第3_4章 特征值,二次型(复习).ppt

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1、一、主要内容一、主要内容二、典型例题二、典型例题三、综合练习三、综合练习第第3,43,4章章 特征值和特征向量特征值和特征向量,二次型（复习）二次型（复习）一、主要内容一、主要内容1.1.矩阵的特征值和特征向量矩阵的特征值和特征向量:(2)求求A的特征值与特征向量的方法的特征值与特征向量的方法:(1)(1)定义定义:(3)特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质2.2.相似矩阵与矩阵的对角化相似矩阵与矩阵的对角化(1)相似矩阵概念相似矩阵概念:(2)相似矩阵性质相似矩阵性质:(3)矩阵的对角化矩阵的对角化:(1)(1)实对称矩阵实对称矩阵A的性质的性质 A的特征值为实数的特征值为实数(2)

2、(2)实对称阵实对称阵A对角化的方法对角化的方法 求求A的特征多项式及所有特征值特征多项式及所有特征值;对每一特征值对每一特征值,求相应齐次方程组的基础解系求相应齐次方程组的基础解系;将基础解系正交化将基础解系正交化,单位化单位化;以所得的正交单位特征向量组构造正交矩阵以所得的正交单位特征向量组构造正交矩阵.3.3.实对称阵实对称阵的的对角化对角化其中其中 正是正是A的全部特征值全部特征值.A的属于不同特征值的特征向量正交；属于不同特征值的特征向量正交；存在正交矩阵存在正交矩阵Q,使得使得 4.4.二次型的标准形与规范形二次型的标准形与规范形(1)二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示(2)可逆

3、线性替换与矩阵的合同可逆线性替换与矩阵的合同矩阵的合同矩阵的合同:可逆线性替换可逆线性替换:(3)标准形与规范形标准形与规范形 化二次型为标准形化二次型为标准形:(1)(1)正交变换法正交变换法;(2);(2)配方法配方法;(3);(3)初等变换法初等变换法.5.5.正定二次型和正定矩阵正定二次型和正定矩阵(1)正定二次型和正定矩阵的定义正定二次型和正定矩阵的定义(2)正定二次型的判定正定二次型的判定二、典型例题二、典型例题例例1 1 解解例例2 2 设设 是是A的特征值的特征值,证明证明:证证:例例3 3 解解:(1)二次型二次型的矩阵为的矩阵为其矩阵表达式为其矩阵表达式为(2)矩阵矩阵A的

4、特征多项式为的特征多项式为(3)(3)二次型的秩为二次型的秩为3,3,正惯性指数为正惯性指数为2.2.(4)(4)由二次型由二次型 f 的标准形可知的标准形可知,f是不定的是不定的(既不正定既不正定,也不负定也不负定)解解例例5 5含有平方项含有平方项则原二次型化标准形则原二次型化标准形:所作的可逆线性替换为所作的可逆线性替换为 X=CY,其中其中例例6 试问试问t t为何値时为何値时,以下二次型为正定二次型以下二次型为正定二次型.解解 该二次型的矩阵该二次型的矩阵当当A的顺序主子式的顺序主子式都大于零时都大于零时,A是正定阵是正定阵,对应的二次型为正定二次型对应的二次型为正定二次型.例例7.设设A为正定矩阵为正定矩阵,证明证明:A-1和和A*也是正定矩阵。也是正定矩阵。证明：因为A为正定矩阵，故A为实对称矩阵，A的特征值 全大于零。易见 都是实对称矩阵,并且A-1的特征值为 全大于零;A*的特征值为 也全大于零.故 A-1和A*都是正定矩阵.三、综合练习三、综合练习1.平时作业平时作业2.第第3,4章综合练习章综合练习见公共邮箱见公共邮箱: 密码密码:xdsias