教育专题：角的平分线的性质修改.ppt

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1、 1 12 2.3 3角的平分线的性质角的平分线的性质 人教版数学八年级上册人教版数学八年级上册画一画画一画NCOM 探究：探究：类比角平分仪类比角平分仪的工作原理你用直尺和的工作原理你用直尺和圆规能作出圆规能作出AAO OB B的角的角平分线吗？平分线吗？ABO折一折折一折1.把角对折把角对折,使使角的两边重合角的两边重合.2.再对折，使再对折，使已经重合的角已经重合的角的两边能够再的两边能够再次重合次重合.实验操作实验操作,猜想性质猜想性质想一想想一想思考思考:1.:1.这两条折痕与角的两这两条折痕与角的两边有什么位置关系边有什么位置关系?2.2.这两条折痕之间有什么数量这两条折痕之间有什

2、么数量关系关系?3.3.再折几组这样的折痕再折几组这样的折痕,每组都每组都有这样的关系吗有这样的关系吗?实验操作实验操作,猜想性质猜想性质说一说说一说你发现了角的平分线有什么性质你发现了角的平分线有什么性质?角的平分线上的点到角的角的平分线上的点到角的两边的距离相等两边的距离相等证一证证一证性质性质:角的平分线上的点到角的两边的角的平分线上的点到角的两边的距离相等距离相等问题：问题：1.请根据命题的表述画出图形请根据命题的表述画出图形.2.用符号表示已知和求证用符号表示已知和求证.已知：已知：求证：求证：3.分析，找出由已知推出结论的途径，并证明分析，找出由已知推出结论的途径，并证明.命题的已

3、知和命题的已知和求证是什么？求证是什么？由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？几何命题的一般步骤吗？（1）明确命题中的已知和求证；）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证 明过程明过程证一证证一证定理定理:角的平分线上的点到角的两边的距离角的平分线上的点到角的两边的距离相等相等符号语言符号语言:OC平分平分AOB,PD OA，PEOB，PD=PE证一证

4、证一证判断：（判断：（1）如图，）如图，P在射线在射线OC上，上，PDOA，PEOB，则，则PD=PE用一用用一用判断：（判断：（2）如图，）如图，P是是AOB的平的平分线分线OC上的一点，上的一点，D、E分别在分别在OA、OB上，则上，则PD=PE用一用用一用判断：（判断：（3）P是是AOB的平分线的平分线OC上的一点，上的一点，PDOA，PEOC，则，则PD=PE用一用用一用2.如图，如图，ABC中，中，B=C，AD 是是BAC 的平分线，的平分线，DEAB，DFAC，垂足分别为，垂足分别为E，F求证：求证：EB=FCABCDEF用一用用一用回眸课堂，总结收获1、本节课你学到了哪些知识？、

5、本节课你学到了哪些知识？2、这些知识是怎样得到的？、这些知识是怎样得到的？回眸课堂，总结收获抽抽象象类类比比操操作作证证明明应应用用布置作业布置作业 巩固新知巩固新知 数学证明要严谨，数学证明要严谨，因为所以出结论。因为所以出结论。(演绎推理）演绎推理）实验操作得猜想，实验操作得猜想，终觉理屈词又穷；终觉理屈词又穷；（合情推理（合情推理)教师寄语教师寄语一线平分角，对称又和谐；一线平分角，对称又和谐；社会和谐靠大家，社会和谐靠大家，早日实现中国梦。早日实现中国梦。为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围城区域内修建一个度假村.这个度假村在ABC和ACB的平分线的交点上，它到三条公路的距离相等吗

6、？请用本节课知识解决.延伸：点P也在BAC的平分线上吗？作业布置作业布置 欢迎指导！欢迎指导！ABOMNC画一画画一画NCOM2.2.小明根据折纸出了这样一个问题小明根据折纸出了这样一个问题:如图，如图，ABCABC中，中，BD=CD,ADBD=CD,AD是是BACBAC的的平分线平分线,DEAB,DFAC,DEAB,DFAC，垂足分别为，垂足分别为E E、F.F.求证：求证：EB=FC.EB=FC.用一用用一用判断：判断：（1）如图）如图1，P在射线在射线OC上，上，PDOA，PEOB，则，则PD=PE（2）如图）如图2，P是是AOB的平分线的平分线OC上的一点，上的一点，D、E分别在分别在

