偏导数的几何应用.ppt

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1、1/27一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线第七节第七节 偏导数的几何应用偏导数的几何应用三、小结三、小结四、作业四、作业2/27设空间曲线的方程设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均式中的三个函数均可导可导.1.空间曲线的方程为参数方程空间曲线的方程为参数方程一、空间曲线的切线与法平面一、空间曲线的切线与法平面3/27考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置上式分母同除以上式分母同除以割线割线 的方程为的方程为切线的过程切线的过程4/27曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程切向量切向量法平面法平面切线的方向向量称为曲线在点切线

2、的方向向量称为曲线在点 M 处的切向量处的切向量.过过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.5/27解解.切线方程切线方程法平面方程法平面方程例例1.1.即即6/27设曲线直角坐标方程为设曲线直角坐标方程为法平面方程为法平面方程为2.空间曲线的方程为空间曲线的方程为曲线的参数方程是曲线的参数方程是由前面得到的结果由前面得到的结果,在在M(x0,y0,z0)处处,令令切线方程为切线方程为x为参数为参数,两个柱面两个柱面的交线的交线7/27例例2.2.在抛物柱面在抛物柱面 与与 的交线上的交线上,求对应求对应 的点处的的点处的切向量切向量.x为参数为参数,于是于是 解解.所以交线上与所以交线

3、上与对应点的切向量为对应点的切向量为:交线的参数方程为交线的参数方程为取取8/27设空间曲线方程为设空间曲线方程为3.空间曲线的方程为空间曲线的方程为确定了隐函数确定了隐函数(此曲线方程仍可用方程组此曲线方程仍可用方程组 两边分别对两边分别对表示表示.)x求全导数求全导数:两个曲面两个曲面 的交线的交线9/27 利用利用2.结果结果,10/27法平面方程为法平面方程为切线方程为切线方程为在点在点 M(x0,y0,z0)处的处的11/27解解.例例3.3.切线方程和法平面方程切线方程和法平面方程.切线方程切线方程 将所给方程的两边对将所给方程的两边对x求导求导法一法一12/27法平面方程法平面方

4、程法二法二13/27法三法三 公式法公式法14/27设曲线设曲线证证.因原点因原点即即于是于是证明此曲线必在以原点为证明此曲线必在以原点为的的法平面都过原点法平面都过原点,在任一点在任一点中心的某球面上中心的某球面上.曲线过该点的法平面方程为曲线过该点的法平面方程为故有故有 在法平面上在法平面上,任取曲线上一点任取曲线上一点例例4.4.15/27 今在曲面今在曲面上任取一条上任取一条1.设曲面设曲面的方程为的方程为的情形的情形隐式方程隐式方程二、曲面的切平面与法线二、曲面的切平面与法线 函数函数的偏导数在该点连续且不同的偏导数在该点连续且不同 时为零时为零.点点M 对应于参数对应于参数 不全为

5、零不全为零.过点过点M 的的曲线曲线,设其参数设其参数方程为方程为16/27 由于曲线由于曲线在曲面在曲面上上,所以所以 在恒等式两端对在恒等式两端对t 求全导数求全导数,并令并令 则得则得 若记向量若记向量 曲线曲线在点在点M处切线的方向向量记为处切线的方向向量记为 则则式可改写成式可改写成即向量即向量 垂直垂直.17/27 因为曲线因为曲线是曲面是曲面上过点上过点M的的任意任意一条曲一条曲线线,所有这些曲线在点所有这些曲线在点M的切线都与同一向量的切线都与同一向量垂直垂直,因此这些切线必共面因此这些切线必共面,称为曲面称为曲面在点在点M的的过点过点M且垂直于切且垂直于切法线法线,又是法线的

6、方向向量又是法线的方向向量.向量向量称为曲称为曲法向量法向量.切平面切平面,由切线形成的这一由切线形成的这一平面平面,平面的直线称为曲面平面的直线称为曲面在在点点M的的面面在在点点M的的18/27曲面在曲面在M(x0,y0,z0)处的法向量处的法向量:切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为所以曲面所以曲面上在点上在点M的的19/27解解.令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程 例例5.5.20/272.曲面方程形为曲面方程形为 的情形的情形曲面在曲面在M处的处的切平面方程切平面方程为为曲面在曲面在M处的处的法线方程法线方程为为令令或或显式方程显式方程21/27其中其中法向量法向量表示曲

7、面的法向量的方向角表示曲面的法向量的方向角,并假定并假定法向量的方向是向上法向量的方向是向上的的,即使得它与即使得它与z 轴的正向所成的角轴的正向所成的角 是是锐角锐角,则法向量的则法向量的方向余弦为方向余弦为注释注释1：关于关于22/27因为因为(第三个分量为负第三个分量为负),求旋转抛物面求旋转抛物面 在任意点在任意点P(x,y,z)处处向上向上的法向量的法向量(即与即与z轴夹角为锐角轴夹角为锐角的法向量的法向量).解解.而而为为向下向下的法向量的法向量故故向上向上的法向量应为的法向量应为:例例6.6.23/27因为曲面在因为曲面在M处的切平面方程处的切平面方程:全微分的几何意义全微分的几

8、何意义表示表示切平面上的点的竖坐标的增量切平面上的点的竖坐标的增量.切平面切平面上点的上点的竖坐标竖坐标的增量的增量注释注释2：24/27 例例7.7.解解.过直线过直线L的平面束方程为的平面束方程为即即其其法向量法向量为为求过直线求过直线L且与曲面且与曲面相切之切平面方程相切之切平面方程.25/27设曲面与切平面的切点为设曲面与切平面的切点为则则因而因而故故所求切平面方程为所求切平面方程为或或即即或或26/27解解.令令得到的旋转面在点得到的旋转面在点处的指向外侧的处的指向外侧的单位法向量为单位法向量为().旋转面方程为旋转面方程为练习练习27/27空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线三、小结三、小结(空间曲线三种不同形式方程的切线与法平面的空间曲线三种不同形式方程的切线与法平面的求法求法.当空间曲线方程为一般式时当空间曲线方程为一般式时,求切向量可求切向量可采用采用公式法、公式法、推导法推导法或用或用向量代数法向量代数法)(注意注意:空间曲面两种不同形式方程以及空间曲面两种不同形式方程以及求法向求法向量的方向余弦时的量的方向余弦时的符号符号)28/27四、作业四、作业习题习题6-76-7(111(111页页)3.4.6.10.