等比数列及其性质.ppt

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1、2012届JS高三第一轮复习数学（文）数列第五课时：俞雪峰俞雪峰等比数列及其性等比数列及其性质本节课的学习目的学习目的：通过复习探究等比数列的项与项之间的几类关系使同学们能较深入理解等比数列的本质，从而为全面理解和掌握等比数列的有关内容打下坚实的基础。本节课的学习方法学习方法：与等差数列进行比较，通过类比的方法复习等比数列。数数列列等等差差数数列列定定义义公差（比）公差（比）通项公式通项公式引申引申中项中项性质性质类比类比若若m+nm+n=p+t(m,n,p,tp+t(m,n,p,t N N*),),则则a am m+a+an n=a ap p+a+at t 若若m+nm+n=p+t(m,n,

2、p,tp+t(m,n,p,t N N*),),则则a am ma an n=a ap pa at t 等等比比数数列列一、等比数列的定义及一、等比数列的定义及一、等比数列的定义及一、等比数列的定义及通项公式通项公式通项公式通项公式通项公式通项公式 数学表达数学表达式式定定义义等比数列等比数列 等差数列等差数列名称名称如果一个数列从第如果一个数列从第2项项起，每一项与前一项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等那么这个数列叫做等差数列差数列.这个常数叫做这个常数叫做等差数列的公差，用等差数列的公差，用d表示表示an+1-an=dan=a1+（n-1）d如如果

3、果一一个个数数列列从从第第2项项起起，每每一一项项与与它它前前一一项项的的比比都都等等于于同同一一个个常常数数,那那么么这这个个数数列列叫叫做做等等比比数数列列.这这个个常常数数叫叫做做等等比比数数列列的公比，用的公比，用q表示表示名称名称推导推导过程过程由此归纳等差数列的通由此归纳等差数列的通项公式可得：项公式可得：法法1 1：不完全：不完全归纳法法法法1 1：不完全：不完全归纳法法由此归纳等差数列的通由此归纳等差数列的通项公式可得：项公式可得：a a1 1q q2 2a a1 1q q3 3a a1 1q qn-1n-1等等差差数数列列等等比比数数列列通项通项公式公式名称名称等等 差差 数

4、数 列列等等 比比 数数 列列推导推导过程过程把这把这n-1个式子个式子相加相加，得：，得：法法2 2：累加法：累加法当当n=1时，上式成立时，上式成立法法2 2：累乘累乘 法法把这把这n-1n-1个式子个式子相乘相乘，得：，得：当当n=1时，上式成立时，上式成立通项通项公式公式考点一：等比数列的基本考点一：等比数列的基本考点一：等比数列的基本考点一：等比数列的基本运算运算运算运算例例1：在等比数列：在等比数列an中：中：答案：（1）n=5 （2）a5=（3）a1=729 （4）q=解题思路分析：解题思路分析：在等比数列通项公式在等比数列通项公式 中，有四中，有四个量，个量，an、a1、q、n

5、知道其中的任意三个量，就可以求知道其中的任意三个量，就可以求出另一个量，即知三求一出另一个量，即知三求一.我们称之为基本量法！我们称之为基本量法！解后反思：解后反思：例例2：在等比数列：在等比数列an中：中：解后反思：利用通项公式由已知的基本量转化为解解后反思：利用通项公式由已知的基本量转化为解方程组。所谓函数与方程的思想。方程组。所谓函数与方程的思想。二、等比数列通项公式的引申二、等比数列通项公式的引申名称名称等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列通项通项公式公式引申引申可得可得已知等差数列已知等差数列a an n中，公中，公差为差为d d，则则a an n与与a am m（n,mn,

6、m N*N*）有何关系？有何关系？已知等比数列已知等比数列a an n中，公中，公比为比为q q，则则a an n与与a am m（n,mn,m N*N*）有何关系？有何关系？an=a1qn-1am=a1qm-1可得可得例例2：在等比数列：在等比数列an中：中：三、等比中项三、等比中项 如果在如果在a与与b中间插入中间插入一个数一个数A，使，使a，A，b成成等差数列，那么等差数列，那么A叫做叫做a与与b的的等差中项等差中项。如果在如果在a a与与b b中间插入中间插入一个数一个数G，使，使a a，G，b b成成等比数列，那么等比数列，那么G叫做叫做a a与与b b的等比中项。的等比中项。在等差

7、数列在等差数列aan n 中中:注意：注意：1.1.两个数的等比中项有两个，两个数的等比中项有两个，它们互为相反数；它们互为相反数；2.这两个数必须这两个数必须满足同号的条件，即满足同号的条件，即ab0在等比数列在等比数列aan n 中：中：等差中项等差中项等比中项等比中项1、两个数的等差中项只有一个、两个数的等差中项只有一个2、任意两个数都有等差中项、任意两个数都有等差中项考点二、等比数列的判定考点二、等比数列的判定或(判断一个数列是否为等判断一个数列是否为等比数列的首选方法：定义比数列的首选方法：定义)证明证明：Sn2an+1，Sn+12an+1+1，Sn+1Snan+1 (2an+1+1

8、)(2an+1)2an+12an.an+12an+12an an+12an 又S1a12a1+1，a110.由式可知，an0，由 知an是等比数列，所以通项公式：所以通项公式：an2n-1.例例3、已知数列、已知数列an的前的前n项和项和Sn2an1，求证：求证：an是等比数列，并求出通项公式是等比数列，并求出通项公式四、等比数列的性质四、等比数列的性质等差数列的性质等差数列的性质 等比数列的性质等比数列的性质已知已知an是等差数列，是等差数列，若若m+n=p+t（m，n，p，t N*）则：则：am+an=ap+at.已知已知an是等比数列，是等比数列，若若m+n=p+t（m，n，p，tN*）

