3.1.1方程的根与函数的零点.pptx

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1、 教育部重点课题新教育子课题在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践温州市瓯海区三溪中学张明 3.1.1方程的根与函数的零点 在初中我们对一元二次方程、一元二次函数今天学一点在初中我们对一元二次方程、一元二次函数今天学一点明天学一点是锱铢积累学习。我们知道在初中这些内容是散落在明天学一点是锱铢积累学习。我们知道在初中这些内容是散落在各个章节中，到了高中现在我们把在初中中散落在各个章节中的各个章节中，到了高中现在我们把在初中中散落在各个章节中的有关一元二次方程、二次函数进行整理、归纳形成系统。在初中有关一元二次方程、二次函数进行整理、归纳形成系统。在初中这些内容是零碎的、散乱的，所以到了现在高中就

2、应该形成有秩这些内容是零碎的、散乱的，所以到了现在高中就应该形成有秩序的、系统的。序的、系统的。那那同学们自己会不会整理、归纳？整理、归纳也是种学习能力。同学们自己会不会整理、归纳？整理、归纳也是种学习能力。你们你们在学习在学习红楼梦红楼梦的时候，老师会告诉你一条线索的时候，老师会告诉你一条线索就是以贾宝玉、林黛玉的爱情为线索，以贾宝玉与薛宝钗的爱情就是以贾宝玉、林黛玉的爱情为线索，以贾宝玉与薛宝钗的爱情为线索。长篇小说是很长的，没有线索就会显的很乱。线索就是为线索。长篇小说是很长的，没有线索就会显的很乱。线索就是把许多洒落在地下的珍珠，用一条线把它们串起来，形成一条美把许多洒落在地下的珍珠，

3、用一条线把它们串起来，形成一条美丽的珍珠项链。那好，在丽的珍珠项链。那好，在方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点这一节有关这一节有关一元二次方程、函数（我们补充一个一元二次不等式）中线索是一元二次方程、函数（我们补充一个一元二次不等式）中线索是什么？什么？先自学人教版高中数学必修先自学人教版高中数学必修1P86-P873.1.1方程的根与方程的根与函数的零点函数的零点零点概念之前的内容，学习零点概念是以一元二次函零点概念之前的内容，学习零点概念是以一元二次函数一元二次方程为例子，干脆我们系统的复习强化这些内容。数一元二次方程为例子，干脆我们系统的复习强化这些内容。一、教材一、教材给人什么感

4、觉？给人什么感觉？答：其实不是教材编的不好，但给人感觉是答：其实不是教材编的不好，但给人感觉是乱。乱。二、因为文理二、因为文理相通，这就是将来高考为什么不分文理科的原相通，这就是将来高考为什么不分文理科的原因：因：答答：同学们都：同学们都回答线索是回答线索是图象，就是一元二次函数的图图象，就是一元二次函数的图象。书上代数书写一大堆，其实只要画一个图什么都有了。一象。书上代数书写一大堆，其实只要画一个图什么都有了。一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式这三者归一，就元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式这三者归一，就是归一到一元二次函数图象，只要一画图，什么都有了。孙维是归一到一元二次函数

5、图象，只要一画图，什么都有了。孙维刚老师的，八方联系、浑然一体、漫江碧透、鱼翔浅底，我们刚老师的，八方联系、浑然一体、漫江碧透、鱼翔浅底，我们是找到了一个例子。并且我们发现八方联系的方法就是去寻找是找到了一个例子。并且我们发现八方联系的方法就是去寻找联系的线索。这一节中联系的线索就是一元二次函数图象联系的线索。这一节中联系的线索就是一元二次函数图象。数。数形结合，保证及格。形结合，保证及格。三、文理为什么会相通？三、文理为什么会相通？复制上轮教学情境：复制上轮教学情境：你们知道不知道哲学？其实同学们已经听说过哲学，因你们知道不知道哲学？其实同学们已经听说过哲学，因为我讲过。但我说哲学是为我讲过

