.例1 (2022宿州市高三上学期期末)已知抛物线C： 9 =的焦点为F,圆E： (%+1)22+ (y2) =4, M, N分别是抛物线。和圆上的动点，当点M在第一象限且轴时,|MN|的最大值为4.(1)求抛物线C的方程；(2

2、)已知过点方的直线/交抛物线。于P,。两点，且直线LLMR设直线M/与抛物线 。的另一个交点为K,求丽应的最小值.例2 (2022青岛一模)在平面直角坐标系中，圆。交x轴于点F2,交y轴于点8,Bi.以3,历为顶点，Fi,尸2分别为左、右焦点的椭圆,恰好经过点(1,夸|(1)求椭圆的标准方程；设经过点(一2,0)的直线/与椭圆后交于N两点，求正2N面积的最大值.5、已知双曲线三=1,斜率为-ZWO)的直线/与双曲线的左、右两支分别交于A, 8两点.若直线/过P(0, 1),且P3=3AP,求直线/的斜率依9(2)若线段A3的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为云 求k的取值范围.6、已知椭

3、圆E：E的左顶点为A,上顶点为5点P在椭圆上，且的周长为4+25.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线/： 丫=履十加(左W0)与椭圆交于不同的两点M, N,且线段MN的垂直平分线过 定点G(l,0),求上的取值范围.2023届高考复习解析几何微专题锥曲线中的最值、范围问题(解析版)一、圆锥曲线中最值问题的求解方法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几 何法.(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的 最值，求函数最值的常用方法有配方法、判别式法、重要不等式法及函数的单调性法等.例1 (202

4、2宿州市高三上学期期末)已知抛物线C： 9 = 2外。1)的焦点为F,圆E： (%+1)22+ (y2) =4, M, N分别是抛物线。和圆E上的动点，当点M在第一象限且轴时,的最大值为4.(1)求抛物线。的方程；(2)已知过点尸的直线/交抛物线。于P,。两点，且直线设直线Mb与抛物线。的另一个交点为K,求丽.应的最小值.解：当点M在第一象限且轴时，点M的坐标为P因为圆石的圆心为石(一1, 2),半径r=2,所以 |MN|max = |M| + r=4,所以+(2) +2=4,解得p=2或，(舍去),故抛物线。的方程为)2=4x.(2)由题意知/(1, 0),直线/的斜率Z存在且不为0,设直线

5、/的方程为/、 尸上（xT）,y = k（X-l）,由y=4x,可得 A2%2（23+4）%+3=0.设尸（XI, yi）, Q（X2, ”），则 Xl+%2 = 2+ XX2 = 1.因为直线所以直线MF的斜率为一1.K设 M（X3, J3）, K（X4, 丁4）,同理可得 X3+x4 = 2 + 4M, X3X4=1.故丽.应=（而+或f）.（呼+和）=PFKF+ PFFQ+FMKF+ FMFQ=|所卜|初+ |或f| |阖=（X1 + 1）（x2+ 1） + （汝+ 1）（x4+ 1）=XlX2+xi +12+ 1 +13工4+13+犬4+ 1=8+4卜+或 28+4X21= 16,当且

6、仅当心=套,即k=l时，能应取得最小值16.例2 （2022青岛一模）在平面直角坐标系中，圆。交光轴于点B, Fi,交y轴于点5, B2.以比为顶点，Fi,后分别为左、右焦点的椭圆,恰好经过点（1,啕.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设经过点（一2,0）的直线/与椭圆上交于M, N两点，求/2MN面积的最大值.解：（1）由已知可得，椭圆上的焦点在无轴上. 92设椭圆E的标准方程为，+方=1（人0）,焦距为2c,则b=c,./=/+。2=2，.椭圆E的标准方程为素+奈=1.1又椭圆E过点1,坐)，+=1，解得。2=1.椭圆的标准方程为弓+y2=i.由于点(一2,0)在椭圆E外，所以直线I的斜率存

