221直线的参数方程.ppt

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1、2.2.1直线的参数方程(1)主备：冯宗明 喻浩 徐洪燕 审核：牟必继有计划就去做，不要总找借口一、教学目标一、教学目标：知识与技能：知识与技能：了解直线参数方程的条件及参数的意义 过程与方法过程与方法：能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义情感、态度与价值观情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。二重难点：教学重点二重难点：教学重点：曲线参数方程的定义及方法教学难点：教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程.三、教学方法：三、教学方法：启发、诱导发现教学.（1）在在取取定定的的坐坐标标系系中中，如如果果曲曲线线上上任任意意一一点点的的坐坐标标x、y

2、都是某个变数都是某个变数t的函数，即的函数，即并并且且对对于于t的的每每一一个个允允许许值值，由由上上述述方方程程组组所所确确定定的的点点M（x,y）都都在在这这条条曲曲线线上上，那那么么上上述述方方程程组组就就叫叫做做这这条条曲曲线线的的参参数数方方程程，联联系系x、y之之间间关关系系的的变变数数叫叫做做参参变变数数，简简称称参参数数。参参数数方方程程的的参参数数可可以以是是有有物物理理、几几何何意意义义的的变变数数，也也可可以以是是没没有有明明显显意意义义的的变数。变数。（2）相相对对于于参参数数方方程程来来说说，前前面面学学过过的的直直接接给给出出曲曲线上点的坐标关系的方程，叫做曲线的线

3、上点的坐标关系的方程，叫做曲线的普通方程普通方程。1、参数方程的概念、参数方程的概念一、复习回顾一、复习回顾注意：注意：(1)、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵、参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横、纵坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数坐标之间的关系，而是分别体现了点的横、纵坐标与参数之间的关系。之间的关系。(2)、参数方程的应用往往是在、参数方程的应用往往是在x与与y直接关系很难或不可直接关系很难或不可能体现时，通过参数建立间接的联系。能体现时，通过参数建立间接的联系。(3)同一曲线选取参数不同同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样曲线参数方程形式也不

4、一样;(4)在实际问题中要确定参数的取值范围在实际问题中要确定参数的取值范围.2、求曲线的参数方程一般步骤、求曲线的参数方程一般步骤:（1）建立直角坐标系）建立直角坐标系,设曲线上任一点设曲线上任一点P坐标为坐标为(x,y)；（2）选取适当的参数）选取适当的参数t;（3）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义物理意义,建立点建立点P坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式;（4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程;请同学们回忆:我们学过的直线的普通方程都有哪些?两点式:点斜式:一般式:3、什么叫做向量？向量有哪些表示方法？、

5、什么叫做向量？向量有哪些表示方法？4、向量的数量是怎样的？、向量的数量是怎样的？2、直线的参数方程有许多形式，但我们主要学习、直线的参数方程有许多形式，但我们主要学习其中的两种基本的形式：其中的两种基本的形式：二、新课讲解：二、新课讲解：1、引出问题引出问题:直线的参数方程是怎样的？今天我们直线的参数方程是怎样的？今天我们来研究来研究直线的参数方程直线的参数方程，（1 1）一条直）一条直线线L L的的倾倾斜角是斜角是30300 0，并且经过点，并且经过点P（2，3），如何描述直线），如何描述直线L上任意点的位置呢？上任意点的位置呢？3 3、教、教师师引引导导学生推学生推导导直直线线的参数方程：

6、的参数方程：OxylP所求直线的参数方程为：所求直线的参数方程为：(t为参数为参数)M(x,y)是直线上的是直线上的任意任意一点一点.其中其中参数参数t的几何意义的几何意义是丛是丛点点P到到M的位移的位移,可以用有向线段可以用有向线段PM=t的数量表示。的数量表示。M设直线上的任意一点设直线上的任意一点M(x,y)QPM=t 3 3、教、教师师引引导导学生推学生推导导直直线线的参数方程：的参数方程：所求直线的参数方程为：所求直线的参数方程为：如果已知直线如果已知直线L经过两个定点经过两个定点Q(1，1),P(4，3),那么又如何描述直线那么又如何描述直线L上任意点的位置呢？上任意点的位置呢？O

