运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法.ppt

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1、第三章第三章 运输问题运输问题 数学模型及其解法数学模型及其解法 顺风而呼，声非加疾也，而闻者彰。顺风而呼，声非加疾也，而闻者彰。假舆马者，非利足也，而致千里；假舟假舆马者，非利足也，而致千里；假舟楫者，非能水也，而绝江河。君子生非楫者，非能水也，而绝江河。君子生非异也，善假于物也。异也，善假于物也。荀子劝学荀子劝学管理与人文学院管理与人文学院 忻展红忻展红 1999，43.1 运输问题的一般数学模型运输问题的一般数学模型有有m个产地生产个产地生产某某种物资，有种物资，有n个地区需要该类物资个地区需要该类物资令令a1,a2,am表示各产地产量，表示各产地产量，b1,b2,bn表示各表示各销地的

2、销量，销地的销量，ai=bj 称为产销平衡称为产销平衡设设xij表示产地表示产地 i 运往销地运往销地 j 的物资量，的物资量，wij表示对应的单表示对应的单位运费，则我们有运输问题的数学模型如下：位运费，则我们有运输问题的数学模型如下：运输问题有运输问题有m n个个决策变量，决策变量，m+n 个个约束条件。由于产约束条件。由于产销平衡条件，只有销平衡条件，只有m+n1个相互独立，个相互独立，因此，运输问题的因此，运输问题的基变量只有基变量只有m+n1 个个23.2 运输问题的求解方法运输问题的求解方法约束条件非常有规律，技术系数非约束条件非常有规律，技术系数非 0 即即 1基变量的个数远小于

3、决策变量的个数基变量的个数远小于决策变量的个数采用表上作业法，称为位势法和踏石法采用表上作业法，称为位势法和踏石法运算中涉及两个表：运费表和产销平衡表运算中涉及两个表：运费表和产销平衡表(分配表分配表)3 3.2.1 寻找初始可行解的方法寻找初始可行解的方法 1、西北角法、西北角法从从 x11开始分配，从西北向东南方向逐个分配开始分配，从西北向东南方向逐个分配xij 的分配公式的分配公式例例3.2.14 例例3.2.1 西北角法西北角法5 2、最低费用法、最低费用法采用最小费用优先分配的原则，看一步采用最小费用优先分配的原则，看一步f(x)=121，比比西北角法低西北角法低846 3、运费差额

4、法、运费差额法采用最大差额费用采用最大差额费用(即利用每行或列中最小费用与次最小之即利用每行或列中最小费用与次最小之间的差额中选最大间的差额中选最大)优先分配的原则，看两步优先分配的原则，看两步f(x)=98，比比最低费用法最低费用法又低了又低了237 3.2.2 利用位势法检验分配方案是否最优利用位势法检验分配方案是否最优不采用单纯型法，如何获得不采用单纯型法，如何获得xij的检验数的检验数找到原问题的基础可行解，保持互补松弛条件，求出找到原问题的基础可行解，保持互补松弛条件，求出对应对偶问题的解，若该对偶问题的解非可行，则原对应对偶问题的解，若该对偶问题的解非可行，则原问题的解不是最优解；

5、否则，达到最优解问题的解不是最优解；否则，达到最优解89 位势法的原理位势法的原理为满足互补松弛条件，原问题中为满足互补松弛条件，原问题中xij被选为基变量，即被选为基变量，即xij 0，则要求对偶问题中则要求对偶问题中ui+vj=wij，即该行的松弛变量为即该行的松弛变量为0共有共有m+n 1个基变量个基变量xij，因此可得因此可得m+n 1个等式个等式 ui+vj=wijm+n 1个等式只能解出个等式只能解出 m+n 1个个 ui 和和 vj，而而一共有一共有m+n个个 ui 和和 vj，但但可令任一个可令任一个ui 或或 vj=0，从而从而解出其它解出其它 m+n 1个个的值；这就是的值

6、；这就是位势法位势法令令 zij=ui+vj，其相当原问题其相当原问题xij的的机会费用机会费用若对所有非基变量有若对所有非基变量有 zij wij 0，即即 ui+vj wij，表明当前表明当前ui 和和 vj 是是对偶问题的可行解，由互补松弛定理可知当前对偶问题的可行解，由互补松弛定理可知当前m+n 1个基变量个基变量xij 是最优解，否则是最优解，否则从从 zij wij 0 中找最大者，对应中找最大者，对应 xij 就是就是入变量入变量10 3.2.3 踏石法踏石法1、找入变量、找入变量从从 zij wij 0 中找最大者，对应中找最大者，对应 xij 就是入变量就是入变量2、以、以

