第1章极限与连续.ppt

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1、第第1 1章极限与连续章极限与连续1.1 1.1 初等函数初等函数.1.2 1.2 函数的极限函数的极限.1.3 1.3 函数极限的运算函数极限的运算.1.4 1.4 函数的连续性函数的连续性.11.1 1.1 初等函数初等函数主要内容：主要内容：1.1.函数函数.2.2.复合函数复合函数.3.3.初等函数初等函数.2一、函数一、函数1.1.定义：定义：设设D是一个非空实数集，是一个非空实数集，若对于若对于D中每一个中每一个数数x，按照某个对应关系按照某个对应关系f，总有确定的实数总有确定的实数y与之对应，与之对应，则称则称y是是x在在D上上的函数，记作：的函数，记作：y=(x).数集数集D称

2、为这个函称为这个函数的定义域数的定义域.3 有时会遇到给定一个有时会遇到给定一个x值值,对应的对应的y y值有值有多个的情多个的情形形,为了叙述方便称之为多值函数为了叙述方便称之为多值函数.若若y值唯一值唯一,称之称之为单值函数为单值函数.对于多值的情形对于多值的情形,我们可以限制我们可以限制y的值的值域使之成为单值再进行研究域使之成为单值再进行研究.4例例1 1解解例例2 2解解5分段函数：在定义域的不同范围内用不同的解析式表分段函数：在定义域的不同范围内用不同的解析式表示的函数示的函数.例如，函数例如，函数对分段函数求函数值时对分段函数求函数值时,应把自变量的值代入相应范围应把自变量的值代

3、入相应范围的表达式中去的表达式中去.例例3 3解解62.2.函数的两个要素：函数的两个要素：函数的定义域和对应法则函数的定义域和对应法则.当函数的定义域和函数的对应关系确定以当函数的定义域和函数的对应关系确定以后，这个函数就完全确定了后，这个函数就完全确定了 因此，常把函数因此，常把函数的定义域和函数的对应关系叫做确定函数的两个的定义域和函数的对应关系叫做确定函数的两个要素要素 两个函数只有当它们的定义域和对应关两个函数只有当它们的定义域和对应关系完全相同时，这两个函数才认为是完全相同的系完全相同时，这两个函数才认为是完全相同的7解解显然，只有在显然，只有在 时，时，所以这两个函数在实数集上是

4、不同的所以这两个函数在实数集上是不同的它们的对应关系才相同，它们的对应关系才相同，83.3.函数定义域的求法：函数定义域的求法：在考虑实际问题时，应根据问题的实际意义来在考虑实际问题时，应根据问题的实际意义来确定函数的定义域。对于用函数式子表示的函数，确定函数的定义域。对于用函数式子表示的函数，它的定义域应使函数表达式本身有意义它的定义域应使函数表达式本身有意义.（1 1）在分式中，分母不能为零；）在分式中，分母不能为零；（2 2）在根式中，负数不能开偶次方根；）在根式中，负数不能开偶次方根；（3 3）在对数式中，真数不能为零和负数；）在对数式中，真数不能为零和负数；（4 4）在反三角函数式中

5、，要符合反三角函数的定义域；）在反三角函数式中，要符合反三角函数的定义域；（5 5）如果函数表达式中含有分式、根式、对数）如果函数表达式中含有分式、根式、对数式及反三角函数式，则应取各部分定义域的交集式及反三角函数式，则应取各部分定义域的交集.9解解104 4反函数反函数定义：定义：习惯习惯上用上用x表示自变量，表示自变量，y表示因变量表示因变量因此函数因此函数y=f(x)的反函数可表示为的反函数可表示为的的图图象关于直象关于直线线y=x对对称称.函数函数y=f(x)的图象与其反函数的图象与其反函数11求反函数的一般步骤：求反函数的一般步骤：解解125 5函数的简单性态函数的简单性态 (1)函

