第四章 弯曲(1).ppt

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1、第四章 直梁的弯曲1 1 弯曲概念与梁的分类弯曲概念与梁的分类2 2 梁弯曲时的内力分析梁弯曲时的内力分析 3 3 纯弯曲时梁的正应力及正应力强度条件纯弯曲时梁的正应力及正应力强度条件4 4 直梁弯曲时的剪应力直梁弯曲时的剪应力5 5 梁的变形梁的变形梁弯曲时的梁弯曲时的位移位移4.1 弯曲概念与梁的分类一、一、弯曲的概念弯曲的概念 1.1.概念概念概念概念:一根直杆，如果在通过杆轴的一个纵向一根直杆，如果在通过杆轴的一个纵向平面内，受到垂直于杆轴外力平面内，受到垂直于杆轴外力(包括外力的合力包括外力的合力)或或外力偶的作用，则杆的横截面将绕横向轴转动，同外力偶的作用，则杆的横截面将绕横向轴转

2、动，同时杆的轴线变成曲线，这种形式称为时杆的轴线变成曲线，这种形式称为弯曲弯曲.凡以弯曲的主要变形的构件，通常称为梁。凡以弯曲的主要变形的构件，通常称为梁。图示为：图示为：B 梁所受外力的二个特点：梁所受外力的二个特点：外力与梁的轴线垂直外力与梁的轴线垂直变形是弯曲变形是弯曲 相对于拉伸相对于拉伸 外力之间相距较远外力之间相距较远弯曲是主要的弯曲是主要的 相对于剪切。相对于剪切。注意：注意：这是所说的梁是一个广义、抽象的概念。这是所说的梁是一个广义、抽象的概念。如：卧式容器如：卧式容器外伸梁；外伸梁；塔设备、烟囱塔设备、烟囱悬臂梁。悬臂梁。B2 2梁的特点：梁的特点：纵向长度纵向长度L L横向

3、高度横向高度h;h;纵向长度纵向长度L L横向宽度横向宽度b b 每个横截面的形心每个横截面的形心OO的连线为梁的轴线。的连线为梁的轴线。每个横截面的垂直方向有一对称轴每个横截面的垂直方向有一对称轴形成了对称平面形成了对称平面称之为具有对称平面的等直梁（矩形、圆、圆环、工字称之为具有对称平面的等直梁（矩形、圆、圆环、工字形等）。形等）。工程上常用的梁变形为平面弯曲：外力作用在对称平面工程上常用的梁变形为平面弯曲：外力作用在对称平面上，变形后的梁、轴线也在对称平面内弯曲成一条曲线。上，变形后的梁、轴线也在对称平面内弯曲成一条曲线。B三、梁上的外力、梁的支座及分类三、梁上的外力、梁的支座及分类 1

4、 1 外力：已知外力外力：已知外力载荷：未知外力载荷：未知外力反力反力 三种外力：集中力；集中力偶；分布力三种外力：集中力；集中力偶；分布力.2 2支座形式支座形式三种形式三种形式 固定铰链支座：二个未知的约束反力固定铰链支座：二个未知的约束反力(水平、垂直）水平、垂直）活动铰链支座：一个未知的约束压力（垂直）活动铰链支座：一个未知的约束压力（垂直）固定端：三个未知的约束反力固定端：三个未知的约束反力 （水平、垂直、反力偶矩）（水平、垂直、反力偶矩）B3 3梁的分类梁的分类三种力学模型三种力学模型 简支梁简支梁 一端为固定铰链支座，另一端为活动铰一端为固定铰链支座，另一端为活动铰 链支座。链支

5、座。外伸梁外伸梁 支座同简支梁一样，只是一端或两端伸支座同简支梁一样，只是一端或两端伸 出在支座之外。出在支座之外。悬臂梁悬臂梁 一端固定，另一端自由外伸。一端固定，另一端自由外伸。B4.2 梁弯曲时的内力分析 一、梁横截面内的两种内力一、梁横截面内的两种内力载荷载荷梁梁力的传递力的传递梁的各个横截面上梁的各个横截面上都产生相应的内力都产生相应的内力1 1、从力的平衡看梁中的内力从力的平衡看梁中的内力从力的平衡看梁中的内力从力的平衡看梁中的内力以简支梁力学模型为例：以简支梁力学模型为例：以简支梁力学模型为例：以简支梁力学模型为例：分析方法：截面法分析方法：截面法分析方法：截面法分析方法：截面法