7、xylPQ其中参数其中参数 的几何意义是点的几何意义是点M分有向线段分有向线段QP的数量比。的数量比。(为参数为参数)M设直线上的任意一点设直线上的任意一点M(x,y)BNA抽象概括一般的直抽象概括一般的直线线的参数方程：的参数方程：也即是从点也即是从点P到到M的位移，可以用有向线段的位移，可以用有向线段PM的的数量表示。数量表示。抽象概括一般的直抽象概括一般的直线线的参数方程：的参数方程：如果已知直线如果已知直线L经过两个定点经过两个定点Q(x1,y1),P(x2,y2)的的直线的参数方程为：直线的参数方程为：OxylPQ其中参数其中参数 的几何意义是点的几何意义是点M分有向线段分有向线段Q

8、P的数量比：的数量比：M设直线上的任意一点设直线上的任意一点M(x,y)当当时时，M M为为内分点；内分点；当当 时时，点，点M M与与Q Q重合。重合。当当 且且 时时，M M为为外分点；外分点；(为参数，为参数，)(1)(1)一条直一条直线线L L的的倾倾斜角是斜角是,并且经过点并且经过点P(x0,y0)的的直线的参数方程为：直线的参数方程为：OxylP所求直线的参数方程为：所求直线的参数方程为：(t为参数为参数)M(x,y)是直线上的是直线上的任意任意一点一点.其中参数其中参数t的几何意义是丛的几何意义是丛点点P到到M的位移的位移,可以用有向线段可以用有向线段PM的数量表示。的数量表示。

9、4 4、抽象概括一般的直、抽象概括一般的直线线的参数方程：的参数方程：M设直线上的任意一点设直线上的任意一点M(x,y)如果已知直线如果已知直线L经过两个定点经过两个定点Q(x1,y1),P(x2,y2)的的直线的参数方程为：直线的参数方程为：OxylPQ其中参数其中参数 的几何意义是点的几何意义是点M分有向线段分有向线段QP的数量比：的数量比：M设直线上的任意一点设直线上的任意一点M(x,y)当当时时，M M为为内分点；内分点；当当 时时，点，点M M与与Q Q重合。重合。当当 且且 时时，M M为为外分点；外分点；(为参数，为参数，)当点当点M在线段在线段QP上时上时,取取“+”;当点当点

10、M在线段在线段QP的延长线或反向延长线上时的延长线或反向延长线上时,取取“-”号。号。三、例题讲解三、例题讲解练习：练习：B3、P32 练习练习1,2,3 如果在学习直线的参数方程之前,你会怎样求解本题呢？2 四、课堂练习四、课堂练习练习练习 四、课堂小结四、课堂小结2.2.1直线的参数方程直线的参数方程(2)(1)(1)一条直一条直线线L L的的倾倾斜角是斜角是,并且经过点并且经过点P(x0,y0)的的直线的参数方程为：直线的参数方程为：OxylP(t为参数为参数)M(x,y)是直线上的是直线上的任意任意一点一点.其中参数其中参数t的几何意义是丛点的几何意义是丛点P到到M的位移的位移,可以用

11、有向线段可以用有向线段PM的数量表示的数量表示1 1、复、复习习回回顾顾：直：直线线的参数方程：的参数方程：M(标准形式标准形式)当点当点M(x，y)在点在点(x0，y0)的上方时，的上方时，t0；当点当点M(x，y)在点在点(x0，y0)的下方时，的下方时，t0；当点当点M(x，y)与点与点(x0，y0)重合时，重合时，t=0.以上反之亦然以上反之亦然 (t是参数是参数)，这虽然不是标准形式，但，这虽然不是标准形式，但仍表示过仍表示过P(x0,y0)且倾斜角且倾斜角 为的直线，参数为的直线，参数t与标准方程与标准方程的的t是互为相反数。是互为相反数。(2,-1)110BD(2)直线的参数方程

12、的直线的参数方程的一般形式一般形式：(t为参数为参数)其其中中(x0，y0)表表示示该该直直线线上上的的一一点点,表表示示直直线线的的斜斜率率当当a，b分分别别表表示示点点M(x，y)在在x轴轴正正方方向向与与y轴轴正正方方向向的的分分速速度度时时,t就就具具有有物物理理意意义义时时间间,相相应应的的at，bt则则表表示示点点M(x，y)在在x轴正方向、轴正方向、y轴正方向上相对轴正方向上相对(x0，y0)的位移的位移解：由题意知则直线解：由题意知则直线PQ的方程是的方程是 (时间时间t 是参数是参数)将将t=3s代入得代入得Q（8，14）。）。例一个小虫从例一个小虫从P（1，2）出发）出发,

