中国古代数学家.pptx

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1、中国古代数学家中国古代数学家邯郸市第二中学 王世明1.刘徽刘徽“割圆术割圆术”中的极限思中的极限思想；想；2.我国古代数学家我国古代数学家祖冲之祖冲之在计在计算圆周率的巨大历史意义；算圆周率的巨大历史意义；3.祖暅祖暅继承和完善前人对球体继承和完善前人对球体积的推导提出了截面原理积的推导提出了截面原理“祖祖暅原理暅原理”主要内容主要内容刘徽刘徽 刘徽刘徽，魏晋年间人，魏晋年间人.自幼自幼好学，尤喜数学好学，尤喜数学.据据隋书隋书律历志律历志记载记载,他于公元他于公元263年撰年撰九章算术注九章算术注.最突出的成就是最突出的成就是割圆术割圆术和体积理论和体积理论.1.刘徽与九章算术注九章算术注中

2、所蕴涵的逻辑思想、重验思想、极限思想、求理思想、创新思想、对立统一思想和言意思想等均是其科学思想的真实体现。刘徽集各家优秀思想方法，并加以创新而用于数学研究，使以九章算术为代表的中国传统数学发生了根本性的变化，并上升到了一个新的阶段。割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之失弥少，割之又割，以至于又割，以至于不可割，则与不可割，则与圆合体而无所圆合体而无所失矣失矣.刘徽的刘徽的“割圆术割圆术”l刘徽刘徽“割圆术割圆术”的基本思想是的基本思想是“化圆为方化圆为方”，并，并借助于极限的方法。借助于极限的方法。问题问题1：l刘徽从圆的内接正六边形出发，并取半径为刘徽从圆的内接正六边形出发，并取半径为1尺

3、，一直推算到圆的内接正尺，一直推算到圆的内接正192边形。得到圆边形。得到圆周率的近似值为周率的近似值为3.14，为为分数就是，为为分数就是157/50，这就是著名的，这就是著名的“徽率徽率”。从刘徽割圆术看出，他明从刘徽割圆术看出，他明确地多次使用了极限思想，并确地多次使用了极限思想，并采取了对面积进行无穷小分割，采取了对面积进行无穷小分割，然后求其极限状态的和的方式然后求其极限状态的和的方式解决圆面积问题的方法解决圆面积问题的方法.这说明刘徽头脑中已经有了朴素的积分思这说明刘徽头脑中已经有了朴素的积分思想的萌芽想的萌芽.他是中算史上第一个建立可靠的理他是中算史上第一个建立可靠的理论来推算圆

4、周率的数学家论来推算圆周率的数学家.割圆术割圆术 古希腊穷竭法与古代中国的割圆术极古希腊穷竭法与古代中国的割圆术极相似，刘徽的割圆术比古希腊晚几百年，相似，刘徽的割圆术比古希腊晚几百年，但他的成就超过了和他同时代的数学家但他的成就超过了和他同时代的数学家.首先，阿基米德的不等式既要用到圆首先，阿基米德的不等式既要用到圆的内接正多边形又要用到圆的外切正多边的内接正多边形又要用到圆的外切正多边形，而刘徽的不等式只需用圆内接正多边形，而刘徽的不等式只需用圆内接正多边形；其次，当时我国已使用十进位值记数，形；其次，当时我国已使用十进位值记数，并且算筹技术十分发达，乘方、开方都能并且算筹技术十分发达，乘

5、方、开方都能迅速完成数字计算比古希腊人要容易的多迅速完成数字计算比古希腊人要容易的多.问题问题2：牟合方盖牟合方盖 刘徽看出九章算术中的球体积公式刘徽看出九章算术中的球体积公式是错误的，为正确计算球的体积，他创造了是错误的，为正确计算球的体积，他创造了一个新的立体图形一个新的立体图形“牟合方盖牟合方盖”.牟合方盖牟合方盖 牟合方盖牟合方盖象是上下相对的两把方伞一样的立象是上下相对的两把方伞一样的立体图形体图形.伞也伞也上下相等之意上下相等之意刘徽用刘徽用截面法截面法 用水平截面去截用水平截面去截牟合方盖与它的内切球，牟合方盖与它的内切球，所得截面为：所得截面为：求求内切球内切球的体积的体积求求

6、牟合方盖牟合方盖的体积的体积 观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而观立方之内，合盖之外，虽衰杀有渐，而多少不掩多少不掩.判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不判合总结，方圆相缠，浓纤诡互，不可等正可等正.欲陋形措意，惧失正理欲陋形措意，惧失正理.敢不阙疑，以敢不阙疑，以俟能言者俟能言者.刘徽：刘徽：三、祖冲之父子的解决办法三、祖冲之父子的解决办法祖冲之祖冲之(429-500),中国南中国南北朝时期杰出的数学家、天文北朝时期杰出的数学家、天文学家学家和机械制造专家和机械制造专家，祖籍今，祖籍今河北省涞源县河北省涞源县.祖祖暅，暅，也是著名的数学家和天也是著名的数学家和天文学家，继承和发展了其父亲文学家