6、。但我说哲学是“科学的科学科学的科学”，同学们知道是什么，同学们知道是什么意思吗？一个班同学们回答，就是在科学中追求科学；一个班意思吗？一个班同学们回答，就是在科学中追求科学；一个班回答就是在科学中找规律。回答的都很好。哲学的研究对象包回答就是在科学中找规律。回答的都很好。哲学的研究对象包括自然科学、社会科学，人文学科，哲学以这些为研究对象寻括自然科学、社会科学，人文学科，哲学以这些为研究对象寻找规律。科学就是去寻找规律啊。说得通俗一点就是哲学以理找规律。科学就是去寻找规律啊。说得通俗一点就是哲学以理科比如数学、物理、化学，文科比如语文、历史、政治为研究科比如数学、物理、化学，文科比如语文、历

7、史、政治为研究对象，然后找出规律。所以文理相通就是最后都采取哲学思维对象，然后找出规律。所以文理相通就是最后都采取哲学思维方式。方式。我们文理不通，当我举个武侠小说主人工学武功时，同我们文理不通，当我举个武侠小说主人工学武功时，同学们都说是打通任督二脉，奇经八脉，我们是任督二脉，奇经学们都说是打通任督二脉，奇经八脉，我们是任督二脉，奇经八脉没有打通。八脉没有打通。判别式判别式=b2-4ac 00 0）一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0ax2+bx+c0的解集的解集ax2+bx+c0的解集的解集有两个相异的有两个相异的实根实根x1，x2 x1x2或或xx1Rx|x1xx2x|x xyx

8、1x2xyx1=x2xy()(a)求根求根 画图画图 定范围定范围a0如何画出上图相类似的结构图？如何画出上图相类似的结构图？总结：初中也学过，高中再学，那要求有什么不同？总结：初中也学过，高中再学，那要求有什么不同？初中对一元二次方程、函数、不等式的认识初中对一元二次方程、函数、不等式的认识 1、零碎、零碎 2、杂乱、杂乱 3、感性认识、感性认识 4、不系统、不系统 5、无意识、无意识的（形成了自动化）的（形成了自动化）6、具体、具体 7、整体分析、整体分析 8、经常从代数角、经常从代数角度思考问题度思考问题 高中对一元二次方程、函数、不等式的认识的提高高中对一元二次方程、函数、不等式的认识

9、的提高 1、系统化、系统化 2、理性认识、理性认识 3、有意识的（反思）、有意识的（反思）4、抽象（含字母）抽象（含字母）5、局部分析、局部分析 6、从几何角度思考问题、从几何角度思考问题 学习一元二次方程、函数、不等式一种重要能力需要提学习一元二次方程、函数、不等式一种重要能力需要提高：数形结合（数形结合，保证及格）。高：数形结合（数形结合，保证及格）。学习数学先认识自己，再发现就是初中如何学习一元二次方学习数学先认识自己，再发现就是初中如何学习一元二次方程、函数、不等式的自己，而这个自己是不好的，于是突破自程、函数、不等式的自己，而这个自己是不好的，于是突破自己，成为那个就是要达到像高中一

10、样的学习一元二次方程、函己，成为那个就是要达到像高中一样的学习一元二次方程、函数、不等式的自己，自动化化做这个最好的自己。数、不等式的自己，自动化化做这个最好的自己。问题问题1：方程：方程4567x2-4569x+1=0有实数根吗？有实数根吗？答：通过特殊点（答：通过特殊点（0,1）、（）、（1，2）来推测。）来推测。答：因为方程系数是特别大不是一般大，所以用答：因为方程系数是特别大不是一般大，所以用 判断或求根公式运算量极大，我们退而求其次，即我们推测根的大判断或求根公式运算量极大，我们退而求其次，即我们推测根的大致范围。如何推测？致范围。如何推测？探究归纳探究归纳探究归纳探究归纳 二次方程

