初中数学变式教学案例及艺术.ppt

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1、初中数学变式教学初中数学变式教学艺术及案例艺术及案例 广西师大附属外国语学校广西师大附属外国语学校黄英俊黄英俊一、基本问题一、基本问题l理解什么是变式教学？理解什么是变式教学？l变式教学的精髓是什么？变式教学的精髓是什么？l变式教学的关键处变式教学的关键处 所谓所谓“变式教学变式教学”，是指以培养学生灵，是指以培养学生灵活转换、独立思考能力为目的，在教学过程活转换、独立思考能力为目的，在教学过程中教师精心设计一些不断变更问题情景或改中教师精心设计一些不断变更问题情景或改变思维角度，由简到繁，由易到难的数学问变思维角度，由简到繁，由易到难的数学问题，使事物的非属性属性时隐时现，而事物题，使事物的

2、非属性属性时隐时现，而事物的本质属性却始终保持不变的教学形式。变的本质属性却始终保持不变的教学形式。变式教学的式教学的精髓精髓就是由浅入深，多角度思考，就是由浅入深，多角度思考，分层次推进，使不同层次水平的学生都得到分层次推进，使不同层次水平的学生都得到最大的发展。它实际上是教师有目的地通过最大的发展。它实际上是教师有目的地通过变式为学生组织了一个引导思维的活动。变式为学生组织了一个引导思维的活动。变式教学变式教学变式教学的关键处变式教学的关键处l为什么要变为什么要变l变什么变什么l怎样变怎样变l变到什么程度变到什么程度 问题可以来自课本、来自辅导书上，问题可以来自课本、来自辅导书上，也可以来

3、自一些经典的中考题和学生也可以来自一些经典的中考题和学生的考试题，还可以是从学生已有的数的考试题，还可以是从学生已有的数学知识提炼出来的新问题，而且该问学知识提炼出来的新问题，而且该问题应隐含所学内容的有关概念、判定、题应隐含所学内容的有关概念、判定、性质及应用等一系列知识，它应具目性质及应用等一系列知识，它应具目的性、科学性、实用性、趣味性、典的性、科学性、实用性、趣味性、典型性和可拓展性等特点。型性和可拓展性等特点。案例分析案例分析PABOABPAAOl案例案例1：来自课本重要知识：来自课本重要知识课题：课题：探究反比例函数和探究反比例函数和 一一 次函数的图形面积问题次函数的图形面积问题

4、 变式主线变式主线:图形变化图形变化重点重点:应用反比例函数性质应用反比例函数性质 探究面积问题探究面积问题OAB如图所示：矩形如图所示：矩形PAOB的面积是的面积是CDPAB2矩形矩形PAOB的面积是的面积是_2矩形矩形P1COD的面积是的面积是_2PAB如图所示，如图所示，矩形矩形PAOB的面积是多少？的面积是多少？OABAO如图所示：如图所示：POA的面积是的面积是PA PAO的面积是的面积是11PA如图所示：三角形如图所示：三角形POA的面积是多少？的面积是多少？AOPABOABPAAO两个基本模型两个基本模型1.如图，设矩形如图，设矩形PBOA的面积为的面积为S1，S1=OB2.在在

5、X轴正半轴上截取轴正半轴上截取BB1=OB，过点，过点B1作作X轴轴的垂线与反比例函数交于点的垂线与反比例函数交于点P 1，过，过 点点 P1作作PB的垂线，垂足为的垂线，垂足为 A1 ，设矩形，设矩形P1B1BA1的面积为的面积为S2，则，则 S2=_1POB3.在在X轴正半轴依次截取轴正半轴依次截取B1B2=B2B3=BB1，过点过点B2，B3分别作分别作X轴的垂线与反比例函数图象交于点轴的垂线与反比例函数图象交于点P 2，P3 得矩形得矩形P2B2B1A2和矩形和矩形P3B3B2A3，设面积，设面积为为S3，S4，求，求S3=_，S4=_OB1P,Sn=.OB1POP1.如图，点如图，点