7、，继承和发展了其父亲的科学事业的科学事业.缀术缀术是他们父是他们父子完成的数学杰作子完成的数学杰作.祖冲之祖冲之(429-500)祖冲之祖冲之及其子及其子祖暅祖暅计算了计算了圆内接正圆内接正6144边形和正边形和正12288边形的面积，得出边形的面积，得出3.14159263.1415927求求出精确到第七位有效数字出精确到第七位有效数字的圆周率，的圆周率，领先世界达千领先世界达千年之久年之久。祖冲之的杰出成就，主要在天文历法、祖冲之的杰出成就，主要在天文历法、机械和数学三方面。祖冲之之子祖暅也是机械和数学三方面。祖冲之之子祖暅也是一个博学多才的人并子承父业，他的成就一个博学多才的人并子承父业

8、，他的成就也是在历法和数学方面。也是在历法和数学方面。密率：密率：约率：约率：“密率：圆径一百一十三，圆周三百五密率：圆径一百一十三，圆周三百五十五；约率：圆径七，周二十二十五；约率：圆径七，周二十二.”隋书隋书律历志律历志 约率早已被阿基米德所知，但密率却是约率早已被阿基米德所知，但密率却是一项史无前例的创举。密率一项史无前例的创举。密率 ，为，为纪念祖冲之的首创之功，纪念祖冲之的首创之功，“密率密率”因此又被称因此又被称为为“祖率祖率”.在一个正方体内作两个互相垂直内切在一个正方体内作两个互相垂直内切圆柱，这两个圆柱的公共部分是牟合方盖圆柱，这两个圆柱的公共部分是牟合方盖.刘徽指出，每一个

9、高度上的水平截面刘徽指出，每一个高度上的水平截面圆与其外切正方形的面积比都为圆与其外切正方形的面积比都为 ，因此，因此球体积与牟合方盖的体积之比也是球体积与牟合方盖的体积之比也是 这就是西方的这就是西方的“卡瓦列利原理卡瓦列利原理”.刘徽没能把它总结为一般形式并且未刘徽没能把它总结为一般形式并且未能求出能求出“牟合方盖牟合方盖”的体积的体积.但他创立的特但他创立的特殊形式的不可分量方法却为后人解决球的殊形式的不可分量方法却为后人解决球的体积问题指明了方向体积问题指明了方向.曾经困扰刘徽的球体积问题到祖冲之时代曾经困扰刘徽的球体积问题到祖冲之时代获得了突破。这个正确结果记载在九章算术获得了突破。

10、这个正确结果记载在九章算术“开立圆术开立圆术”之李淳风注中，称为之李淳风注中，称为“祖暅之祖暅之开立圆术开立圆术”。八分之一个牟八分之一个牟合方盖图形合方盖图形完整的一个牟完整的一个牟合方盖图形合方盖图形祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何祖暅原理也称祖氏原理，一个涉及几何求积的著名命题。公元求积的著名命题。公元656656年，唐代李淳年，唐代李淳风注风注九章九章时提到祖暅的开立圆术。时提到祖暅的开立圆术。祖暅在求球体积时，使用一个原理：祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异幂势既同，则积不容异”。“幂幂”是截是截面积，面积，“势势”是立体的高。意思是两个是立体的高。意思是两个同

11、高的立体，如在等高处的截面积相等，同高的立体，如在等高处的截面积相等，则体积相等。更详细点说就是，界于两则体积相等。更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个立体的体积截面的面积相等，则这两个立体的体积相等。上述原理在中国被称为祖暅相等。上述原理在中国被称为祖暅原理原理,国外国外则一般称之为卡瓦列利原理。则一般称之为卡瓦列利原理。祖暅原理祖暅原理祖暅祖暅对球体积的推导也遵循了刘徽对球体积的推导也遵循了刘徽的方法，具体做法是，先取牟合方的方法，具体做法是，先

12、取牟合方盖的八分之一考虑它的外切正方体，盖的八分之一考虑它的外切正方体，它把这个正方体又分出它把这个正方体又分出三个小立体，个小立体，牟合方盖的八分之一部分称为牟合方盖的八分之一部分称为“内内棋棋”，三个小立体称为，三个小立体称为“外棋外棋”牟合方盖的八分之一牟合方盖的八分之一内内棋棋外外棋棋 三外棋的体积之和三外棋的体积之和等于一个长宽高皆为等于一个长宽高皆为立方体边长的四棱锥立方体边长的四棱锥的体积的体积.hr取八分之一的立方体和牟合方盖，取八分之一的立方体和牟合方盖，设底面边长为设底面边长为hrrr 根据上述分析可知：根据上述分析可知：，所以，所以又根据刘徽的结论可知：又根据刘徽的结论可

13、知：，即，即 在推导球体积问题上，刘徽与祖暅各完成了在推导球体积问题上，刘徽与祖暅各完成了任务的一半，刘徽确定了任务的一半，刘徽确定了“牟合方盖牟合方盖”之形，指之形，指明了努力的方向，而祖暅则算出了明了努力的方向，而祖暅则算出了“牟合方盖牟合方盖”的体积。从而的体积。从而得到了正确的球体积公式。得到了正确的球体积公式。球的表面积球的表面积r总底面积为球的表面积总底面积为球的表面积 总结总结总结总结刘徽刘徽是中国古代数学理论的奠基人，是中是中国古代数学理论的奠基人，是中算史上第一个建立可靠的理论来推算圆周率算史上第一个建立可靠的理论来推算圆周率的数学家。的数学家。祖冲之祖冲之求出精确到第七位有效数字的圆周求出精确到第七位有效数字的圆周率，领先世界达千年之久。率，领先世界达千年之久。祖暅祖暅则算出了则算出了“牟合方盖牟合方盖”的体积，得到的体积，得到了正确的球体积公式。了正确的球体积公式。