6、取一端分析取一端分析取一端分析取一端分析 梁的状态：平衡梁的状态：平衡梁的状态：平衡梁的状态：平衡 则有：则有：则有：则有：1.1.必有与该截面平行的内力必有与该截面平行的内力必有与该截面平行的内力必有与该截面平行的内力QQ1 1，与与与与RRAA大小相等，方向相大小相等，方向相大小相等，方向相大小相等，方向相反。反。反。反。2.2.它作用一个矩为它作用一个矩为它作用一个矩为它作用一个矩为MM1 1=R=RAA.x.x1 1 内力偶作用在对称平面里内力偶作用在对称平面里内力偶作用在对称平面里内力偶作用在对称平面里 结论是：梁在外力为结论是：梁在外力为结论是：梁在外力为结论是：梁在外力为RRAA

7、、内力内力内力内力QQ和矩为和矩为和矩为和矩为MM1 1的内力偶作用下处于平衡。的内力偶作用下处于平衡。的内力偶作用下处于平衡。的内力偶作用下处于平衡。B定义为：定义为：内力内力QQ1 1 称梁在该截面上的剪力。称梁在该截面上的剪力。内力偶内力偶MM1 1 称梁在该截面上的弯矩。称梁在该截面上的弯矩。注意点：该截面上意味着每一截面上所作用的剪力和弯矩并不都是相同这要依载荷情况和该截面的位置而定。前述弯曲变形的内力为弯矩，那么，其定义如何？B2 从弯曲变形分析看梁横截面上的弯矩B2 从弯曲变形分析看梁横截面上的弯矩变形特点：变形特点：（1 1）纵向纤维由直变弯。）纵向纤维由直变弯。上部（缩短）受

8、压，上部（缩短）受压，下部（伸长）受拉，下部（伸长）受拉，中心不变。中心不变。即越远离中心的纵向纤维拉长、压短越大。即越远离中心的纵向纤维拉长、压短越大。B2 2 从弯曲变形分析看梁横截面上的弯矩从弯曲变形分析看梁横截面上的弯矩（2 2）横向线仍为直线横向线仍为直线 横截面仍为平面横截面仍为平面 相邻横截面发生相对转动相邻横截面发生相对转动 使得梁由直变弯，有拉有压。使得梁由直变弯，有拉有压。转动轴（截面中性轴）位于该平面的转动轴（截面中性轴）位于该平面的OO点并垂点并垂直于梁的对称平面。直于梁的对称平面。有拉有压有拉有压 拉伸应力拉伸应力不同程度的伸长；不同程度的伸长；压缩应力压缩应力不同程

9、度的压缩；不同程度的压缩；中性层长度未变中性层长度未变横截面中性轴上各点的正应力为零！B拉伸应力、压应力：在微面积拉伸应力、压应力：在微面积dAdA上的力上的力dAdA 对中性轴产生力矩对中性轴产生力矩(无数个微面积上的力无数个微面积上的力)dAdA对中性轴产生合力矩对中性轴产生合力矩:改写为改写为 这个合力矩即为梁受外力后弯曲变形后产生的弯矩。这个合力矩即为梁受外力后弯曲变形后产生的弯矩。则有由弯曲正应力构成的对中性轴的内力矩则有由弯曲正应力构成的对中性轴的内力矩弯矩。弯矩。表示为表示为:为横截面上距中性轴为为横截面上距中性轴为y y处的正应力处的正应力 dAdA为横截面上距中性轴为为横截面

10、上距中性轴为y y处的微面积处的微面积 B 实际含义：既然伴随相邻截面的相对实际含义：既然伴随相邻截面的相对转动产生，弯矩就阻止在外力矩作用下的转动产生，弯矩就阻止在外力矩作用下的进一步转动。进一步转动。平衡作用：力图恢复原形平衡作用：力图恢复原形外力去外力去除后，在这些内力作用下恢复原形。除后，在这些内力作用下恢复原形。B 二、剪力与弯矩的计算二、剪力与弯矩的计算 1 1一般为计算方便，用梁的轴线表示原梁，再加一般为计算方便，用梁的轴线表示原梁，再加上支座和载荷上支座和载荷构成计算简图。构成计算简图。2 2一个截面上的剪力一个截面上的剪力QQ，其数值等于该截面任意其数值等于该截面任意一侧的各