9、则：则：aman=apat.a1，a2，a3，an-2，an-1，an，a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a1an=a2an-1=a3an-2=考点三：等比数列性质的应用考点三：等比数列性质的应用例例4 4、在、在等比数列等比数列aan n 中中，且，且an0，a a2 2a a4 4+2a3a5+a4a6=36,求a3+a5=_ .6解：由性质可得解：由性质可得 a2a4=a3a3=a32a4a6=a5a5=a52 所以所以 a32+2a3a5+a52=(a3+a5)2=36例例5 5 (2010 (2010全国全国)已知各项均为正数的等比数列已知各项均为正数的等比数列aan n，

10、a a1 1a a2 2a a3 3=5,a=5,a7 7a a8 8a a9 9=10,=10,则则a a4 4a a5 5a a6 6=()=()A.A.5 B.7 C.6 D.45 B.7 C.6 D.4分析分析:利用等比数列的性质求解；利用等比数列的性质求解；解：由等比数列的性质知解：由等比数列的性质知a a1 1a a2 2a a3 3=(a=(a1 1a a3 3)a)a2 2=a=a3 32 2=5,=5,a a7 7a a8 8a a9 9=(a=(a7 7a a9 9)a)a8 8=a=a3 38 8=10,=10,所以所以a a2 2a a8 8=,=,所以所以a a4 4

11、a a5 5a a6 6=(a=(a4 4a a6 6)a)a5 5=a=a3 35 5=()=()3 3=()=()3 3=5 ,=5 ,故选故选A.A.数数列列等等差差数数列列定定义义公差（比）公差（比）通项公式通项公式任意两项任意两项连续三项连续三项四项四项类比类比若若m+nm+n=p+t(m,n,p,tp+t(m,n,p,t N N*),),则则a am m+a+an n=a ap p+a+at t 若若m+nm+n=p+t(m,n,p,tp+t(m,n,p,t N N*),),则则a am ma an n=a ap pa at t 等等比比数数列列1.(教材改编题)在等比数列an中，

12、a1=1,a5=9,则a3=()A.3 B.-3 C.3或-3 D.解析：解析：a a2 23 3=a=a1 1a a5 5=9,=9,且且a a1 1,a,a3 3,a,a5 5同号，同号，a a3 3=3.=3.故选故选A.A.2.已知an是等比数列,a2=2,a5=,则公比q=()A.-B.-2 C.2 D.解析解析:q:q3 3=q=.=q=.故选故选D.D.3.(2011济南山师附中模拟)在等比数列an中，a8a10=6,a4+a14=5,则 等于()A.B.C.或 D.-或-五、课堂演练：五、课堂演练：解析解析：由题知，：由题知，a a8 8aa1010=a=a4 4aa1414=

13、6,=6,且且a a4 4+a+a1414=5,=5,解得解得a a4 4=2,a=2,a1414=3,=3,或或a a4 4=3,a=3,a1414=2,=2,或或 ，故选，故选C.C.复习内容：等比数列的定义、通项公式、性质。复习内容：等比数列的定义、通项公式、性质。本质就是复习数列项与项之间的关系本质就是复习数列项与项之间的关系从定从定义的相邻两项的关系、通项公式的第义的相邻两项的关系、通项公式的第n项与首项与首项的关系、拓展到任意两项的关系最后到三项、项的关系、拓展到任意两项的关系最后到三项、四项的关系。通过本节课的复习我们可以深入四项的关系。通过本节课的复习我们可以深入的理解和掌握等

14、比数列的实质。的理解和掌握等比数列的实质。复习方法：主要是类比（与等差数列类比进行复习方法：主要是类比（与等差数列类比进行复习）的方法、兼顾了回顾、探究、讨论。复习）的方法、兼顾了回顾、探究、讨论。数学方法：转化的思想、函数与方程的思想数学方法：转化的思想、函数与方程的思想解题方法：基本量法、赋值法、归纳法、累加解题方法：基本量法、赋值法、归纳法、累加法、累乘法、性质的灵活运用。法、累乘法、性质的灵活运用。六六、总结：、总结：七、布置作业七、布置作业：1、回顾本节课的有关内容。、回顾本节课的有关内容。2、校本训练二十五。、校本训练二十五。3、预习下一节课的内容：等比数列求和、预习下一节课的内容

15、：等比数列求和公式及其简单应用。公式及其简单应用。变式变式5-15-1在等比数列an中，a1=1,公比|q|1.若am=a1a2a3a4a5,则m=()A.9 B.10 C.11 D.12解析：解析：a am m=a=a1 1a a2 2a a3 3a a4 4a a5 5=a=a5 53 3=(a=(a1 1q q2 2)5 5=q=q1010=a=a1111,故选故选C.C.变式变式5-25-2(2011潍坊模拟)已知等比数列an的公比为正数，且a3a9=2a25,a2=2,则a1等于()A.1 B.C.-D.2解析解析:a:a3 3a a9 9=2a=2a2 25 5,a,a2 26 6=2a=2a2 25 5,q,q2 2=2,q=2,q0,q=,0,q=,a1=,故选B.关于等比数列的性质与等差数列关于等比数列的性质与等差数列的性质类似：随着复习的深入我的性质类似：随着复习的深入我们可能会碰到以下一些性质。同们可能会碰到以下一些性质。同学们可以了解一下：学们可以了解一下：等比数列的性质等比数列的性质等比数列的性质等比数列的性质等比数列的性质等比数列的性质