7、OA、OB上，则上，则PD=PE（3）P是是AOB的平分线的平分线OC上的一点，上的一点，PDOA，PEOC，则，则PD=PE用一用用一用3.3.变式变式:如图如图,BD=CD,AB=AC,E,F,BD=CD,AB=AC,E,F分别分别在在AB,ACAB,AC的延长上的延长上,DEAB,DFAC,DEAB,DFAC，垂足分别为垂足分别为E E、F.F.求证：求证：EB=FC.EB=FC.用一用用一用感悟实践经验，用尺规作角的平分线感悟实践经验，用尺规作角的平分线利用尺利用尺规规作角的平分作角的平分线线的具体方法的具体方法:ABOMNC感悟实践经验，用尺规作角的平分线感悟实践经验，用尺规作角的平

8、分线追问追问4你能你能说说明明为为什么射什么射线线OC 是是AOB 的平分的平分线吗线吗？ABOMNC实验操作实验操作,猜想性质猜想性质折一折折一折1.1.折出这个角的平分线折出这个角的平分线.2.2.在此基础上再折出一在此基础上再折出一个直角三角形，使它的个直角三角形，使它的斜边在角的平分线上斜边在角的平分线上.应用定理，解决问题2 2.如如图图，一一个个加加油油站站恰恰好好位位于于两两条条公公路路m m、n n夹夹角角的的平平分分线线OCOC上上，若若加加油油站站到到公公路路m m的的距距离离PDPD为为50m50m，则则它它到到公公路路n n的的距距离离是是_m._m.经历实验过程，发现

9、并证明角的平分线的性质经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质如如图图，任意作一个角，任意作一个角 AOB，作出，作出 A的平分的平分线线OC，在，在OC 上任取一点上任取一点P，过过点点P 画出画出OA，OB 的垂的垂线线，分，分别记别记垂足垂足为为D，E，测测量量 PD，PE 并并作比作比较较，你得到什么，你得到什么结论结论？问题问题2利用尺规我们可以作一个角的平分线，那利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？么角的平分线有什么性质呢？ABOPCDE经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质问题问题2利用尺规我们可以作一个角的平分

10、线，那利用尺规我们可以作一个角的平分线，那么角的平分线有什么性质呢？么角的平分线有什么性质呢？在在OC 上再取几个点试一试上再取几个点试一试 通过以上测量，你发现了角通过以上测量，你发现了角的平分线的什么性质？的平分线的什么性质？ABOPCDE已知：已知：AOC=BOC，点，点 P在在OC上，上，PDOA，PEOB，垂足分别为垂足分别为D，E 求证：求证：PD=PE经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质追问追问1通过动手实验、观察比较，我们发现通过动手实验、观察比较，我们发现“角角的平分线上的点到角的两边的距离相等的平分线上的点到角的两边的距离相等”，

11、你能通过严，你能通过严 格的逻辑推理证明这个结论吗？格的逻辑推理证明这个结论吗？ABOPCDE追问追问2由角的平分线的性质的证明过程，你能概由角的平分线的性质的证明过程，你能概 括出证明几何命题的一般步骤吗？括出证明几何命题的一般步骤吗？（1）明确命题中的已知和求证；）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证 明过程明过程经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质追问追问3角的平分角的平

12、分线线的性的性质质的作用是什么？的作用是什么？经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质经历实验过程，发现并证明角的平分线的性质主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方主要是用于判断和证明两条线段相等，与以前的方 法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等法相比，运用此性质不需要先证两个三角形全等解决简单问题，巩固角的平分线的性质解决简单问题，巩固角的平分线的性质 练习练习1下列结论一定成立的是下列结论一定成立的是 （1 1）如如图图，OC 平分平分 AOB，点，点P 在在OC 上，上，D，E 分分 别为别为OA，OB 上的点，上的点，则则PD=PEABOPCDE 练习练习1下列结论一定成立

