近世代数课件--2.8 子群.ppt

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1、子群子群 8.1定义与例定义与例8.2 等价条件等价条件8.3 生成子群生成子群8.4 子群的运算子群的运算8.1定义与例定义与例 讨论子对象是一个常用的代数方法.我们看一个群 假如由 里取出一个非空子集 来，那么利用 的乘法可以把 的两个元相乘对于这个乘法来说，很可能也作成一个群定义定义一个群 的一个非空子集 叫做 的一个子子群群，假如 对于 的乘法来说作成一个群,用符号 表示例例给了一个任意群 ，至少有两个子群：；只包含单位元 的子集例例 ，那么 是 的一个子群因为：对于 的乘法来说是闭的，；结合律对于所有 的元都对，对于 的元也对；，更多的例子注1:的乘法必须是 的乘法注2:验证 是子群

2、时有些条件可以省略.8.2 等价条件等价条件引理引理:设设 ,那么(1)(2),对于 中运算定理定理一个群 的一个不空子集 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：（）（）证明证明若是（），（）成立，作成一个群由于（），是闭的；结合律在 中成立，在中自然成立；因为 至少有一个元 ，由（），也有 元 ，所以由（），由（），对于 的任意元 来说，有 元 ，使得反过来看，假如 是一个子群，（）显然成立我们证明，这时（）也一定成立 证完（），（）两个条件也可以用一个条件来代替定理定理一个群 的一个不空子集 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：（）证明证明 I.我们先证明，（）和（）成立，（）就也成立

3、假定 ，属于 ，由（），由（），II.现在我们反过来证明，由（）可以得到（）和（）假定 由（），于是 （）成立假定 ，由刚证明的，；由（），,即(i)成立证完假如所给子集 是一个有限集合，那么 作成子群的条件更要简单定理定理一个群 的一个不空有限子集 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：证明证明这个条件是必要的，无须证明我们证明它是充分的因为 是有限集合，我们使用有限的定义证明.8.3 生成子群生成子群 现在我们要认识一种找一个子群的一般方法 我们在一个群 里任意取出一个非空子集 来，包含元 ，.那么 当然不见得是一个子群,但是我们可以把 扩大一点，而得到一个包含的子群 利用 的元以及这些元

4、的逆元我们可以作各种乘积，比方说，等等设集合 刚好包含所有这样的乘积,可以证明:(1).作成一个子群因为两个这样的乘积乘起来还是一个这样的乘积，一个这样的乘积的逆元也是一个这样的乘积,由定理，(2)对任何一个包含 的子群 ,一定包含 这一点容易看出：既是一个子群，它又包含所有 的元 ，两个条件，因而根据定理1，它必须包含所有的上面所作的那些乘积；这就是说，由(1)和(2)，是包含 的最小的子群 定义定义如上得到的 叫做由 生成的子群，我们用符号 来表示它 假如我们取一个只包含一个元 的子集 ，那么是一个循环子群例例3 生成子群很复杂,给出一些简单的例子8.4 子群的运算子群的运算两个子群的交仍

5、然是子群两个子群的并不一定是子群群的子集的运算容易证明:,设A，B是群G的两个非空子集,规定等价条件的另外表达 定理定理1一个群 的一个不空子集 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：（）（）定理定理一个群 的一个不空子集 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：（）定理定理3一个群 的一个不空有限子集 作成 的一个子群的充分而且必要条件是：证明:仅证明定理1 设H是G的子群,那么 ,(?)另一方面,所以 ,注意:,所以 .反过来,构成 的一个子群.子群的乘积例例4 两个子群的乘积一般不是子群.S3 中，H=(1),(12)N=(1),(13),HN=(1),(13),(12),(132)不是子群定理4 设H,K是G的两个子群,那么 HK是子群 HK=KH证明:如果HK是子群,那么 (HK)-1=HK,同时,(HK)-1=K-1H-1=KH,所以 HK=KH反过来,如果HK=KH (HK)(HK)=(HK)(KH)=.=HK (HK)-1=K-1H-1=KH=HK注:HK=KH hk=kh (k,h分别属于K和H)?作业作业:P64-65:2,3,4