微积分下第一分册8.1预备知识.ppt

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1、6.46.4一、平面图形的面积一、平面图形的面积定积分的应用 二二、经济应用举例、经济应用举例由连续曲线由连续曲线以及两直线以及两直线所围成所围成 的曲边梯形面积的曲边梯形面积:一、平面图形的面积一、平面图形的面积(定积分的几何意义定积分的几何意义)1.设曲线设曲线与直线与直线及及 x 轴所围曲轴所围曲则则边梯形面积为边梯形面积为 S,所围成图形所围成图形2.由曲线由曲线面积为面积为 所围成图形所围成图形由曲线由曲线面积为面积为 所围成图形所围成图形由曲线由曲线面积为面积为 总结：总结：例例1.计算两条抛物线计算两条抛物线在第一象限所围在第一象限所围图形的面积图形的面积.解解:由由得交点得交点

2、所围成图形所围成图形由曲线由曲线3.直线直线面积为面积为所围成图形面积为所围成图形面积为由曲线由曲线4.直线直线 轴轴例例2.计算抛物线计算抛物线与直线与直线的面积的面积.解解:由由得交点得交点所围图形所围图形为简便计算为简便计算,选取选取 y 作积分变量作积分变量,则有则有例例3.求椭圆求椭圆解解:利用对称性利用对称性,所围图形的面积所围图形的面积.有有设设 原积分原积分=原积分原积分=椭圆面积椭圆面积A=二二、经济应用举例、经济应用举例1、已知总产量变化率求总产量、已知总产量变化率求总产量总产量为总产量为Q,其变化率是连续函数其变化率是连续函数 ，（为时间）为时间）例例1、已知某产品的年销

3、售率为已知某产品的年销售率为求总量函数求总量函数解：解：总量函数为总量函数为2、已知边际函数求总量函数、已知边际函数求总量函数已知已知求求固定成本固定成本；（为产量）为产量）例例2、已知某产品的边际成本和边际收益函数分已知某产品的边际成本和边际收益函数分 别为别为且固定成本为且固定成本为100。其中。其中Q为销售量，为销售量，为总成本，为总成本，为总收益，求总利润函数为总收益，求总利润函数.解：解：总成本函数为总成本函数为总收益函数为总收益函数为总利润函数为总利润函数为6.56.5广义积分初步广义积分初步 积分区间积分区间被积函数被积函数无限无限无界无界无穷限积分无穷限积分瑕积分瑕积分广广义义

4、积积分分一、无穷限积分一、无穷限积分1.定义：定义：如果对给定的实数如果对给定的实数a和任意实数和任意实数b(ba)，函数，函数f(x)在在 上可积，且上可积，且极限极限 存在存在，则称，则称无穷限积分无穷限积分 收敛收敛，并称此极限值为该无穷限，并称此极限值为该无穷限积分的积分值，记为积分的积分值，记为若若上极限不存在上极限不存在，则称无穷限积分，则称无穷限积分 发散发散。类似类似,可定义无穷限积分可定义无穷限积分 的收敛与发散。的收敛与发散。存在存在,则称则称 收敛收敛,否则称其否则称其发散发散。（c为某个常数）为某个常数）若若 均收敛均收敛，称，称 收敛收敛,否则称其否则称其发散发散。2

5、.几何意义：几何意义：表示由曲线表示由曲线 与直线与直线x=a,x轴所围轴所围成的向右延伸的平面图形的面积。成的向右延伸的平面图形的面积。3.计算计算 是是 的一个原函数）的一个原函数）例例1.讨论下列无穷限积分的敛散性讨论下列无穷限积分的敛散性(1).(2).解解：(1)所以，原无穷限积分收敛，且所以，原无穷限积分收敛，且(2).解解：与与 均收敛，所以均收敛，所以也收敛，且也收敛，且例例2.讨论下列无穷限积分的敛散性讨论下列无穷限积分的敛散性(1).(2).解解：(1)所以，原无穷限积分收敛。所以，原无穷限积分收敛。(2).解：解：所以，原无穷限积分发散。所以，原无穷限积分发散。二、瑕积分

6、二、瑕积分称为称为瑕积分瑕积分，（或有限个点）处（或有限个点）处无界无界。使被积函数无界的点称为使被积函数无界的点称为瑕点瑕点。若被积函数若被积函数f(x)在在 上的某点上的某点定义：定义：若对任意小的正数若对任意小的正数 ，函数，函数f(x)在区间在区间上皆可积，且上皆可积，且则当则当 存在存在时，时，称瑕积分称瑕积分 收敛收敛，记为记为若此若此极限不存在极限不存在，则称瑕积分，则称瑕积分 发散发散。类似的，当类似的，当f(x)在在b或或c(ac+=yyyxxyf,则则=)(xf_.4 4、若若22),(yxxyyxf-=+,则则=),(yxf_.5.5.函数函数 )1ln(4222yxyxz-=的定义域是的定义域是_.二、求下列各极限：二、求下列各极限：1.2.练习题答案练习题答案