23　数学归纳法（１）.ppt

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1、 2.3 2.3数学归纳法数学归纳法(1)(1)对于某类事物，由它的一些特殊事对于某类事物，由它的一些特殊事例或其全部可能情况，归纳出一般例或其全部可能情况，归纳出一般结论的推理方法，叫归纳法。结论的推理方法，叫归纳法。归纳法归纳法 完全归纳法完全归纳法不完全归纳法不完全归纳法由特殊由特殊 一般一般 特点特点:a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3dan=a1+(n-1)d如何证明如何证明:1+3+5+(2n-1)=n2 (nN*)二、数学归纳法的概念：二、数学归纳法的概念：证明某些与自然数有关的数学题证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来可用下列方法来证明它们的正确性证明它们的正

2、确性:(1)(1)验证验证当当n n取第一个值取第一个值n n0 0(例如例如n n0 0=1)=1)时命题成立时命题成立,(2)(2)假设假设当当n=n=k(kk(k N N*，k k n n0 0)时命题成立时命题成立,证明当证明当n=k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立完成这两步，就可以断定这个命题对从完成这两步，就可以断定这个命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n都成立。这种证明方法叫做都成立。这种证明方法叫做数学归纳法。数学归纳法。验证验证n=nn=n0 0时命时命题成立题成立若若当当n=k(n=k(k k n n0 0)时命题成立时命题成立,证明当证明当n=

3、k+1n=k+1时命题也成立时命题也成立命题对从命题对从n n0 0开始的所开始的所有正整数有正整数n n都成立。都成立。所以所以n=k+1时结论也成立时结论也成立那么那么求证求证注意注意 1 1.用数学归纳法进行证明时用数学归纳法进行证明时,要分两个步要分两个步骤骤,两个步骤缺一不可两个步骤缺一不可.2(1)(1)(归纳奠基归纳奠基)是递推的基础是递推的基础.找准找准n n0 0(2)(2)(归纳递推归纳递推)是递推的依据是递推的依据n nk k时时命题成立作为必用的条件运用，而命题成立作为必用的条件运用，而n nk+1k+1时情况则有待时情况则有待利用假设利用假设及已知的定义、公式、及已知

4、的定义、公式、定理等加以证明定理等加以证明证明：证明：当当n=1n=1时，左边时，左边=1=1，右边，右边=1=1，等式成立。，等式成立。假设假设n=k(kN,k1)n=k(kN,k1)时等式成立时等式成立,即：即：1+3+5+1+3+5+(2k-1)=k+(2k-1)=k2 2，当当n=k+1n=k+1时：时：1+3+5+1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1=k+(2k-1)+2(k+1)-1=k2 2+2k+1=(k+1)+2k+1=(k+1)2 2，所以当所以当n=k+1n=k+1时等式也成立。时等式也成立。由由和和可知，对可知，对nN nN，原等式都成立。原等式都成立。例、用数学

5、归纳法证明例、用数学归纳法证明1+3+5+1+3+5+(2n-1)=n+(2n-1)=n2 2 （nN nN）.请问：请问：第第步中步中“当当n=k+1n=k+1时时”的证明可否改换为：的证明可否改换为：1+3+5+1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1=1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1=1+3+5+(2k-1)+(2k+1)+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)=(k+1)2 2?为什么？为什么？例例:用数学归纳法证明用数学归纳法证明注意注意 1 1.用数学归纳法进行证明时用数学归纳法进行证明时,要分两个步要分两个步骤骤,两个步骤缺一不可两个步骤缺一不可.2(1)(1)(归纳

6、奠基归纳奠基)是递推的基础是递推的基础.找准找准n n0 0(2)(2)(归纳递推归纳递推)是递推的依据是递推的依据n nk k时时命题成立作为必用的条件运用，而命题成立作为必用的条件运用，而n nk+1k+1时情况则有待时情况则有待利用假设利用假设及已知的定义、公式、及已知的定义、公式、定理等加以证明定理等加以证明例、求证例、求证:(n+1)(n+2)n+1)(n+2)(n+n)=2(n+n)=2n n 1 1 3 3 (2n-1)(2n-1)证明：证明：n=1n=1时：左边时：左边=1+1=2=1+1=2，右边，右边=2=21 11=21=2，左边左边=右边，等右边，等 式成立。式成立。假

7、设当假设当n=k(kN n=k(kN）时有：时有：(k+1)(k+2)(k+1)(k+2)(k+k)=2(k+k)=2k k 1 1 3 3(2n-1),(2n-1),当当n=k+1n=k+1时：时：左边左边=(k+2)(k+3)=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)(k+k)=2 =2k k 1 1 3 3(2k-1)(2k+1)(2k-1)(2k+1)2 2 =2 =2k+1k+11 1 3 3(2k-1)(2k-1)2(k+1)-1=2(k+1)-1=右边，右边，当当n=k+1n=k+1时等式也成立。时等式也成立。由由 、可知，对一切可知，对一切nN,nN,原等式均成立。原等式均成立。