7、在.设直线/的斜率为鼠 则直线/： y=4x+2),设M(xi, yi), Ng yi).片-%+2),由f 9 消去y得，(1+23)/+8七+8M一2=。.+尸 1,从而X+x2 从而X+x2 8-2 即“2=+2 於-81+2炉MN =W+Z2M -X2 = 2Jl+k卢丁点五2(1,0)到直线/的距离d=：.AFzMN 的面积为 S=MN：.AFzMN 的面积为 S=MNd=3Q(243)(1+23)2令 1+2标=/,贝I01,2),3F=3EL3FI=3 V1FK 当*和片翡引1，2)时，S有最大值，Smax=乎,此时仁士*.当直线/的斜率为第时，可使2MN的面积最大，其最大值乎.

8、跟踪练习V2 X21、(2022.陕西西安质检)已知椭圆方+7=1(泌0)的一个焦点与抛物线f = 8y的焦点相同， 且点(1,加)在椭圆上.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过点(0,3)的直线/与椭圆交于不同的两点A, B,且A, 3与坐标原点0构成三角形, 求A03面积的最大值.解：(1);抛物线物=8y的焦点坐标为(0,2),椭圆的半焦距c=2.7=2, 由题意可知 抄表=1, 、/=从+冷解得 =8, =4,二.椭圆的标准方程为1+Y=1.(2)设点 A(, yi), 3(x2, yi).VA, B,。三点构成三角形，所以直线/的斜率存在且不为0, 则可设直线I的方程为y=kx+3.丁

9、=丘+3, 联立皿+_ 椭圆的半焦距c=2.7=2, 由题意可知 抄表=1, 、/=从+冷解得 =8, =4,二.椭圆的标准方程为1+Y=1.(2)设点 A(, yi), 3(x2, yi).VA, B,。三点构成三角形，所以直线/的斜率存在且不为0, 则可设直线I的方程为y=kx+3.丁=丘+3, 联立皿+_ 消去y整理得(2+F)f+6息+1 =0. 由 A0 得 36F4(2 + 3)0,即 To,.XI +12 =6k2+日1X1X2 = 2 +必， S/OAB =设q必21=0),.：4后一 1 书 42* e+2 = 豆?, 当且仅当P=3,即3=5时等号成立，2/. AAOB面积

10、的最大值为32X-= 2/2.2、(2022咸阳模拟)已知双曲线C：，一条=1(40, Q0)的离心率为隹 且经过A(0,2).(1)求双曲线。的方程；(2)若过点仅2,0)的直线交双曲线。于轴下方不同的两点P, Q,设尸。中点为求4 BOMO为坐标原点)面积的最小值.解：双曲线的离心率为啦，即，也，V2 r2a因为点A(0,2)在双曲线方一*=1上，所以矛=1, a=2,则c=2吸，又/mM+E 所以 czCtb=2.所以双曲线c的方程为5亍=1.(2)易知直线PQ的斜率存在且不为0,设直线PQ的方程为x-2=my(m0)9x2 = my,由 x2得(1m2)y2Amy8 = 0,4一，rl

11、m270,/ = 16m2+ 32(1 -m2)=16(2-/7t2)0,设P,。两点的纵坐标分别为yi, ”，贝，、1+=言，0,-8yi2=-70,I 1 1TT解得设点M的纵坐标为yo,则州=*=产在 21 m“，112m 2f所以 Sz03M=X |OB| X |yo| =/X2X 痴z =j=j-9mm易知函数y=xJ在(1,也)上单调递增，所以拉卜，孚)，所以BOM面积的最小值为23、(2021 .广东省佛山市质检)已知尸为椭圆C：+*=13。0)的左焦点，过原点O的动直一 (线/与。交于A, 3两点.当A的坐标为1, 平时，|。8| =山尸.(1)求椭圆C的标准方程；(2)延长交

