教育专题：一元二次不等式解法.ppt

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1、第二节一元二次不等式及其解法【知识梳理知识梳理】1.1.必会知识必会知识 教材回扣填一填教材回扣填一填(1)(1)一元二次不等式的特征一元二次不等式的特征:一元二次不等式的二次项一元二次不等式的二次项(最高次项最高次项)系数系数_0._0.不等于不等于(2)(2)一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系:判判别别式式=b=b2 2-4ac-4ac00=0=000)+bx+c(a0)的的图图象象一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0(a0)+bx+c=0(a0)的根的根有两个相异有两个相异实实根根x x1 1,x,x2 2

2、(x(x1 1x00=0=000(a0)+bx+c0(a0)的的解集解集_R Raxax2 2+bx+c0)+bx+c0)的的解集解集_ _x|xxx|xxxx2 2 x|xxx|xx1 1 x|xx|x1 1xxx0(a0)+bx+c0(a0)中中,如果二次项系数如果二次项系数a0,a0+bx+c0(a0)(a0)的求解过程的求解过程0?0?(-,x(-,x2 2)(x)(x1 1,+),+)R R2.2.核心总结核心总结:求解一元二次不等式的方法和步骤求解一元二次不等式的方法和步骤:(1)(1)看看“a”a”(2)(2)算算“”(3)(3)求根（因式分解或用求根公式）求根（因式分解或用求根

3、公式）（4 4）写出解集：口诀：）写出解集：口诀：“大于取两边大于取两边,小于取中间小于取中间”1.1.教材改编教材改编 链接教材练一练链接教材练一练(1)(1)不等式不等式x x2 2-3x-100-3x-100的解集是的解集是()A.(-2,5)B.(5,+)A.(-2,5)B.(5,+)C.(-,-2)D.(-,-2)(5,+)C.(-,-2)D.(-,-2)(5,+)【解析解析】选选D.xD.x2 2-3x-10=(x-5)(x+2)0,-3x-10=(x-5)(x+2)0,所以所以x5x5或或x-2.x-2.故原不等式的解集为故原不等式的解集为(-,-2)(5,+).(-,-2)(5

4、,+).(2)(2)设集合设集合M=x|xM=x|x2 2-3x-40,N=x|0 x5,-3x-40,N=x|0 x5,则则MN=(MN=()A.(0,4 B.0,4)C.-1,0)D.(-1,0A.(0,4 B.0,4)C.-1,0)D.(-1,0【解析解析】选选B.B.因为因为M=x|-1x4,N=x|0 x5,M=x|-1x4,N=x|0 x5,所以所以MN=x|0 x4.MN=x|0 x4.(3)(3)关于关于x x的不等式的不等式x x2 2-2ax-8a-2ax-8a2 20)0)的解集为的解集为(x(x1 1，x x2 2)，且且x x2 2-x-x1 1=15=15，则，则a

5、=()a=()【解析解析】选选A.A.由题意知由题意知,不等式不等式x x2 2-2ax-8a-2ax-8a2 20)0)的解集为的解集为(2a,2a,4a),4a),因为因为x x2 2-x-x1 1=15,=15,所以所以4a4a(2a)=15,2a)=15,解得解得考点考点1 1 一元二次不等式的解法一元二次不等式的解法【典例典例1 1】(1)(2015(1)(2015珠海模拟珠海模拟)不等式不等式-2x-2x2 2+x+3+x+30 0的解集是的解集是()()(2)(2)解关于解关于x x的不等式的不等式:ax:ax2 2(a(a1)x1)x10.10a0和和a0a0两种情况求解两种情

6、况求解【规范解答规范解答】(1)(1)选选D.D.不等式不等式-2x-2x2 2+x+3+x+30 0可化为可化为2x2x2 2-x-3-x-30 0，即即(2x-3)(x+1)(2x-3)(x+1)0,0,解得解得x x-1-1，或，或所以不等式的解集是所以不等式的解集是(2)(2)当当a a0 0时，原不等式可化为时，原不等式可化为x x1011.x1.当当a0a0时，原不等式可化为时，原不等式可化为(ax(ax1)(x1)(x1)01)1x1或或当当a0a0时，原不等式可化为时，原不等式可化为若若0a10a1a1，则，则 所以所以综上知，当综上知，当a0a1x|x1；当当0a10a1a1