11、外力代数和。一侧的各外力代数和。3 3一个截面上的弯矩一个截面上的弯矩MM，其数值等于该截面任意其数值等于该截面任意一侧的各外力对该截面形心的力矩代数和。一侧的各外力对该截面形心的力矩代数和。B4 4、对、对QQ、MM的正负号规定的正负号规定 依梁变形的情况（或变形趋势）具体规定：依梁变形的情况（或变形趋势）具体规定：剪力剪力QQ：截面左侧向上的外力或右侧向下的外力，在该截面左侧向上的外力或右侧向下的外力，在该截面上产生正值剪力；反之，产生负值剪力。截面上产生正值剪力；反之，产生负值剪力。具体为：具体为：这同受拉直杆斜截面的剪应力正负规定是一致的：这同受拉直杆斜截面的剪应力正负规定是一致的：顺

12、时针为正，逆时针为负。顺时针为正，逆时针为负。B弯矩弯矩MM 外力：不论在截面的哪一侧，向上的外力产生正值弯矩，外力：不论在截面的哪一侧，向上的外力产生正值弯矩，外力：不论在截面的哪一侧，向上的外力产生正值弯矩，外力：不论在截面的哪一侧，向上的外力产生正值弯矩，而向下的外力产生负值弯矩。而向下的外力产生负值弯矩。而向下的外力产生负值弯矩。而向下的外力产生负值弯矩。外力偶矩：外力偶矩使梁弯曲时凸面向下，在该截面上产外力偶矩：外力偶矩使梁弯曲时凸面向下，在该截面上产外力偶矩：外力偶矩使梁弯曲时凸面向下，在该截面上产外力偶矩：外力偶矩使梁弯曲时凸面向下，在该截面上产生正值弯矩，反之，产生负值弯矩。生

13、正值弯矩，反之，产生负值弯矩。生正值弯矩，反之，产生负值弯矩。生正值弯矩，反之，产生负值弯矩。集中力偶：截面左侧顺时针转向的力偶或截面右侧逆时针集中力偶：截面左侧顺时针转向的力偶或截面右侧逆时针集中力偶：截面左侧顺时针转向的力偶或截面右侧逆时针集中力偶：截面左侧顺时针转向的力偶或截面右侧逆时针转向的力偶产生正值弯矩，反之负值弯矩。转向的力偶产生正值弯矩，反之负值弯矩。转向的力偶产生正值弯矩，反之负值弯矩。转向的力偶产生正值弯矩，反之负值弯矩。具体为：具体为：具体为：具体为：上部受压、下部受拉。上部受压、下部受拉。上部受压、下部受拉。上部受压、下部受拉。MM为正值（为正值（为正值（为正值（MM0

14、 0）上部受拉、下部受压。上部受拉、下部受压。上部受拉、下部受压。上部受拉、下部受压。MM为负值（为负值（为负值（为负值（MM0 0）B例例3-1：悬臂梁如图所示。求：悬臂梁如图所示。求1-1截面和截面和2-2截截 面上的剪力和弯矩。面上的剪力和弯矩。解：解：1）求1-1截面上的内力 求得的求得的 Q1 、M1 均为负值均为负值,说明内力说明内力实际方向与假设方向相反。实际方向与假设方向相反。矩心矩心 O 是是1-1截面的形心截面的形心。2）求）求2-2截面上的内力截面上的内力 求得的 Q2、M2 均为负值,说明内力实际方向与假设方向相反。矩心 O1是2-2截面的形心。例例3-2 外伸梁如图，

15、试求外伸梁如图，试求1-1，2-2截面截面上的剪力和弯矩。上的剪力和弯矩。解：1、求支座反力：由整体平衡校核：反力无误。例3-2 外伸梁如图，试求1-1，2-2截面上的剪力和弯矩。2、求1-1截面上的内力：取左半段研究矩心o1-1截面形心 例3-2 外伸梁如图，试求1-1，2-2截面上的剪力和弯矩。3、求2-2截面上的内力：取右半段研究若取左半段梁研究，则矩心o2-2截面形心例例3-3：简支梁如图所示。试计算1-1、2-2、3-3、4-4 截面上的剪力和弯矩。解解：1）求支座反力 反力无误。校核例例3-3：简支梁如图所示。试计算1-1、2-2、3-3、4-4 截面上的剪力和弯矩。2）计算截面内