6、数的单调性函数的单调性13(2)函数的奇偶性函数的奇偶性yxox-xyxox-x14解解15(3)函数的有界性函数的有界性注注意意有可能出现以下的情况：函数在其定义域上的某有可能出现以下的情况：函数在其定义域上的某一部分是有界的，而在另一部分是无界的，因此，一部分是有界的，而在另一部分是无界的，因此，讲一个函数是有界的或无界的，必须指出其相应讲一个函数是有界的或无界的，必须指出其相应的范围的范围 16(4)(4)函数的周期性函数的周期性定义定义 若周期函数存在最小正周期，则称此最小正周若周期函数存在最小正周期，则称此最小正周期为基本周期，简称周期期为基本周期，简称周期例如，例如，17二、复合函

7、数二、复合函数 1 1基本初等函数基本初等函数 我们已学过的幂函数、指数函数、对数函数、我们已学过的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.18函数函数图图像像定义域定义域(-,+)(-,+)0,+)(-,0)(0,+)值值 域域(-,+)0,+)0,+)(-,0)(0,+)奇偶性奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数非奇非偶非奇非偶奇函数奇函数单调性单调性单调增单调增(-,0内递减内递减0,+)内递增内递增单调增单调增(-,0)和和(0,+)内分别递减内分别递减oyoooyyyxxxx19函函数数a10a10a1图图像像定义域定义域(

8、-,+)(-,+)(0,+)(0,+)值值 域域(0,+)(0,+)(-,+)(-,+)单调性单调性单调增单调增单调减单调减单调增单调增单调减单调减oyoooyyyxxxx111120三角函数三角函数三角函数三角函数 函函 数数y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx图图像像定义域定义域(-,+)(-,+)值值 域域-1,1-1,1(-,+)(-,+)奇偶性奇偶性奇函数奇函数偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数周期性周期性T=T=T=T=单调增单调增单调减单调减单调增单调增单调减单调减单调减单调减单调减单调减单调增单调增单调减单调减单调减单调减单调增单调增单调增单调增单调减单调减单调增

9、单调增单调增单调增单调增单调增单调减单调减oyoooyyyxxxx21反三角函数反三角函数反三角函数反三角函数 函数函数y=arcsinxy=arccosxy=arctanxy=arccotx图图像像定义域定义域-1,1-1,1(-,+)(-,+)值值 域域单调性单调性单调增单调增单调减单调减单调增单调增单调减单调减f(-x)f(-x)=-f(x)f(-x)=-f(x)oyoooyyyxxxx11-1-1222 2复合函数复合函数定义定义例如，例如，23 为了研究的方便，往往把一个比较复杂的函数分为了研究的方便，往往把一个比较复杂的函数分解成几个比较简单的函数的复合要把复合函数分解成几个比较简

10、单的函数的复合要把复合函数分解好，必须把基本初等函数的形式记住解好，必须把基本初等函数的形式记住例例8 指出下列复合函数的复合过程：指出下列复合函数的复合过程：解解24三、初等函数三、初等函数定义定义 由基本初等函数和常数经过有限次的四由基本初等函数和常数经过有限次的四则运算及有限次的复合而构成的并且只用一个解析则运算及有限次的复合而构成的并且只用一个解析式表示的函数称为初等函数式表示的函数称为初等函数 例如，例如，应当注意：应当注意：所以它也是初等函数所以它也是初等函数 25四、小结四、小结1.1.函数的定义函数的定义.分段函数：在定义域的不同范围内用不同的解析式表分段函数：在定义域的不同范围内用不同的解析式表示的函数示的函数.2.2.函数的两个要素：函数的两个要素：函数的定义域和对应法则函数的定义域和对应法则.3.3.函数定义域的求法函数定义域的求法.4.4.反函数及其求法反函数及其求法.5.5.函数的简单性态：函数的简单性态：单调性、奇偶性、有界性和周期单调性、奇偶性、有界性和周期性性.6.6.基本初等函数基本初等函数.7.7.复合函数复合函数.8.8.初等函数初等函数26布置作业布置作业:27