12、椭圆C于0,求QA8的面积的最大值.解：(1)由 A(,芈)，得，一i,一平)， J 1 )而|O3| = |3F|.，F(2,0),即 c=2.由, “2 5庐，解得“2 = 5,82=.、/= /+4椭圆C的标准方程为(+y2=l.(2)当直线3月斜率不存在时，BF：此时8 -2,SmabJx 乎 X4 =SmabJx 乎 X4 =当B尸所在直线斜率存在时，设y=Z(x+2)(ZW0),联立y=-x+2)%2歹+产1(1+52)x2+204-202-5=0,设 8(x1, yi), (2(x2,),nt ,-2020F5则为+%2=1T解法 一 ： BQ =y (1 + 2)(xi +x2

13、)24xu2=71+层=71+层2_+ 5880F-201+53=w+修=w+修2后/1+严1+5F又。到的距离d=则A到BQ的距离为求石,.4小，/+M,Fql GF -令 1+5+=/1),I 3/当 7=年时 9 （SQAb） max = y/5.综上，QAB的面积的最大值为小.4、（2021江西五市九校协作体联考）已知椭圆C：泉奈=1（。泌0）过点41,乎），Ai, A2为椭圆的左、右顶点，且直线4E A2E的斜率的乘积为一：（1）求椭圆C的方程；（2）过右焦点厂的直线/与椭圆。交于N两点，线段的垂直平分线交直线/于点P,交直线x=-2于点。，求的最小值.解：（1）依题意有, 点+/=

14、1，因为 4（ 4,0）, A2（Q,0）,也也22所以 kAE= . , kAiE=. ,1十。1a正或221所以= 一5 ，1十。1a 2由解得：层=2,从=1,故椭圆的方程为5+y2=L(2)由题意知直线/的斜率不为0,设其方程为x=/%y+l, 设点 M, yi), N(x29 j2),(2、/+y2=i/联立方程, 2得(加2 + 2)y2+2zyl =0,x=my- 1-2m 1y+”=H，92=行由弦长公式 MN =7 1 + 改(yi +/)24yiy2=y/1 -bm2-=y/1 -bm2-8m2+ 8 I-勿22+1(2+m2)2 22 机2+2, yi+券 m 又/:一-

15、=鬲$,_ I 1 _ 22龙尸=冲尸+1=一年+1 =行,|PQI =W +用2xp =3+/层,PQyj2 2m2+6MM 4 -/m2+ 1PQMNPQMN乎号斗十步坐X2加=2,当即根=1时，阳取得最小值2. LIL，X V I5、(2021 高考全国卷乙)已知抛物线 C x2 = 2y(po)的焦点为尸，且方与圆M： x2+(y+4)2 =1上点的距离的最小值为4.求p；若点。在/上，%,是。的两条切线，4 B是切点，求面积的最大值.解：由题意知M(0, -4), F(0, 圆的半径厂=1,所以|MF|-r=4,即与+41 2A=4,解得 p=2.(2)由知,抛物线方程为一=4y,、

16、X?jA由题意可知直线A3的斜率存在，设A(xi, 1)，5(X2, j),直线A8的方程为 =息+人, y=kx-b,联立得9消去y得a24息-4=0,f=4y,贝I/ = 16产+16/?0 (?=?,所以y=y,则抛物线在点A处的切线斜率为蓝，在点A处的切线方程为y线方程为yx(%xi),即 y=Q一同理得抛物线在点B处的切线方程为了=枭一于,xixiy=ix-X2 XI产旷不X?不9则, XI +x2 x = 2 =2k.XXXI , 尸丁 =-4即P(2Z, -b).因为点P在圆M上，所以4好+ (48)2= i ,且一 1W2ZW1, -5-Z? PALPF. ：. AP - FP