7、xij 为起点为起点，寻找由原基变量构成的寻找由原基变量构成的闭合回路闭合回路该回路只在每个拐角各有一个基变量，中间允许穿越某些基该回路只在每个拐角各有一个基变量，中间允许穿越某些基变量；因此，闭合回路中必有偶数个变量变量；因此，闭合回路中必有偶数个变量(包括包括 xij)，且回路且回路中每行每列只有两个变量中每行每列只有两个变量3、求入变量、求入变量 xij 的最大值及新基变量的解的最大值及新基变量的解从从 xij出发，沿任一个方向对回路拐角上的基变量依此标出发，沿任一个方向对回路拐角上的基变量依此标“”和和“+”，表示，表示“”和和“+”xij，从而迭代后仍满足从而迭代后仍满足分配的平衡分

8、配的平衡标有标有“”的变量中最小者就是的变量中最小者就是出变量出变量xij*，对应对应 xij*的值就的值就是所是所求入变量求入变量 xij 的最大值的最大值标有标有“”的变量减去的变量减去 xij*，标有标有“+”的变量加上的变量加上 xij*4、用位势法求新基变量的检验数用位势法求新基变量的检验数若所有若所有 zij wij 0，则达到最优，算法停止；否则返回则达到最优，算法停止；否则返回 111 例例3.2.1 踏石法，以最低费用法所得初始解开始踏石法，以最低费用法所得初始解开始答：答：最优解如上分配表，最优解如上分配表，OBJ=98OBJ=121OBJ=101123.3 运输问题迭代中

9、的一些具体问题运输问题迭代中的一些具体问题 3.3.1 闭合回路的画法闭合回路的画法从入变量从入变量xij出发，遇到某个基变量则选一个方向拐角，若不能再遇出发，遇到某个基变量则选一个方向拐角，若不能再遇到其它基变量，则返回上一拐角，换一个方向走，采用到其它基变量，则返回上一拐角，换一个方向走，采用深探法深探法闭合回路不一定是矩形闭合回路不一定是矩形 3.3.2 产销不平衡产销不平衡供过于求，即供过于求，即 ai bj，增加一个虚收点增加一个虚收点Dn+1，bn+1=ai-bj,令令 wi,n+1=0,i=1,2,m供小于求，即供小于求，即 ai bj，增加一个虚发点增加一个虚发点Wm+1，am

10、+1=bj-ai,令令 wm+1,j=0,j=1,2,n 3.3.3 关于退化问题关于退化问题1、初始解退化。、初始解退化。即所求初始基变量的个数少于即所求初始基变量的个数少于 m+n 1。必须必须补足基变量的个数，否则不能正常解出补足基变量的个数，否则不能正常解出 m+n个个 ui 和和 vj所补基变量的值为所补基变量的值为 0，补充的原则：，补充的原则：(1)尽量先选运费小的实变量尽量先选运费小的实变量；(2)补充后不能有某个基变量独占一行一列补充后不能有某个基变量独占一行一列13 3.3.3 关于退化问题关于退化问题2、迭代过程中出现退化、迭代过程中出现退化闭合回路中标有闭合回路中标有“

11、”的基变量同时有多个达到最小的基变量同时有多个达到最小变换后，有多个原基变量变为变换后，有多个原基变量变为 0，选运费最大者为，选运费最大者为出变量出变量，其，其余保留在新的基础解中余保留在新的基础解中退化较严重时，可能会出现多次迭代只有值为退化较严重时，可能会出现多次迭代只有值为 0 的基变量在转的基变量在转移。此时，一要耐心，二要正确选择出变量移。此时，一要耐心，二要正确选择出变量踏石法迭代中需注意的问题：踏石法迭代中需注意的问题：1、错误地将分配表中基变量的解代入到运费表中、错误地将分配表中基变量的解代入到运费表中2、不能正确画闭合回路、不能正确画闭合回路3、初始解退化，未能补足基变量的个数。因此在位势法中、初始解退化，未能补足基变量的个数。因此在位势法中多次令某个多次令某个 ui 或或 vj 为为 0；4、在位势法中只能令一个、在位势法中只能令一个 ui 或或 vj 为为 0；若不能求出全部；若不能求出全部 ui和和 vj，说明基变量未选够数或未选对说明基变量未选够数或未选对14