7、时，不等式的解集为时，不等式的解集为【互动探究互动探究】本例本例(2)(2)的不等式改为的不等式改为x x2 2-(a+1)x+a0,-(a+1)x+a0,求其解集求其解集.【解析解析】原不等式可化为原不等式可化为(x-1)(x-a)0,(x-1)(x-a)1a1时时,解集为解集为x|1xa.x|1xa.当当a=1a=1时时,解集为解集为.当当a1a1时时,解集为解集为x|ax1.x|ax1a1时时,解集为解集为x|1xa;x|1xa;当当a=1a=1时时,解集为解集为,当当a1a1时时,解集为解集为x|ax1.x|ax010的解集为的解集为则则abab的值为的值为()()A.A.6 B.6

8、B.5 C.6 D.55 C.6 D.5【解析解析】选选C.C.由题意知，方程由题意知，方程axax2 2bxbx1 10 0的两根为的两根为1 1，则有则有解得解得 所以所以abab6 6，故选，故选C.C.考点考点2 2 一元二次不等式恒成立问题一元二次不等式恒成立问题知知考情考情一元二次不等式的恒成立问题以及三个一元二次不等式的恒成立问题以及三个“二次二次”间的联系及综合间的联系及综合应用是高考的热点应用是高考的热点,而且常与函数、导数等知识交汇命题而且常与函数、导数等知识交汇命题,考查应用分考查应用分类讨论、数形结合、转化思想解决问题的能力类讨论、数形结合、转化思想解决问题的能力.明明

9、角度角度命题角度命题角度1:1:形如形如f(x)0(f(x)0)(xR)f(x)0(f(x)0)(xR)求参数的取值范围求参数的取值范围【典例典例2 2】(2013(2013重庆高考重庆高考)设设0,0,不等式不等式8x8x2 2-(8sin)x+-(8sin)x+cos 20cos 20对对xRxR恒成立恒成立,则则的取值范围为的取值范围为.【解题提示解题提示】因为不等式恒成立因为不等式恒成立,所以判别式小于等于零所以判别式小于等于零,直接求解即直接求解即可可.【规范解答规范解答】因为不等式因为不等式8x8x2 2-(8sin)x+cos20-(8sin)x+cos20对对xRxR恒成立恒成

10、立,所以所以=64sin=64sin2 2-32cos20,-32cos20,即即64sin64sin2 2-32+64sin-32+64sin2 20,0,解得解得0sin (0).0sin (0).因为因为0,0,所以所以答案答案:命题角度命题角度2:2:形如形如f(x)0(f(x)0(参数参数ka,b)ka,b)求求x x的取值范围的取值范围【典例典例3 3】(2015(2015兰州模拟兰州模拟)对任意的对任意的k-1,1,k-1,1,函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+(k-4)x+4-2k(k-4)x+4-2k的值恒大于零的值恒大于零,则则x x的取值范围是的取值范围是.【解题提

11、示解题提示】把二次函数的恒成立问题转化为把二次函数的恒成立问题转化为y=k(x-2)+xy=k(x-2)+x2 2-4x+40-4x+40在在k k-1,1-1,1上恒成立上恒成立,再利用一次函数函数值恒大于再利用一次函数函数值恒大于0 0所满足的条件即可求所满足的条件即可求出出x x的取值范围的取值范围.【规范解答规范解答】因为任意因为任意k-1,1,k-1,1,函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+(k-4)x-2k+40+(k-4)x-2k+40恒成立恒成立,所以所以f(k)=k(x-2)+xf(k)=k(x-2)+x2 2-4x+40-4x+40为一次函数为一次函数,所以所以所以所以

12、解得解得x1x3,x3,所以所以x x的取值范围为的取值范围为(-,1)(3,+).(-,1)(3,+).答案答案:(-,1)(3,+)(-,1)(3,+)命题角度命题角度3:3:形如形如f(x)0(xa,b)f(x)0(xa,b)求参数范围求参数范围【典例典例4 4】(2015(2015兰州模拟兰州模拟)对任意对任意x-1,1,x-1,1,函数函数f(x)=f(x)=x x2 2+(k-4)x+4-2k+(k-4)x+4-2k的值恒大于零的值恒大于零,求求k k的取值范围的取值范围.【解题提示解题提示】表示出对称轴表示出对称轴,然后根据区间分类讨论求解然后根据区间分类讨论求解.【规范解答规范

13、解答】函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+(k-4)x+4-2k+(k-4)x+4-2k的对称轴为的对称轴为当当 即即k k6 6时时,f(x),f(x)的值恒大于零等价于的值恒大于零等价于f(-1)=1+(k-4)f(-1)=1+(k-4)(-1)+4-2k(-1)+4-2k0 0，解得，解得k k3 3，故，故kk;当当 即即2k62k6时时,只要只要即即k k2 20 0，故，故kk.当当 即即k k2 2时时,只要只要f(1)=1+(k-4)+4-2kf(1)=1+(k-4)+4-2k0 0即即k k1 1，故有故有k k1,1,综上可知综上可知,当当k k1 1时，对任意时，对任