13、的是下列结论一定成立的是 （2）如图，点如图，点P 在在OC 上，上，PDOA，PEOB，垂足，垂足 分分别为别为D，E，则则PD=PE解决简单问题，巩固角的平分线的性质解决简单问题，巩固角的平分线的性质ABOPCDE 练习练习1下列结论一定成立的是下列结论一定成立的是 （3）如如图图，OC 平分平分 AOB，点，点P 在在OC 上，上，PD OA，垂足垂足为为D若若PD=3，则点，则点P 到到OB 的距离的距离为为3（3）解决简单问题，巩固角的平分线的性质解决简单问题，巩固角的平分线的性质ABOPCD在在此题此题的已知条件下的已知条件下，你还能得到哪些结论？你还能得到哪些结论？练习练习2如图

14、，如图，ABC中，中，B=C，AD 是是BAC 的平分线，的平分线，DEAB，DFAC，垂足分别为，垂足分别为E，F求求证：证：EB=FC解决简单问题，巩固角的平分线的性质解决简单问题，巩固角的平分线的性质ABCDEF2.2.如图，如图，ABCABC中，中，B=C,ADB=C,AD是是BACBAC的平分线，的平分线，DEAB,DFACDEAB,DFAC，垂足分别为垂足分别为E E、F.F.求证：求证：EB=FC.EB=FC.用一用用一用解决简单问题，巩固角的平分线的性质解决简单问题，巩固角的平分线的性质例例如如图图，ABC 的角平分的角平分线线BM，CN 相交于点相交于点P求求证证：点：点P到

15、三到三边边AB，BC，CA 的距离相等的距离相等ABCPMN（1）本节课学习了哪些主要内容？）本节课学习了哪些主要内容？（2）本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？）本节课是通过什么方式探究角的平分线的性质的？（3）角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？）角的平分线的性质为我们提供了证明什么的方法？在应用这一性质时要注意哪些问题？在应用这一性质时要注意哪些问题？课堂小结课堂小结创设情境，探究作图创设情境，探究作图你能说明其中的你能说明其中的道理吗？道理吗？NCOMAB实验操作，猜想性质实验操作，猜想性质1、折痕、折痕PD、PE相等相等吗？吗？2、折痕、折痕PD、PE与角与角的两边有

16、什么位置关系的两边有什么位置关系？3、你能得到什么结论、你能得到什么结论？4、角平分线上的点都、角平分线上的点都有这个特征吗？再取有这个特征吗？再取几个角平分线上的点几个角平分线上的点折折试试？折折试试？实验操作，猜想性质1、折痕、折痕PD、PE相等相等吗？吗？2、折痕、折痕PD、PE与角与角的两边有什么位置关系的两边有什么位置关系？3、你能得到什么结论、你能得到什么结论？4、角平分线上的点都、角平分线上的点都有这个特征吗？再取有这个特征吗？再取几个角平分线上的点几个角平分线上的点折折试试？折折试试？由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命

17、题的一般步骤吗？几何命题的一般步骤吗？（1）明确命题中的已知和求证；）明确命题中的已知和求证；（2）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；）根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证；（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证 明过程明过程证明猜想，得到定理创设情境，探究作图创设情境，探究作图NMABOC2C1C3C5C4实验操作实验操作,猜想性质猜想性质实验操作，猜想性质实验操作，猜想性质思考思考:3.:3.其它折痕其它折痕也具有这样的特也具有这样的特征吗征吗?4.4.通过以上思考通过以上思考,你发现了角的平你发现了角的平分线有什么性质分线有什么性质?实验操作实验操作,猜想性质猜想性质实验操作，猜想性质实验操作，猜想性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等 12.3角的平分线的性质济源市济水一中济源市济水一中 李娜李娜 人教版数学八年级上册人教版数学八年级上册教科教科书习题书习题12.3第第4、5题题布置作业布置作业