6、P是双曲线上一点，过点是双曲线上一点，过点P作作X轴的垂线，轴的垂线，交交X轴于点轴于点A，若设，若设POA的面积为的面积为S1，则，则S1=_OP 2.截取截取AA1=OA,过点过点A1作作X轴的垂线交双曲轴的垂线交双曲 线于点线于点P1，若设，若设P1AA1的面积为的面积为S2，则则S2=OP3.继续截取继续截取A1A2=A2A3=A1A,用类似的方法作直用类似的方法作直 角三角形角三角形P2A2A1,直角三角形直角三角形P3A3A2,，设其面，设其面积积 分别为分别为S3,S4,则则S3=_.S4=_OPYXO1.如图，点如图，点P是双曲线上的一点，点是双曲线上的一点，点A在在X轴轴上，

7、上，PO=PA，设等腰三角形，设等腰三角形POA的面积为的面积为S1，则，则S1=1XYO2.如图，在如图，在X轴正半轴上截取轴正半轴上截取AA1=OA,作等腰作等腰三角形三角形P1AA1，P1A=P1A1,设等腰三角形设等腰三角形P1AA1的面积为的面积为S2，则，则S2=3.如图如图;继续在继续在X轴正半轴上截取轴正半轴上截取A1A2=AA1=OA,作等腰三角形作等腰三角形P2A1A2，P2A1=P2A2,设等腰三角设等腰三角形形P2A1A2的面积为的面积为S3，则，则S3=XYOXYO正方形正方形 BOAP,B1P1A1A,B2P2A2A1按如图所示的方式放置，设面积分别为按如图所示的方

8、式放置，设面积分别为 S1,S2,S3 点点P,P1,P2和点和点A,A1,A2分别在直线分别在直线 和和X轴上轴上XYOXYO(1)求点求点P的坐标。的坐标。（2）求正方形）求正方形PBOA的面积。的面积。1.等腰直角三角形等腰直角三角形POA按如图所示的方式放置，直按如图所示的方式放置，直角顶点角顶点P在直线在直线 上，点上，点A在在X轴正轴正半轴上，半轴上，(1)求点求点P的坐标。的坐标。XYO (1)求点求点P的坐标。的坐标。XYO（2）求）求 POA的面积。的面积。XYOXYO（3）求点）求点P1的坐标。的坐标。（4）你能求出）你能求出P1AA1的面积吗？的面积吗？2.如图所示，继续

9、作等腰直角如图所示，继续作等腰直角P1AA1，点，点A,A1在在X轴上，直角顶点轴上，直角顶点P1在直线上。在直线上。3.按上述方法作等腰直角按上述方法作等腰直角 P2A1A2，若点，若点P2的纵坐的纵坐标为标为m,则则 P2A1A2的面积可求吗？的面积可求吗？XYOPABOABPAAOOAB求矩形求矩形PAOB的面积的面积设计思路设计思路OB1POPXYOXYO问题问题变式变式1 1变式变式2 2变式变式3 3变式变式4 4XYO 问题问题：（北师大版（八下）第（北师大版（八下）第219页页C组第组第1题）题）如图，如图，B=32，D=38 AM、CM分别平分分别平分BAD和和BCD，(1)

10、求求M的大小吗？的大小吗？（2）你能把一般化吗？你会证明如下结论）你能把一般化吗？你会证明如下结论吗？吗？M=（B+D）l案例案例2 2：来自课本习题：来自课本习题对顶三角形对顶三角形A+B=C+DABCD问题一：问题一：平面上有平面上有A A、B B、C C、D D、E E五处食物，五处食物，一只蚂蚁想去吃食物，如果它按直线方向走而一只蚂蚁想去吃食物，如果它按直线方向走而且爬行的路线为：且爬行的路线为：ABCDEAABCDEA，你会画，你会画出它的图形吗？出它的图形吗？ABCDE求求A+B+C+D+E一题多解一题多解对顶三角形对顶三角形问题一问题一:(:(计算题计算题)图形变式图形变式1 1