11、如果有二次方程如果有实数根实数根，那么方程，那么方程的实数根就是相应二次函数的的实数根就是相应二次函数的图象与图象与x轴交点的横坐标。轴交点的横坐标。规律：规律：函数零点的概念函数零点的概念新知学习新知学习新知学习新知学习 对于函数对于函数y=f(x)，我们把使，我们把使f(x)=0)=0的实数的实数x叫做函数叫做函数y=f(x)的的零点零点。（2 2）注意：函数的）注意：函数的零点零点是函数图象与是函数图象与x轴交点的轴交点的横坐标横坐标，是实数，而不是点，是实数，而不是点 方程方程 有实数根有实数根函数的图象与函数的图象与x轴有交点轴有交点函数函数 有零点有零点（1 1）函数函数零点零点的

12、意的意义：义：二二、你觉得、你觉得“零点零点”概念是抽象还是直观具体？有没有概念是抽象还是直观具体？有没有直观具体的描述？直观具体的描述？答答：零点，顾名思义就是这个点的横坐标带进去函数值：零点，顾名思义就是这个点的横坐标带进去函数值等于零。等于零。零点与方程的根有什么关系？零点与方程的根有什么关系？答答：可以打一个形象、生动、幽默的比喻。方程的根：可以打一个形象、生动、幽默的比喻。方程的根就像一个人的中文名，零点就像一个人的英文名。因为你要学习就像一个人的中文名，零点就像一个人的英文名。因为你要学习英语，一般你或你的老师会帮你取一个英文名。但中文名、英文英语，一般你或你的老师会帮你取一个英文

13、名。但中文名、英文名指的是同一个人。名指的是同一个人。教训：识事物，事物有本质与现象，内容与形式。我们要认识事物教训：识事物，事物有本质与现象，内容与形式。我们要认识事物的本质、内容它是很抽象的，我们的眼睛是看到事物的现象，事物的本质、内容它是很抽象的，我们的眼睛是看到事物的现象，事物的形式，然后观察它们的特征，一步步、慢慢的深入到本质、内容。的形式，然后观察它们的特征，一步步、慢慢的深入到本质、内容。所以在学习中坚持所以在学习中坚持“特征性原则特征性原则”也是不错的一个办法。比如数学也是不错的一个办法。比如数学上的上的“零点零点”概念，因为教材编书要对事物的本质、内容进行严格概念，因为教材编

14、书要对事物的本质、内容进行严格的定义，所以定义是很抽象的。我们很难理解的定义，所以定义是很抽象的。我们很难理解“零点零点”本质，本质，“零零点点”是什么意思。是什么意思。“零点零点”的特征，的特征，“零点零点”，顾名思义就是把这，顾名思义就是把这个点的横坐标代进去函数枝等于零。个点的横坐标代进去函数枝等于零。“零点零点”与与“方程的根方程的根”的联的联系与区别就是一个是中文名，一个是英文名，但指的是同一个人。系与区别就是一个是中文名，一个是英文名，但指的是同一个人。所以在学习中坚持所以在学习中坚持“特征性原则特征性原则”也是不错的学习策略。也是不错的学习策略。探究探究3 零点存在性的探索零点存

15、在性的探索xyO-13axy0bc2d由以上两步探索，你能得出怎样的结论？如果函数如果函数y=f(x)在在区间区间a,ba,b上的图象是连续不断的一上的图象是连续不断的一条曲线条曲线，并且有并且有f(a)(a)f(b)(b)0 0，那么，函数那么，函数y=f(x)在区间在区间函数零点存在性定理函数零点存在性定理(a,b)(a,b)内有零点，即存在内有零点，即存在c(a,b)c(a,b)，使得，使得f(c)=0f(c)=0，这个，这个c c也也就是方程就是方程f(x)=0 0的根。的根。思考（1 1）如果函数的图象不是）如果函数的图象不是连续不断连续不断的，结论还成立吗的，结论还成立吗？f(a)

16、f(a)f(b)0 0，函数在，函数在(a,b(a,b)内零点情况怎样？内零点情况怎样？如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是连续不断的一上的图象是连续不断的一条曲线，并且有条曲线，并且有f(a)(a)f(b)(b)0 0，那么，函数那么，函数y=f(x)在区间在区间函数零点存在性定理函数零点存在性定理(a,b)(a,b)内有零点，即存内有零点，即存c(a,b)c(a,b)，使得，使得f(c)=0f(c)=0，这个，这个c c也也就是方程就是方程f(x)=0 0的根。的根。思考（4 4）满足定理条件时，函数在区间满足定理条件时，函数在区间(a,b)(a,b)上只有一个零