14、意xx-1,1-1,1，函数函数f(x)=xf(x)=x2 2+(k-4)x+4-2k+(k-4)x+4-2k的值恒大于零的值恒大于零.悟悟技法技法解不等式恒成立问题的技巧解不等式恒成立问题的技巧(1)(1)对于一元二次不等式恒成立问题对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于恒大于0 0就是相应的二次函数的就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在图象在给定的区间上全部在x x轴上方轴上方,恒小于恒小于0 0就是相应的二次函数的就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在图象在给定的区间上全部在x x轴下方轴下方.另外常转化为求二次函数的最值另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值或用分

15、离参数法求最值.(2)(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数谁是参数,一般地一般地,知道谁的知道谁的范围范围,谁就是主元谁就是主元,求谁的范围求谁的范围,谁就是参数谁就是参数.通通一类一类1.(20151.(2015武汉模拟武汉模拟)一元二次不等式一元二次不等式 对一切实数对一切实数x x都都成立，则成立，则k k的取值范围是的取值范围是()()A.(-3A.(-3，0)B.(-30)B.(-3，0 0C.C.-3-3，0 0 D.(-D.(-，-3)-3)0 0，+)+)【解析解析】选选A.A.由一元二次不等式由一元二次不等式 对一切实数对一切实数x

16、 x都成都成立，则立，则 解得解得-3-3k k0 0综上，满足一元二次不等式综上，满足一元二次不等式 对一切实数对一切实数x x都成立的都成立的k k的取值范围是的取值范围是(-3(-3，0).0).2.(20152.(2015济宁模拟济宁模拟)在在R R上定义运算上定义运算:xy=x(2-y),:xy=x(2-y),若不等式若不等式(x+m)x1(x+m)x1对一切实数对一切实数x x恒成立恒成立,则实数则实数m m的取值范围是的取值范围是.【解析解析】由题意得由题意得:(x+m)x=(x+m)(2-x)1,:(x+m)x=(x+m)(2-x)0,+(m-2)x+(1-2m)0,因为对任意

17、的实数因为对任意的实数x x不等式都成立不等式都成立,所以其对应的一元二次方程所以其对应的一元二次方程:x:x2 2+(m-2)x+(1-2m)=0+(m-2)x+(1-2m)=0的根的判别式的根的判别式=(m-2)=(m-2)2 2-4(1-2m)0,-4(1-2m)0,解得解得:-4m0.:-4m0-2x+a0对任意实数对任意实数x2,3x2,3恒成恒成立立,则实数则实数a a的取值范围为的取值范围为.【解析解析】令令f(x)=xf(x)=x2 2-2x+a=(x-1)-2x+a=(x-1)2 2+a-1,+a-1,所以所以f(x)f(x)在区间在区间(1,+)(1,+)上单调上单调递增递

18、增,又不等式又不等式x x2 2-2x+a0-2x+a0对任意实数对任意实数x2,3x2,3恒成立恒成立,所以所以f(2)0f(2)0恒成立恒成立,即即4-4+a0,4-4+a0,解得解得a0.a0.故实数故实数a a的取值范围是的取值范围是a0.a0.答案答案:a0a04.(20154.(2015洛阳模拟洛阳模拟)若已知不等式若已知不等式2x-1m(x2x-1m(x2 2-1)-1)对满足对满足|m|2|m|2的一切的一切实数实数m m的取值都成立的取值都成立,则则x x的取值范围为的取值范围为.【解析解析】构造变量构造变量m m的函数求解的函数求解:2x-1m(x:2x-1m(x2 2-1

19、)-1)即即:(x:(x2 2-1)m-(2x-1)0-1)m-(2x-1)0构造关于构造关于m m的函数的函数f(m)=(xf(m)=(x2 2-1)m-(2x-1),|m|-1)m-(2x-1),|m|2 2即即-2-2m m2.2.(1)(1)当当x x2 2-1-10 0时，则时，则f(2)f(2)0,0,从而从而2x2x2 2-2x-1-2x-10 0解得解得:又又x x2 2-1-10 0，即，即x x-1-1或或x x1 1，所以，所以(2)(2)当当x x2 2-1-10 0时时,则则f(-2)f(-2)0 0可得可得-2x-2x2 2-2x+3-2x+30,0,从而从而2x2x2 2+2x-3+2x-30,0,解得解得 又又-1-1x x1 1，从而，从而(3)(3)当当x x2 2-1=0-1=0时时,则则f(m)=1-2xf(m)=1-2x0 0，从而，从而 故故x=1;x=1;综上有综上有:答案：答案：