11、：A+B+C+D+E+F=？360 图形变式图形变式2 2：A+B+C+D+E+F+G=？540 图形变式图形变式3 3：A+B+C+D+E+F+G+H=？720问题二：问题二：(证明题证明题)（1）如图，）如图，B=30，D=40，AE、CE分别平分分别平分BAD和和BCD，你能求，你能求E的大的大小吗？小吗？（2）你能把它一般化吗？你会证明如下结）你能把它一般化吗？你会证明如下结论吗？论吗？E=1/2（B+D）（3）若）若B：E：D=3：x：5，求，求x。问题三问题三:(作图题作图题)如图，如图，P是是ABC内一点，连结内一点，连结PC、PB，问：点问：点P在哪处时有在哪处时有BPCA？（

12、1）在射线）在射线BD上是否存在一点上是否存在一点P，使得，使得BPC=A？（2）点）点P在射线在射线BD的哪些位置上，使得的哪些位置上，使得BPCA？（3）点）点P在射线在射线BD的哪些位置上，使得的哪些位置上，使得BPCA？思考：思考：若把射线若把射线BD变成直线变成直线BD，情况会怎样呢，情况会怎样呢？计算题计算题证明题证明题作图题作图题 （08广州）如图，在梯形广州）如图，在梯形ABCD中，中，ADBC，AB=AD=DC=2cm，BC=4cm，在等腰，在等腰PQR中，中，QPR=120，底边，底边QR=6cm，点，点B、C、Q、R在同一直线在同一直线l上，且上，且C、Q两点重合，如果两

13、点重合，如果等腰等腰PQR以以1cm/秒的速度沿直线秒的速度沿直线l箭头所示方箭头所示方向匀速运动，向匀速运动，t秒时梯形秒时梯形ABCD与等腰与等腰PQR重重合部分的面积记为合部分的面积记为S平方厘米平方厘米 AA AC CP PB BD D(Q(Q)R R案例案例3 3 来自中考题来自中考题 1）当当t=4t=4时，求时，求S S的值的值 2 2）当）当 ，求，求S S与与t t的函数关系的函数关系式，并求出式，并求出S S的最大值的最大值 A AC CP PB BD D(Q(Q)R R图形运动与面积重叠问题图形运动与面积重叠问题 问题问题 ：如图如图 ABC ABC和和 DEF DEF是

14、两个形状大小是两个形状大小完全相同的等腰直角三角形，且完全相同的等腰直角三角形，且ABAB4 4，B=DEFB=DEF9090，点，点B B、C C、E E、F F在直线在直线EFEF上。现从点上。现从点C C、E E重重合的位置出发，让合的位置出发，让 ABC ABC在直线在直线EFEF上向右做匀速运上向右做匀速运动，动，DEF DEF不动，设两个三角形重合部分的面积为不动，设两个三角形重合部分的面积为y,y,运动的距离为运动的距离为x x，请写出，请写出y y与与x x的函数关系式。的函数关系式。EFDABCP 问题问题 ：如图如图 ABC ABC和和 DEF DEF是两个形状大小是两个形

15、状大小完全相同的等腰直角三角形，且完全相同的等腰直角三角形，且ABAB4 4，B=DEFB=DEF9090，点，点B B、C C、E E、F F在直线在直线EFEF上。现从点上。现从点C C、E E重重合的位置出发，让合的位置出发，让 ABC ABC在直线在直线EFEF上向右做匀速运上向右做匀速运动，动，DEF DEF不动，设两个三角形重合部分的面积为不动，设两个三角形重合部分的面积为y,y,运动的距离为运动的距离为x x，请写出，请写出y y与与x x的函数关系式。的函数关系式。EFDABC 问题问题 ：如图如图 ABC ABC和和 DEF DEF是两个形状大小是两个形状大小完全相同的等腰直

16、角三角形，且完全相同的等腰直角三角形，且ABAB4 4，B=DEFB=DEF9090，点，点B B、C C、E E、F F在直线在直线EFEF上。现从点上。现从点C C、E E重重合的位置出发，让合的位置出发，让 ABC ABC在直线在直线EFEF上向右做匀速运上向右做匀速运动，动，DEF DEF不动，设两个三角形重合部分的面积为不动，设两个三角形重合部分的面积为y,y,运动的距离为运动的距离为x x，请写出，请写出y y与与x x的函数关系式。的函数关系式。EFDABCP理解点：理解点：2 2、运动过程中重叠部分的、运动过程中重叠部分的图形形状图形形状1 1、理解运动的距离的意义、理解运动的