17、点吗？上只有一个零点吗？（5 5）增加什么条件时，函数在区间）增加什么条件时，函数在区间(a,b)(a,b)上只有一个零点？上只有一个零点？推论推论 如果函数如果函数y=f(x)在区间在区间a,ba,b上的图象是上的图象是连续不断的一连续不断的一条曲线条曲线，并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即并且在闭区间的两个端点上的函数值互异即f(a)f(b)0,且是且是且是且是单调函数单调函数,那么，这个函数在那么，这个函数在那么，这个函数在那么，这个函数在(a,b)(a,b)(a,b)(a,b)内必有内必有内必有内必有唯一唯

18、一唯一唯一的的的的一个零点一个零点一个零点一个零点。三、方程根存在的判定定理难吗？是直观还是抽象？我们要借助于什么来理解？如果数学有文字语言、图形语言、符号语言，那方程根的判定定理是把什么语言转化为什么语言？答：文字语言抽象，图形语言直观。借助于图形语言来理解，我们把图形语言转化成文字语言。解：用计算器或计算机作出解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表的对应值表3-13-1和和图象图象3.1-33.1-3例例1 1：求函数：求函数f(x)=ln)=lnx+2+2x-6 6的零点个数的零点个数.4 1.30691.0986 3.3863 5.60947.79189.9459 12.079

19、414.1972123456789xf（x）表表3-13-1yx0 02 24 410105 52 24 410108 86 6121214148 87 76 64 43 32 21 19 9图图3.1-33.1-3f(2)0f(2)0即即f(2)(2)f(3)0(3)0函数在区间函数在区间(2,3)(2,3)内有零点。内有零点。由于函数由于函数f(x)在定义域在定义域(0,+)(0,+)内是增函数，所以内是增函数，所以它仅有一个零点。它仅有一个零点。如果再问，在这个区间有几个零点？我们还必须借助于函数的什么性质？答：单调性反思：对于例1，我们判断这个函数的单调性根据是什么？答：根据函数的变换

20、。那根据定义判断会判断吗？这两种判断对解题有什么启发？答：根据定义判断是对于证明题而言，根据函数变换是对于选择题、填空题而言除了根据单调的定义来判断还可以根据什么？例例1 1：求函数：求函数f(x)=ln)=lnx+2+2x-6 6的零点个数的零点个数.将函数将函数f(x)=ln)=lnx+2+2x-6-6的零点个数转化为函数的零点个数转化为函数g(x)=ln)=lnx与与h(x)=-2)=-2x+6+6的图象交点的个数。的图象交点的个数。想一想想一想能否有其它方法也可得到本题结论？能否有其它方法也可得到本题结论？h(x)=-2x+6g(x)=lnxyx012136 练习练习1它说用图象判断下

21、列方程有没有根，除了图象，它说用图象判断下列方程有没有根，除了图象，在初中我们是根据什么判断的？在这里为什么要用图象判断？在初中我们是根据什么判断的？在这里为什么要用图象判断？练习练习2零点的大致区间的两个端点我们该如何确定？零点的大致区间的两个端点我们该如何确定？答：练习答：练习1等式左边画图，等式右边画图，两图交点即为等式左边画图，等式右边画图，两图交点即为方程的根。初中用一元二次方程的求根公式、因式分解或配方。求方程的根。初中用一元二次方程的求根公式、因式分解或配方。求根公式通过配方得到。根公式通过配方得到。练习练习2，我们用几何画板画出它的图像估计根的范围。如，我们用几何画板画出它的图像估计根的范围。如果没有几何画板我们要用尝试法慢慢确定零点的大致区间的两个端果没有几何画板我们要用尝试法慢慢确定零点的大致区间的两个端点。考试一般端点给你。点。考试一般端点给你。