13、已知它在已知它在 x轴方向的分速轴方向的分速度是度是3,在在y轴方向的分速度是轴方向的分速度是4,问小虫问小虫3s后的位置后的位置Q。说明：说明：(1)标准形式是一般形式的特殊情况。标准形式是一般形式的特殊情况。一般式中当一般式中当a2+b2=1且且b0就是标准形式。就是标准形式。(2)当当a2+b21，可以把一般形式转化为可以把一般形式转化为标准标准形式。过程形式。过程 如下：如下：一般仍一般仍写成写成转化之后仍表示同一条曲线。转化之后仍表示同一条曲线。如果已知直线如果已知直线L经过两个定点经过两个定点Q(x1,y1),P(x2,y2)的的直线的参数方程为：直线的参数方程为：OxylPQ其中

14、参数其中参数 的几何意义是点的几何意义是点M分有向线段分有向线段QP的数量比：的数量比：M设直线上的任意一点设直线上的任意一点M(x,y)当当时时，M M为为内分点；内分点；当当 时时,点点M M与与Q Q重合。重合。当当 且且 时时，M M为为外分点；外分点；(为参数，为参数，)当点当点M在线段在线段QP上时上时,取取“+”;当点当点M在线段在线段QP的延长线或反向延长线上时的延长线或反向延长线上时,取取“-”号。号。当当 时时.点点M M是是线线段段QPQP的中点。的中点。1说明说明：1、由曲线的参数方程知道，每个参数值对、由曲线的参数方程知道，每个参数值对应曲线上的一个点，所以要求曲线上

15、的一个点，可应曲线上的一个点，所以要求曲线上的一个点，可先求这个点对应的那个先求这个点对应的那个 参数的值。参数的值。2、直、直线线的的参数方程的参数方程的标标准形式准形式的的应应用用：(1)参数参数t的几何意的几何意义义是定点是定点P(x0,y0)到到M(x,y)的有向的有向线线段的数量段的数量(2)设设直直线线上的三点上的三点A,B,C对应对应的参数分的参数分别别是是t1,t2t3,则则有有过过定点定点P(x0,y0)且且倾倾斜角斜角 的直线的参数方程为：的直线的参数方程为：如点如点C是线段是线段AB的中点，则有的中点，则有特殊地，点特殊地，点P是线段是线段AB的中点，则有的中点，则有例1

16、ABM(-1,2)xyO解:因为把点M的坐标代入直线方程后,符合直线方程,所以点M在直线上.易知直线的倾斜角为把它代入抛物线y=x2的方程,得ABM(-1,2)xyO直线参数方程的应用（标准形式）直线参数方程的应用（标准形式）1）求一端点是求一端点是M0(x0,y0)的线段长的线段长3）求一端点是求一端点是M0(x0,y0)的两线段的两线段长长的和与积的和与积2)求弦长求弦长错解：错解：错错误误分分析析：直直线线的的参参数数方方程程必必须须先先转转化化为为标标准准形形式式后后才才可可运用，即要理解直线的参数方程中的参数的几何意义运用，即要理解直线的参数方程中的参数的几何意义正解：正解：点点评评

17、：要要求求A、B两两点点到到P的的距距离离之之和和或或积积，由由参参数数的的几几何何意意义义，即即只只要要求求|tA|+|tB|或或|tAtB|，求求|AB|即即求求出出|tA-tB|，运运用用韦韦达达定定理理和和直直线线的的参参数数方方程程中中t的的几几何何意意义义即即可可，是是解解决直线和二次曲线问题常用的方法之一决直线和二次曲线问题常用的方法之一(3,4)B9直线的参数方程：直线的参数方程：经过两个定点经过两个定点 的直线的参数方程为：的直线的参数方程为：（为参数，）例例2求点求点A（1，2）关于直线）关于直线l：2x 3y+1=0的的对称点对称点A 的坐标。的坐标。解：由条件，设直线解

18、：由条件，设直线AA 的参数方程为的参数方程为(t是参数是参数)，A到直线到直线l的距离的距离d=，t=AA=，代入直线的参数方程得代入直线的参数方程得A(，)。点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此处则是充分利用了参数再用中点公式，而此处则是充分利用了参数 t 的几何意义。的几何意义。二、求解中点问题二、求解中点问题 例例3已知双曲线已知双曲线 ，过点，过点P（2，1）的）的直线交双曲线于直线交双曲线于P1，P2，求线段，求线段P1P2的中点的中点M的的轨迹方程。轨迹方程。分析：中点问题与弦长有关