17、距离的意义3 3、确定分类的情形、确定分类的情形 变式变式1：若将若将“问题问题”中的两个等腰直角三角中的两个等腰直角三角形变成边长为形变成边长为4的等边三角形，其他条件不变，你能的等边三角形，其他条件不变，你能求出求出y与与x之间的函数关系式吗？之间的函数关系式吗？FEDABCP 变式变式1：若将若将“问题问题”中的两个等腰直角三角中的两个等腰直角三角形变成边长为形变成边长为4的等边三角形，其他条件不变，你能的等边三角形，其他条件不变，你能求出求出y与与x之间的函数关系式吗？之间的函数关系式吗？FEDABC 变式变式1：若将若将“问题问题”中的两个等腰直角三角中的两个等腰直角三角形变成边长为

18、形变成边长为4的等边三角形，其他条件不变，你能的等边三角形，其他条件不变，你能求出求出y与与x之间的函数关系式吗？之间的函数关系式吗？FEDABCP 变式变式2：若将若将“问题问题”中的两个等腰直角三角中的两个等腰直角三角形变成一个正方形和一个直角三角形。已知正方形形变成一个正方形和一个直角三角形。已知正方形ABCD的边长为的边长为5，RtEFG中，中，G90FG4，EG3，其他条件不变，你能求出，其他条件不变，你能求出y与与x之间的函之间的函数关系式吗？数关系式吗？EGFDCBA 变式变式2：若将若将“问题问题”中的两个等腰直角三角中的两个等腰直角三角形变成一个正方形和一个直角三角形。已知正

19、方形形变成一个正方形和一个直角三角形。已知正方形ABCD的边长为的边长为5，RtEFG中，中，G90FG4，EG3，其他条件不变，你能求出，其他条件不变，你能求出y与与x之间的函之间的函数关系式吗？数关系式吗？DCBAEGFP 变式变式2：若将若将“问题问题”中的两个等腰直角三角中的两个等腰直角三角形变成一个正方形和一个直角三角形。已知正方形形变成一个正方形和一个直角三角形。已知正方形ABCD的边长为的边长为5，RtEFG中，中，G90FG4，EG3，其他条件不变，你能求出，其他条件不变，你能求出y与与x之间的函之间的函数关系式吗？数关系式吗？DCBAEGF 变式变式2：若将若将“问题问题”中

20、的两个等腰直角三角中的两个等腰直角三角形变成一个正方形和一个直角三角形。已知正方形形变成一个正方形和一个直角三角形。已知正方形ABCD的边长为的边长为5，RtEFG中，中，G90FG4，EG3，其他条件不变，你能求出，其他条件不变，你能求出y与与x之间的函之间的函数关系式吗？数关系式吗？DCBAEGFP 变式变式2：若将若将“问题问题”中的两个等腰直角三角中的两个等腰直角三角形变成一个正方形和一个直角三角形。已知正方形形变成一个正方形和一个直角三角形。已知正方形ABCD的边长为的边长为5，RtEFG中，中，G90FG4，EG3，其他条件不变，你能求出，其他条件不变，你能求出y与与x之间的函之间

21、的函数关系式吗？数关系式吗？DCBAEGF 三角形与三角形三角形与三角形 分类分类 三角形与四边形三角形与四边形 三角形与圆三角形与圆 四边形与圆四边形与圆总结总结 3 3、三角形与圆、三角形与圆 4 4、四边形与圆、四边形与圆 1 1、三角形与三角形有：、三角形与三角形有：（1）两个直角三角形；两个直角三角形；（2）两个等腰三角形；）两个等腰三角形；（3）一个直角三角形和一个等腰三角形。）一个直角三角形和一个等腰三角形。2 2、三角形与四边形有：、三角形与四边形有：（1）三角形与正方形；）三角形与正方形；（2）三角形与矩形；）三角形与矩形；（3）三角形与梯形等。）三角形与梯形等。变式变式3：