17、 =0, r 22则36十20 L(x+6)(x4)+y2 = 0,3可得2f+9x18=0,解得x=5或%=一6.由于y0,故=|,于是尸岁.(3 5、WJ点尸的坐标是甘/(2)由(1)可得直线A尸的方程是x/y+6=0,点伏6,0).1租+61设点M的坐标是(私0),则点M到直线AP的距离是 A|m+6|于是一2一=1加一6|,又一6W/%W6,解得m=2.由椭圆上的点(%, y)到点M的距离为d,得 2)2+y2=x24x+4+205+因为一6Wx力0),因为它与直线只有一个公共点，所以方程组所以方程组=1,L只有一组解，消去以整理得（2 +。2.2-2小21+32 /庐=0.y=xy3

18、所以 / = （ 一 2小q2）2 4（q2 +2）（3q2 - 42b2）= 0,化简得 2 += 3.又焦点为巧（一1, 0）,尸2（1 , 0）,所以/一2=1,联立上式解得 =2, =L所以椭圆的方程为曰+产=1.则5皿仆=吗=2.若直线PQ的斜率存在，设为k（kb）,则直线MN的斜率为一所以直线PQ的方程为y=kx+k,设 P(xi, yi), 0(x2, p),联立方程得X2 y+y2=l,2化简得(2R+l)x2+4&+2F 2=0,y=kx k.43 则 xi+x2 = 2d+ ,2M2 X，X2=2?+T?所以 |PQ =3+妁xi -%2|y (l+S) 16/4 (222

19、) (2+l)2+1厂 3+1=2也 X2F+V同理可得|MN| = 2gXF+12+F所以ii罗(F+1) 2=4* (2+M)2+1)_/ + 2F+1=4X2F+5?+2=4*伤2/+5F+2)=4X2 4左4+10左2+4（2）若直线PQ的斜率不存在（或为0）时,=4X(：44因为43+5+102左2=1时取等号），所以24R+京+10KG(0, 18，所以 4X（：-）e43+平+10综上所述，四边形PMQN面积的最小值为华，最大值为2.y8、如图，已知抛物线f=y，点A（今B抛物线上y）（91）过点B作直线人尸的垂线，垂足为Q.求直线AP斜率的取值范围;求|明。|的最大值.的点尸（

20、X,x2_l解：（1）设直线AP的斜率为Z, k=解：（1）设直线AP的斜率为Z, k=x 41,1 =XTx+213因为一5x5，所以直线AP斜率的取值范围是（一1, 1）.联立直线AP与BQ的方程q一炉+4后+3解得点Q的横坐标是xq=2 （）+1），( 因为 |%|= +rfx+2 1= 1+3(左+1),/5(左一1) (Z+1) 21尸。1=/1+敏%。-%)=-，所以|以|尸。1= 一 (4一D/+ 1)3.令人%)=一/ 1 )(女+1 )3( 1 %2),x=zy+4,联立方程 “尤+ 2一得(+4)产+8加y+12=0.由 A = 64m248(m2+4)0,得 m212,1

21、?所以？了2=蕨”2=|MA|MB|=q22+ 1|川7川 + 1优|c .12(m2+l)(3 1=(% + DO” 户 病+4 = 1211 许)3339由他212, # 0 5 ,77,所以才%12. m +4 Io4综上，2的取值范围是(苧，12 .跟踪练习1、(2022广东省质检)已知椭圆。的两个焦点分别是(一1,0), (1,0),并且经过点(1,孝).(1)求椭圆。的标准方程；(2)已知点。(0,2),若。上总存在两个点A、3关于直线y=%+小对称，且3命4,求 实数机的取值范围.解：(1)因为椭圆。的焦点在1轴上，22所以设它的标准方程为5+方=15。0).由椭圆的定义得2a=

