专升本 高数第三讲导数与微分(详细).pptx
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1、第三讲第三讲 导数导数与微分与微分求求 导导 法法 则则基本公式基本公式导导 数数微微 分分关关 系系高阶导数高阶导数高阶微分高阶微分导数导数与微分与微分 复习考试要求复习考试要求 1.理解导数的概念及其几何意义,了解可导性与连续性的关系,会用定义求函数在一点处的导数。2.会求曲线上一点处的切线方程与法线方程。3.熟练掌握导数的基本公式、四则运算法则以及复合函数的求导方法。4.掌握隐函数的求导法与对数求导法。会求分段函数的导数。5.了解高阶导数的概念。会求简单函数的高阶导数。6.理解微分的概念,掌握微分法则,了解可微和可导的关系,会求函数的一阶微分。导数导数 我们再用极限来研究变量变化的变化的
2、快慢程度快慢程度,这即是微分学中 的重要概念导数导数。1.1.定义定义如果函数 f(x)在点 x0 处的导数存在,那么称函数f(x)在点 x0 处可导,反之,称为不可导。1 1、导数的定义、导数的定义导函数导函数 注意:注意:记为例题例题.设设存在,且存在,且则则等于等于 A.1,B.0,C.2,D.0.5 A.1,B.0,C.2,D.0.5 分析:分析:导数定义的本质:导数定义的本质:左、右导数左、右导数2、单侧导数单侧导数左导数左导数与右导数与右导数:在讨论分段函数在分段点的可导时,由于在分段点两侧表达式在讨论分段函数在分段点的可导时,由于在分段点两侧表达式可能不同,因此一般应从定义出发讨
3、论其左、右导数。可能不同,因此一般应从定义出发讨论其左、右导数。例题例题.讨论讨论在在处的连续性与可导性处的连续性与可导性.解:解:所以所以在在处连续处连续 所以所以因此因此在在处可导。处可导。题目的函数为:题目的函数为:当当时,时,所以所以因此因此从而从而在在处可导。处可导。判断可导性的另一种方法:判断可导性的另一种方法:2.导数的几何意义导数的几何意义 曲线的切线的斜率即为函数的导数。法线方程为:例例 求曲线求曲线在点(在点(2,8)处得切线方程和法线)处得切线方程和法线方程。方程。解解 在点(在点(2,8)处的切线斜率为)处的切线斜率为所以,所求切线方程为所以,所求切线方程为所求法线斜率
4、为所求法线斜率为于是所求法线方程为于是所求法线方程为 定理2.1如果函数y=f(x)在点x0处可导,则它在x0处必定连续。由这个定理可知:若函数f(x)在x0不连续,则f(x)在x0处必定不可导。3.可导与连续的关系可导与连续的关系由导数定义可知:可导 必连续不连续 必不可导函数连续是函数可导的必要条件函数连续是函数可导的必要条件可导一定连续,但是连续不一定可导。可导一定连续,但是连续不一定可导。连续一定有极限,但是有极限不一定连续。连续一定有极限,但是有极限不一定连续。例求是否连续 可导解:f(x)在x=0处连续。f-(0)f+(0)f(x)=x在x=0处不可导例例解解(二)曲线的切线方程及
5、法线方程例 9704设函数F(X)满足,则F(0)=解:例 0303己知函数F(X)在点X0处可导,且F(X0)=2,则 等于_4(三)求导公式函数在任意点 x 处的导数仍是 x 的函数,称为 f(x)的导函数。1.基本导数表基本导数表2.函数和、差、积、商的导数函数和、差、积、商的导数3.复合函数和反函数的导数复合函数和反函数的导数或或注意:注意:与与的区别的区别表示复合函数对自变量表示复合函数对自变量 求导求导复合函数求导关键在于正确地分解复合函数,正确复合函数求导关键在于正确地分解复合函数,正确地运用复合函数求导法则。地运用复合函数求导法则。表示复合函数对中间变量表示复合函数对中间变量
6、求导求导例例求下列函数的导数求下列函数的导数 例例 设设,求,求解解例例设设,求,求解解,求,求例例设设4.4.反函数求导法则反函数求导法则如果X=(Y)为单调可导函数,则其反函数Y=F(X)的导数例 求导 0602设函数y=e2x+5,则y=y=(e2x+5)=e2x(2x)=2e2x例:设函数F(COSX)=1+COS3X,求F(X)解:设cosx=t,则f(t)=1+t3,即f(x)=1+x3,所以f(x)=3x2=3cos2x 利用导数定义导数定义求导数的解题步骤:注意:隐函数不一定能写为Y=F(X)的形式,如X2+Y2=1。故隐函数只是一种方程形式,不可能都具有反函数,因为反函数的存
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