22、如图如图，若将若将“问题问题”中的两个等腰中的两个等腰直角三角形变成一个长宽分别为直角三角形变成一个长宽分别为6和和2的矩形与的矩形与一个底边长为一个底边长为6的等腰直角三角形，其他条件的等腰直角三角形，其他条件不变，你能求出不变，你能求出y与与x之间的函数关系式吗？之间的函数关系式吗？EFG ABDCP 变式变式3：如图，若将若将“问题问题”中的两个等腰中的两个等腰直角三角形变成一个长宽分别为直角三角形变成一个长宽分别为6和和2的矩形与的矩形与一个腰长为一个腰长为6的等腰直角三角形，其他条件不的等腰直角三角形，其他条件不变，你能求出变，你能求出y与与x之间的函数关系式吗？之间的函数关系式吗？

23、EFGABDCP 变式变式3：如图，若将若将“问题问题”中的两个等腰中的两个等腰直角三角形变成一个长宽分别为直角三角形变成一个长宽分别为6和和2的矩形与的矩形与一个腰长为一个腰长为6的等腰直角三角形，其他条件不的等腰直角三角形，其他条件不变，你能求出变，你能求出y与与x之间的函数关系式吗？之间的函数关系式吗？EFGABDC 变式变式3：如图，若将若将“问题问题”中的两个等腰中的两个等腰直角三角形变成一个长宽分别为直角三角形变成一个长宽分别为6和和2的矩形与的矩形与一个腰长为一个腰长为6的等腰直角三角形，其他条件不的等腰直角三角形，其他条件不变，你能求出变，你能求出y与与x之间的函数关系式吗？之

24、间的函数关系式吗？EFGABDC 变式变式3：如图，若将若将“问题问题”中的两个等腰中的两个等腰直角三角形变成一个长宽分别为直角三角形变成一个长宽分别为6和和2的矩形与的矩形与一个腰长为一个腰长为6的等腰直角三角形，其他条件不的等腰直角三角形，其他条件不变，你能求出变，你能求出y与与x之间的函数关系式吗？之间的函数关系式吗？EFGABDC 变式变式3：如图如图，若将若将“问题问题”中的两个等腰直中的两个等腰直角三角形变成一个长宽分别为角三角形变成一个长宽分别为6和和2的矩形与一的矩形与一个腰长为个腰长为6的等腰直角三角形，其他条件不变，的等腰直角三角形，其他条件不变，你能求出你能求出y与与x之

25、间的函数关系式吗？之间的函数关系式吗？EFGABDCl案例案例4：来自竞赛题：来自竞赛题(x2-5x+4)(x2-x-2)-7 分解因式：分解因式：基本题基本题:x2-2x-15变式一变式一(指数变指数变):x4-2x2-15变式二变式二(字母变字母变):x2-2xy-15y2因式分解：因式分解：变式四变式四(形式变形式变):(x2-3x-4)(x2-3x+2)-7 变式三变式三(项数变项数变):(x2-3x)2-2(x2-3x)-15变式五变式五(形式变形式变):(x-4)(x+1)(x-2)(x-1)-7 变式五变式五(形式变形式变):(x2-5x+4)(x2-x-2)-7 改变角度改变角

26、度:变式七变式七(求值求值):已知已知:x2+5x=1,求求(1+x)(2+x)(3+x)(4+x)+1的的值值 变式八变式八(不等式不等式):求证求证:(1+x)(2+x)(3+x)(4+x)+10变式八变式八(证明证明):(1+x)(2+x)(3+x)(4+x)+1是一个完全平方式是一个完全平方式.变式九变式九(解方程解方程)：(1+x)(2+x)(3+x)(4+x)+1=25基基本本题题指数变指数变字母变字母变形式变形式变类型变类型变项数变项数变求值求值不等式不等式方程方程求证求证 要根据不同的教学实际和需要要根据不同的教学实际和需要,考虑采用考虑采用哪些变式，比如概念变式，公式变式，引