22、4(1 + 1)2+惇0)+41 1)2+惇0)2=2吸，所以。=爽.因为C=l, 所以从= 2一心=1.因此，椭圆。的标准方程为5+y2=L z 、(2)根据题意可设直线AB的方程为y=x+n,y= x+n联立42 .0,整理得 3X24mx+22 2=0,由 / = (4)24X3(2/222)。, 得层3.设 A(xi,Xi +n), B(X29 -X2n)y则 Xl+X2 =4nIn1 23 , xi X2 3又设AB的中点为M(xo, xo+n),ml X1+ 2/1贝(1 xo2，ml X1+ 2/1贝(1 xo2，一xo-ny由于点A/在直线y=x+m上,所以胃=与+根，得 n

23、3m,代入/3,得9m23,所以一坐加坐.因为QA = (xi, xi + 12), QB=(X2, %2+n2),所以 Q4 QB=2xix2 (n2)(xi +x2)+ (-2)24层一4 428 3(序一4+4) 3/i24/1+8QA QB49 得 324+812,3/一4一40得一n2, 得一 3m。0)的左、右顶点，直线BP交E于点、Q, ZXABP是等腰直角三角形，且的=|初.求椭圆的方程:(2)设过点P的动直线/与相交于N两点，当坐标原点。位于以MN为直径的圆外时，求直线/斜率的取值范围.解：(1)由A5P是等腰直角三角形,得=2, 3(2, 0).r 3 f设 Q，y。)，则

24、由户0=0,r _6xo一亍得4 L”=一予代入椭圆方程得加=i,x2所以椭圆E的方程为，+y2=l.(2)依题意得，直线/的斜率存在，方程设为丁=丘-2.ykx2,联立%产1,消去y并整理得(1+4公)/一16日+12=0.(*)因直线/与有两个交点，即方程(*)有不等的两实根,故 / = ( 16%)248( 1 + 4标)0,3解得网总设 M(, yi), N(xz, yi)9f .6k+x2=TT由根与系数的关系得J12a%2= 1+4-,因坐标原点。位于以MN为直径的圆外,所以 OM,Q/V0,即 xiX2+yiy20,又由 xX2-yy2xX2+(kx 2)(kx22)=(1 +)

25、X1X2 2 攵(XI +x2)+ 4=(1+小品-2竹黑+40,3 解得F4,综上可得会424, 贝|卓左2 或2k0)经过点,1,坐)，Fi,尸2是椭圆。的两个焦点，尸上2 = 2/3, P是椭圆。上的一个动点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若点尸在第一象限，且库访2W/求点尸的横坐标的取值范围.2c=2 5,13解：(1)由题意得1了+方=1,解得。=2, b=l9 c=事, 0,所以02),因为BP=3AP,所以诙=3力,即(X2,券-1) = 3(-XI, 11),X2= - 3xi, 所以)，2=43yi,一必19(43yi) 2(3xi) 2=，XT 2=1， 所以所以= -

26、1, yi=0,即 A(1, 0),(2)若过点8(2,0)的直线交双曲线。于x轴下方不同的两点P,设中点为，求4 BOM(O为坐标原点)面积的最小值.3、(2021 .广东省佛山市质检)已知方为椭圆C，+方=1(。0)的左焦点，过原点O的动直一 ( 215线/与。交于A, 5两点.当A的坐标为1, 平 时，OB = BF.(1)求椭圆C的标准方程；(2)延长8/交椭圆。于Q,求QAB的面积的最大值.“、1o所以 k= kAP= J = 1.(2)设直线/的方程为y=kx+m(kQ).y=kx+m,由 0.n1 , 2km 而一2则 XI 十X2 = 2_己,XX2= 2 2 设线段A3的中点

