函数的单调性曲线的凹凸性.ppt

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1、第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性一、函数单调性的判别方法一、函数单调性的判别方法（重点）（重点）二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点（重点）（重点）三、不等式的证明三、不等式的证明（重点）（重点）四、小结四、小结Lagrange定理定理 给出了给出了函数在某区间上的函数在某区间上的增量增量与函数在区间内某点处的与函数在区间内某点处的导数导数之间的关系，为利用导数反过来研究函数的之间的关系，为利用导数反过来研究函数的性质或曲线的形态提供了一座桥梁。本节我们就性质或曲线的形态提供了一座桥梁。本节我们就来讨论这方面的问题，主要介绍：单调性、凹凸、来讨论这方面

2、的问题，主要介绍：单调性、凹凸、拐点。拐点。一、单调性的判别法一、单调性的判别法 函数在某区间上是否具有单调性是我函数在某区间上是否具有单调性是我们在研究函数的性态时，首先关注的问题。们在研究函数的性态时，首先关注的问题。1.用定义判别用定义判别第一章中已经给出了函数在某区间上单调的第一章中已经给出了函数在某区间上单调的定义，但利用定义来判定函数的单调性却是定义，但利用定义来判定函数的单调性却是很不方便的。很不方便的。从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自从几何图形上看，表示单调函数的曲线当自变量在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上变量在单调区间内按增加方向变动时，曲线总是上升（下降）的。

3、升（下降）的。这就启示我们：能否利用导数的符号来判定函这就启示我们：能否利用导数的符号来判定函数的单调性数的单调性？回答是肯定的。？回答是肯定的。2.用函数导数的符号判别函数的单调性用函数导数的符号判别函数的单调性 进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率都进一步若曲线在某区间内每点处的切线斜率都为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）角，曲线为正（负），即切线的倾角全为锐（钝）角，曲线就是上升（下降）的就是上升（下降）的定理定理1证证应用拉氏定理应用拉氏定理,得得注注若在若在(a,b)内至多有有限个导数等内至多有有限个导数等0的点和至多的点和至多有限个不可导点，而在其余点处均有有限个不可导点，而在

4、其余点处均有则由连续性，结论仍成立则由连续性，结论仍成立此判定法则对其它各种类型的区间仍适用此判定法则对其它各种类型的区间仍适用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性处的导数符号来判别一个区间上的单调性例例1 1解解开区间上讨论，闭区间上结论。开区间上讨论，闭区间上结论。例例2 2解解3、单调区间求法、单调区间求法问题问题:如上例中，函数在定义区间上不是单调的，如上例中，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调

5、定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的，可能是单调区间的分界点分界点方法方法:例例3 3解解12注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,例例4 4证证4.证明不等式（证明不等式（利用函数的单调性利用函数的单调性）例例5证证或或二级判断二级判断利用单调性证明不等式的步骤：利用单调性证明不等式的步骤：作辅助函数作辅助函数f(x):将要证的不等式作将要证的不等式作 恒等变形（

6、通常是移项）使恒等变形（通常是移项）使一端为一端为0另一端即为所作的辅助函数另一端即为所作的辅助函数f(x)求求验证验证f(x)在指定区间上的单调性在指定区间上的单调性与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证二、曲线的凹凸性与拐点二、曲线的凹凸性与拐点 前面我们介绍了函数的单调性，这对于了解函前面我们介绍了函数的单调性，这对于了解函数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较数的性态很有帮助，但仅知道单调性还不能比较全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。全面地反映出曲线的性状，还须要考虑弯曲方向。oyxL3L2L1AB 如右图所示如右图所示L1，L2

7、，L3 虽然都是从虽然都是从A点单调上升到点单调上升到B点，但它们的弯曲方向却点，但它们的弯曲方向却不一样。不一样。L1 是是“凸凸”弧，弧，L2是是“凹凹”弧弧，L3既有凸弧，也有凹既有凸弧，也有凹弧，弧，这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。这和我们日常习惯对凹凸的称呼是一致的。1、曲线凹凸的定义、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方定义定义2、曲线凹凸的判定、曲线凹凸的判定定理定理1 1证明证明分别应用分别应用L定理，得定理，得(1)(

8、2)：由假设由假设同理可证（同理可证（1）注注1.定理的结论可推广到任意区间上；定理的结论可推广到任意区间上；2.利用函数的一阶导数在利用函数的一阶导数在该区间的该区间的符号来判断符号来判断曲线的单调性；曲线的单调性；3.利用函数的二阶导数在利用函数的二阶导数在该区间的该区间的符号来判断符号来判断曲线的凹凸性。记法：曲线的凹凸性。记法：例例1 1解解01xy例例2 2解解注意到注意到,3、曲线的拐点及其求法、曲线的拐点及其求法1.1.定义：定义：2.2.拐点的求法拐点的求法方法方法1:1:注：注：二阶导数等于零或不存在的点，不一定是拐点。二阶导数等于零或不存在的点，不一定是拐点。例例3 3解解

9、凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点例例4 4解解0 xy方法方法2:2:证证由保号性定理知由保号性定理知由拐点的定义知由拐点的定义知是曲线的拐点。是曲线的拐点。例例5 5解解例例5求曲线求曲线的拐点的拐点解解是拐点是拐点三、小结三、小结1、单调性的判别是拉格朗日中值定理的、单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用重要应用.2、定理中的区间换成其它有限或无限区间，结、定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立论仍然成立.3、单调性的判别：、单调性的判别：利用函数一阶导数符号利用函数一阶导数符号.4、应用：利用函数的单调性可以确定某些方程、应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式实根的个数和证明不等式.5、曲线的弯曲方向、曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;8、改变弯曲方向的点、改变弯曲方向的点拐点拐点;6、凹凸性的判定：利用函数二阶导数符号、凹凸性的判定：利用函数二阶导数符号.7、应用：证明不等式、应用：证明不等式作作 业业第第151页页1，3（1，3，5）4（1，3）7（1，3）8（1，3，4）9（1），），11，12思考题思考题思考题解答思考题解答例例思考题思考题思考题解答思考题解答不能断定不能断定.例例但但当当 时，时，当当 时，时，注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内，都不单调递增都不单调递增