2.5方向导数与梯度重要例题.ppt

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1、设设 求求 f 沿沿e=(cos,sin)在点在点(0,0)的方向导数的方向导数.当当 cos 0 时时,当当 cos=0时时,因为因为 f(cos,sin)=0用定义计算方向导数用定义计算方向导数解解 例例1用定理计算方向导数用定理计算方向导数解解例例3.设设 z=3x4+xy+y3,求求z 在在M(1,2)点处点处 沿方向沿方向角为角为=135 的的方向的方向导数。方向的方向导数。解解例4.求函数求函数 在点 P(1,1,1)沿向量3)的方向导数.解解:向量 l 的方向余弦为由点到坐标原点的距离定义的函数在坐标原点处向导数值都等于 1:的两个偏导数均不存在,但它在该点沿任何方向的方向导数均

2、存在,且方此例说明:1.方向导数存在时,偏导数不一定存在.2.可微是方向导数存在的充分条件,而不是 必要条件P80-2,7.例例从而从而解解解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得故故备用题 1.函数在点处的梯度解解:则注意 x,y,z 具有轮换对称性指向 B(3,2,2)方向的方向导数是 .在点A(1,0,1)处沿点A2.函数函数提示提示:则 例例解解故故例3.设设是曲面在点 P(1,1,1)处指向外侧的法向量,解解:方向余弦为而同理得方向的方向导数.在点P 处沿求函数例例5.设设 u=x y+e z,M0(1,-1,0),P(3,-3,1),求求(1)在在 M0 沿沿M0 P 的方向导数的方向导数;(2)在在 M0 沿曲线沿曲线x=t,y=t 2-2,z=t t 3的切线方向的方向导数的切线方向的方向导数(本节本节不讲不讲);(3)在在 M0 的最大方向导数与梯度。的最大方向导数与梯度。解：解：(1)(3)在在 M0 的最大方向导数与梯度的最大方向导数与梯度:设点电荷 q 位于坐标原点,在点处的电位为其中,为介电系数,求电位 v 的梯度.其中,负号说明离点电荷越远,电位越低,即电位梯度的方向与电场 E 的方向相反.自己计算一下这一步自己计算一下这一步.例例解解