27、坐标(xo, yo),Xi +x2 kmXi +x2 kmyo=kxo-m=2m2-F所以A3的垂直平分线方程为2m 厂。=2m 厂。=3km (2口3m“28一2,此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为由题可得;5(2F) 2整理得加2 =-,k0.因(2庐)2所以可得 7j+ 2 Zr0,整理得(Q2)(R因一2)0, ZW0.解得060)的离心率为坐，E的左顶点为A,上顶点为3,点尸在椭 圆上，且APFi/2的周长为4+2，1(1)求椭圆的方程；(2)若直线/： 丁=丘+根(ZW0)与椭圆交于不同的两点N,且线段的垂直平分线过定点G（1,O）,求左的取值范围.贝 I b2 = a2c解：（1

28、）由题意知解得=2, c=5,2=1,.椭圆E的方程为W+y2=i.(2)设 M(xi, yi), Ng 闻，弦 MN 的中点 O(xo, yo),y=kx-m,消去y整理得，（1+4）42+8左mx+4帆24=0, =1,;直线/： 丁=+m（攵W0）与椭圆交于不同的两点， ，/ = 646%24（1+4S）（4川一4）0,即汴1+4公,由根与系数的关系得3由根与系数的关系得3_ 8kmXl+X2=-+必24m24X2= i+4 万，则X0Xl+X24km1+4P冲=&。+加=m1+4。m1+4。所以直线QG的斜率为如g=m1 +4后又由直线OG和直线 MN垂直可得一4%加+1+4后山= -

29、 1则m=- 3k ， 代入加2 V 1+4后可得1+4公,即解得上 乎或左乎.故所求的取值范围是一8,一坐+8 .4、（2021 江西五市九校协作体联考）已知椭圆C：1（。0）过点1,乎），Ai, A2为椭圆的左、右顶点，且直线4E, A2E的斜率的乘积为一：（1）求椭圆。的方程；过右焦点厂的直线/与椭圆。交于N两点，线段N的垂直平分线交直线/于点P,交直线l=2于点Q,求做的最小值.5、（2021 高考全国卷乙）已知抛物线C的焦点为凡且方与圆M： x2+（y4）2=1上点的距离的最小值为4.求p;若点尸在上，B4,是。的两条切线，A, B是切点、,求R13面积的最大值.6、如图所示，点A,

30、 8分别是椭圆系+亲1长轴的左、右端/卡1 点，点F是椭圆的右焦点，点尸在椭圆上，且位于轴上方，PAPF. 代;日加(1)求点尸的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，点M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点 M的距离d的最小值.7、已知椭圆的两个焦点为乃(一1, 0),尸2(1, 0),且椭圆与直线y=x一小相切.(1)求椭圆的方程；(2)过后作两条互相垂直的直线h, b,与椭圆分别交于点P, Q及M, N,求四边形PMQV面积的最大值与最小值.8、如图，已知抛物线f=y,点A(9-4B n_4J 1-T抛物线上y)(一过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.求直线AP斜率的取值范围;

31、求解HPQI的最大值.的点P(x,二、圆锥曲线中求解范围问题的常见求法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消元得到一元二次方程，根据直线与圆锥曲线的位置关系求解.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系.(3)利用几何条件构造不等关系.(4)利用基本不等式求出参数的取值范围.(5)利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.例3 (2022.淮北三模)椭圆C：捻十1=1(。20)的左、右焦点分别是b2,离心率为今过Fi且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点”(0, 1),若直线y=%+/与椭圆C相交于C,。两点，且直线C,的斜率之和为一2,求实数，的值；(3)点尸是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接尸Fi, PFi,设NBPF2的平分线交 。的长轴于点0),求机的取值范围.例4 (2022泉州模拟)已知椭圆C：=1(人0)的离心率6=直线 x+y3y 1 =0被以椭圆。的短轴为直径的圆截得的弦长为切.(1)求椭圆。的方程；(2)过点/(4,0)的直线/交椭圆于A, 8两个不同的点，且a=|M4H5,求2的取值范围.跟踪练习1、(2022.广东省质检)已知椭圆。的两个焦点分别是(一1,0), (1,0),并且经过点(1,券).(1)求椭圆C的标准方