第三节 向量组的秩.ppt

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1、一、一、向量向量组组极大极大线性线性无关无关组概念组概念二、向量组的等价二、向量组的等价三、向量组的秩三、向量组的秩四、小结与思考四、小结与思考2022/12/232022/12/23一、一、向量向量组组极大极大线性线性无关组概念无关组概念解解引例引例判定向量组判定向量组及其部分组的线性相关性及其部分组的线性相关性2022/12/23线性线性无关无关线性线性相关相关线性线性相关相关线性线性相关相关线性线性相关相关2022/12/23 注解注解 对于一个线性相关向量组来说对于一个线性相关向量组来说,它的部分它的部分组可能线性相关也可能线性无关，而线性无组可能线性相关也可能线性无关，而线性无关的部

2、分组中向量个数有一个、两个关的部分组中向量个数有一个、两个不等，不等，其中所含向量个数最多的线性无关部分组也其中所含向量个数最多的线性无关部分组也不惟一不惟一2022/12/23 定义定义 3.4设设A是一个是一个n维向量组维向量组,的一个部分组的一个部分组;满足条件满足条件:为为A添加添加A中任一向量后所得中任一向量后所得线性无关线性无关;的向量组线性相关的向量组线性相关.则称则称为向量组为向量组A的一个极大线的一个极大线性无关组，简称极大无关组性无关组，简称极大无关组2022/12/23 全部由零向量组成的向量组全部由零向量组成的向量组,极大无关组极大无关组.如果一个向量组线性无关如果一个

3、向量组线性无关,那么它的极大无那么它的极大无 关组是关组是含非零向量的向量组含非零向量的向量组 极大无关组；极大无关组；没有没有它自身它自身.不惟一不惟一.必有必有一般极大无关组一般极大无关组2022/12/23二二、向量组的等价向量组的等价 定义定义 3.5如果向量组如果向量组A与向量组与向量组B可以互相可以互相线性线性表示表示，则称向量组则称向量组A与向量组与向量组B等价，等价，记为记为设有两个向量组设有两个向量组的向量线性的向量线性表示，表示，则称向量组则称向量组A可由可由向量组向量组如果向量组如果向量组A的的每个每个向量向量都可由都可由向量组向量组B中中B线性线性表示表示2022/12

4、/23 例例证明证明 依题意可知，向量组依题意可知，向量组B可由可由向量组向量组A线性线性表示表示2022/12/23 又由又由2022/12/23向量组向量组A可由可由向量组向量组B线性线性表示表示故故解得解得2022/12/23 向量组等价有如下性质：向量组等价有如下性质：(1)反身性：反身性：(2)对称性：对称性：若若 则则(3)传递性：传递性：则则 若若2022/12/23 定理定理3.6 向量组和它的任意一个极大无关组等价向量组和它的任意一个极大无关组等价向量组和它的任意一个极大无关组等价向量组和它的任意一个极大无关组等价 向量组与极大无关组的关系向量组与极大无关组的关系P112 推

5、论推论 向量组中任意两个极大无关组等价向量组中任意两个极大无关组等价向量组中任意两个极大无关组等价向量组中任意两个极大无关组等价2022/12/23定理定理 3.7 P112如果向量组如果向量组 可由向量组可由向量组线性表示，且线性表示，且ts，则向，则向量组量组 线性相关线性相关证明从略证明从略2022/12/23设设则则线性线性相关相关证证由由得得于是于是表明：表明：向量组向量组线性线性相关相关例例2022/12/23推论推论1如果向量组如果向量组 可由可由向量组向量组线性线性表示表示，且，且线性线性无关无关，则，则2022/12/23 推论推论2 推论推论3 等价等价的线性的线性无关无关

6、向量组向量组所含所含向量的向量的个数相等。个数相等。推论推论4 向量组的向量组的任意两个任意两个极大无关组极大无关组所含所含向量的向量的个个数数相同。相同。任意任意m(mn)m(mn)个个n n维向量维向量必必线性线性相关相关2022/12/23三三、向量组的秩向量组的秩 完全由零向量组成的向量组完全由零向量组成的向量组,它的秩为它的秩为 定义定义 3.6 P113 向量组的向量组的极大无关组极大无关组所含向量所含向量的的个数个数r称为向量组的称为向量组的秩秩。记为。记为特别地特别地 0 0。2022/12/23线性线性无关无关 向量组向量组，总有，总有 任意向量组任意向量组 2022/12/

7、23 定理定理 3.8 P114 等价等价的向量组有的向量组有相同相同的的秩秩。该该逆逆命题不成立。命题不成立。但但不不等价。等价。2022/12/23已知已知 线性线性相关，相关，试证试证也线性也线性相关相关。证明令证明令解方程组得解方程组得 例例2022/12/23两向量组两向量组等价等价,由定理由定理3.8知知,两向量组两向量组秩相等秩相等而而 线性线性相关相关,得得故故即向量组即向量组 也线性也线性相关相关.上式说明上式说明 2022/12/23例例的的行行秩和秩和列列秩秩 求求 解解 A的的行行向量组：向量组：由于由于 线性线性无关无关为为极大无关组极大无关组2022/12/23最大

8、线性无关向量组的概念：最大线性无关向量组的概念：最大性最大性、线性无关性线性无关性 矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩矩阵行向量组的秩 关于向量组秩的一些结论：关于向量组秩的一些结论：一个定理一个定理、三个推论三个推论 求向量组的秩以及最大无关组的方法：求向量组的秩以及最大无关组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换阵，然后进行初等行变换四、小结与思考四、小结与思考2022/12/23 比较教材例比较教材例7 7的证的证法一、二、三，并总法一、二

9、、三，并总结这类题的证法结这类题的证法思考题思考题2022/12/23证法一根据证法一根据向量组等价的定义向量组等价的定义，寻找两向量，寻找两向量组相互线性表示的系数矩阵；组相互线性表示的系数矩阵；思考题解答思考题解答证法二利用证法二利用“经初等列变换，矩阵的列向量经初等列变换，矩阵的列向量组等价，经初等行变换，矩阵的行向量组等价组等价，经初等行变换，矩阵的行向量组等价”这一特性，验证是否有相同的行最简形矩阵；这一特性，验证是否有相同的行最简形矩阵；证法三直接计算向量组的秩，利用了证法三直接计算向量组的秩，利用了向量组向量组的最大线性无关组等价的最大线性无关组等价这一结论这一结论2022/12/23