27、伸哪些变式，比如概念变式，公式变式，引伸变式，作图变式，问题变式，解法变式，情变式，作图变式，问题变式，解法变式，情景变式以及图形变式等等，这是变式教学的景变式以及图形变式等等，这是变式教学的关键，只有明确了教学的实际，我们才能知关键，只有明确了教学的实际，我们才能知道哪些是本质的特征，哪些是非本质特征，道哪些是本质的特征，哪些是非本质特征，从而确定什么可以变，什么不可以变。从而确定什么可以变，什么不可以变。二、变式拓展时应注意的几个方面二、变式拓展时应注意的几个方面l教学内容实际和需要教学内容实际和需要 问题变化的深度、广度和难度应考虑学问题变化的深度、广度和难度应考虑学生的承受能力和适应能

28、力生的承受能力和适应能力.，不能跳越太大，不能跳越太大，要让学生跳一跳就能摘到桃子，遵循从特要让学生跳一跳就能摘到桃子，遵循从特殊到一般的原则，注意知识的横向和纵向殊到一般的原则，注意知识的横向和纵向联系，使学生真正达到将知识学活、用活。联系，使学生真正达到将知识学活、用活。只有这样，我们才能让学生的思维依据教只有这样，我们才能让学生的思维依据教学目的的要求循序渐进。只有确定好一定学目的的要求循序渐进。只有确定好一定的的“度度”，我们才能做到因材施教，我们才能做到因材施教,因人施因人施教教,才能使好、中、差各类学生都有不同程才能使好、中、差各类学生都有不同程度的提高。度的提高。l问题的层次性问

29、题的层次性 在问题设计中要考虑学生的参与度，这在问题设计中要考虑学生的参与度，这是变式教学的设计要求，教师要引导学生是变式教学的设计要求，教师要引导学生大胆的进行思考和猜想大胆的进行思考和猜想,师生共同参与，通师生共同参与，通过展示数学思维过程，使学生学会主动学过展示数学思维过程，使学生学会主动学习，并从中感受数学知识的形成和创新；习，并从中感受数学知识的形成和创新；把握学生思维脉络，在学生已有的认识基把握学生思维脉络，在学生已有的认识基础上，使学生不至于感到生硬和突然，使础上，使学生不至于感到生硬和突然，使思维平衡和谐地发展思维平衡和谐地发展.。l考虑学生的参与度考虑学生的参与度三、师生同思

30、，培养能力三、师生同思，培养能力解题时要深入研究问题的解法、规律解题时要深入研究问题的解法、规律及引伸等，注重解题后的问题思考，及引伸等，注重解题后的问题思考，从中寻求可能隐藏在他们背后的某些从中寻求可能隐藏在他们背后的某些规律，形成数学技能和技巧。如探究规律，形成数学技能和技巧。如探究反比例函数和一次函数的面积问题。反比例函数和一次函数的面积问题。l思规律思规律 题目中已知什么条件？要求什么题目中已知什么条件？要求什么结论？用到结论？用到 了哪些知识、哪些方法？了哪些知识、哪些方法？解题的关键是什么？解完题不妨再回解题的关键是什么？解完题不妨再回顾一下，然后思考：是否还有别的解顾一下，然后思

31、考：是否还有别的解法或别的更加灵活、巧妙、简捷的方法或别的更加灵活、巧妙、简捷的方法？对于同一个问题法？对于同一个问题，要从不同的角，要从不同的角度去思考、观察、联想，有可能发现度去思考、观察、联想，有可能发现多种解法。多种解法。l思多解思多解求求A+B+C+D+E的度数。的度数。坚持一题多变的训练，坚持一题多变的训练，可使我们随时根据变化了的可使我们随时根据变化了的情况积极思维，从而防止和情况积极思维，从而防止和消除呆板和僵化，培养思维消除呆板和僵化，培养思维的灵活性，使教学更富于创的灵活性，使教学更富于创造性。造性。l思多变思多变 我们不能为教学而教我们不能为教学而教学，教学完后要多想想该教学，教学完后要多想想该教内容所涉及的有关概念、数内容所涉及的有关概念、数学知识、思想方法及其内在学知识、思想方法及其内在联系，进行横向或纵向比较，联系，进行横向或纵向比较，以求得深化掌握其规律，起以求得深化掌握其规律，起到事半功倍的效果。到事半功倍的效果。l思联系思联系