19、，考虑用直线的参分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有数方程，并注意有t1+t2=0。解：设解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线为轨迹上任一点，则直线P1P2的方程是的方程是 。(t是参数是参数)，代入双曲线方程得：，代入双曲线方程得：(2cos2 sin2)t2+2(2x0cos y0sin)t+(2x02 y02 2)=0，由题意由题意t1+t2=0，即，即2x0cosy0sin=0，得，得 。又直线又直线P1P2的斜率的斜率 ，点点P（2，1）在直线）在直线P1P2上，上，即即2x2 y2 4x+y=0为所求的轨迹的方程。为所求的轨迹的方程。三、求定点到动点的距

20、离三、求定点到动点的距离 例例4直线直线l过点过点P(1，2)，其参数方程为，其参数方程为(t是参数是参数)，直线，直线l与直线与直线 2x+y 2=0 交于点交于点Q，求求PQ。解：将直线解：将直线l的方程化为标准形式的方程化为标准形式 ，代入代入 2x+y 2=0得得 t=，PQ=|t|=。点评：题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，点评：题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。一般要将方程改成以位移为参数的标准形式。解：直线解：直线l的方程可写成的方程可写成 ，代入圆的方程整，代入圆的方程整理得：理得：t2+t4=0，设点，设

21、点A，B对应的参数分别是对应的参数分别是t1，t2，则，则t1+t2=，t1 t2=4，由，由t1 与与t2的符号相的符号相反知反知PA+PB=|t1|+|t2|=|t1 t2|=，PA PB=|t1 t2|=4。例例5经过点经过点P(1，2)，倾斜角为，倾斜角为 的直线的直线 l与圆与圆 x2+y2=9相交于相交于A，B两点，求两点，求PA+PB和和PA PB的值。的值。点评：解决本题的关键一是正确写点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的异同。应的参数的符号的异同。解：由条件可设解：由条件可设AB的方程为的方程为 (t是参数

22、是参数)，代入抛物线方程得代入抛物线方程得t2sin22ptcos p2=0，由韦达定理：由韦达定理：，AB=|t1 t2|=四、求直线与曲线相交弦的长四、求直线与曲线相交弦的长例例6已知抛物线已知抛物线y2=2px，过焦点，过焦点F作倾斜角为作倾斜角为的直线交抛物线于的直线交抛物线于A，B两点，求证：两点，求证：分析：弦长分析：弦长AB=|t1 t2|。例例7已知椭圆的中心在原点，焦点在已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过轴上，过椭圆左焦点椭圆左焦点F且倾斜角为且倾斜角为60的直线交椭圆于的直线交椭圆于A，B两点，若两点，若FA=2FB，求则椭圆的离心率。，求则椭圆的离心率。分析：分析：F

23、A=2FB转化成直线参数方程中的转化成直线参数方程中的 t1=2t2或或|t1|=2|t2|。解：设椭圆方程为解：设椭圆方程为 ，左焦点，左焦点F1（c，0），直），直线线AB的方程为的方程为 ，代入椭圆整理可得：，代入椭圆整理可得：(b2+a2)t2 b2ct b4=0，由于，由于t1=2t2，b2=a2 c2代入，代入，8 c2=3 a2+a2 c2，得，得 则则 ，22+得：得：e=思考：思考：例例2的解法对一般圆锥曲线适用吗？的解法对一般圆锥曲线适用吗？把把“中点中点”改为改为“三等分点三等分点”，直，直线线l的方程怎样求？的方程怎样求？在研究线段的长度或线段与线段之间的关系在研究线段

24、的长度或线段与线段之间的关系时，往往要正确写出直线的参数方程，利用时，往往要正确写出直线的参数方程，利用 t 的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直线参数方程这是直线参数的主要用途；通过直线参数方程将直线上动点坐标用同一参变量将直线上动点坐标用同一参变量 t 来表示，可来表示，可以将二元问题转化为一元问题来求解，体现了以将二元问题转化为一元问题来求解，体现了等价转化和数形结合的数学思想。等价转化和数形结合的数学思想。小小 结结1直线直线 l:(t为参数为参数)与圆与圆 x2+y2=9相交于相交于A,B两点两点.P(-1,2),求求(1)|PA|+|PB|和和|PA|PB|的值。的值。(2)求弦求弦AB的中点坐标。的中点坐标。