16、力 1-1截面：2-2截面：3-3截面：4-4截面:三、剪力方程与剪力图、弯矩方程与弯矩图三、剪力方程与剪力图、弯矩方程与弯矩图（一）（一）方程与图方程与图1.1.问题的提出：梁受外力作用，在梁截面上的剪力和弯矩是不问题的提出：梁受外力作用，在梁截面上的剪力和弯矩是不问题的提出：梁受外力作用，在梁截面上的剪力和弯矩是不问题的提出：梁受外力作用，在梁截面上的剪力和弯矩是不同的，（不同的含义是数值大小，正负不同）同的，（不同的含义是数值大小，正负不同）同的，（不同的含义是数值大小，正负不同）同的，（不同的含义是数值大小，正负不同）变化规律？变化规律？变化规律？变化规律？求一般表达式！求一般表达式！

17、求一般表达式！求一般表达式！2 2分析方法：分析方法：分析方法：分析方法：截面法：截面法：截面法：截面法：设任一截面与原点相距设任一截面与原点相距设任一截面与原点相距设任一截面与原点相距XX，剪力和弯矩则可写成剪力和弯矩则可写成剪力和弯矩则可写成剪力和弯矩则可写成XX的函数：的函数：的函数：的函数：Q=QQ=Q（X X），），称剪力方程称剪力方程称剪力方程称剪力方程 M=M(x)M=M(x)称弯矩方程称弯矩方程称弯矩方程称弯矩方程3 3处理方法：处理方法：处理方法：处理方法：建立坐标：选定比例，以建立坐标：选定比例，以建立坐标：选定比例，以建立坐标：选定比例，以QQ、MM为纵坐标，横截面位置为

18、横为纵坐标，横截面位置为横为纵坐标，横截面位置为横为纵坐标，横截面位置为横坐标。坐标。坐标。坐标。把方程的图线表示出来得到剪力图、弯矩图。把方程的图线表示出来得到剪力图、弯矩图。把方程的图线表示出来得到剪力图、弯矩图。把方程的图线表示出来得到剪力图、弯矩图。B三、剪力方程与剪力图、弯矩方程与弯矩图三、剪力方程与剪力图、弯矩方程与弯矩图 4 4作图步骤作图步骤 求支座反力；求支座反力；求支座反力；求支座反力；分段：在集中力（包括支座反力）、集中力偶分段：在集中力（包括支座反力）、集中力偶分段：在集中力（包括支座反力）、集中力偶分段：在集中力（包括支座反力）、集中力偶或分布载荷发生变化的地方，将梁

19、成分成若干段；或分布载荷发生变化的地方，将梁成分成若干段；或分布载荷发生变化的地方，将梁成分成若干段；或分布载荷发生变化的地方，将梁成分成若干段；一般假设梁的左端为原点（有时便于计算，也一般假设梁的左端为原点（有时便于计算，也一般假设梁的左端为原点（有时便于计算，也一般假设梁的左端为原点（有时便于计算，也可取右端为原点）；可取右端为原点）；可取右端为原点）；可取右端为原点）；列出各段的剪力方程和弯矩方程；列出各段的剪力方程和弯矩方程；列出各段的剪力方程和弯矩方程；列出各段的剪力方程和弯矩方程；依剪力方程、弯矩方程代入特殊点，求出转折依剪力方程、弯矩方程代入特殊点，求出转折依剪力方程、弯矩方程代

20、入特殊点，求出转折依剪力方程、弯矩方程代入特殊点，求出转折点可画出剪力图，弯矩图；点可画出剪力图，弯矩图；点可画出剪力图，弯矩图；点可画出剪力图，弯矩图；验证验证验证验证|QQmaxmax|、|MMmaxmax|。B（二）（二）在作图时应注意的几点：在作图时应注意的几点：1 1分段的含义：一段上的剪力方程、弯矩方程是独立的。分段的含义：一段上的剪力方程、弯矩方程是独立的。分段的含义：一段上的剪力方程、弯矩方程是独立的。分段的含义：一段上的剪力方程、弯矩方程是独立的。2 2支座反力作用点处所受剪力等于作用本身的含义，理论上该支座反力作用点处所受剪力等于作用本身的含义，理论上该支座反力作用点处所受

21、剪力等于作用本身的含义，理论上该支座反力作用点处所受剪力等于作用本身的含义，理论上该点无剪力存在，但趋近于该点时，其剪力值是等于作用力本点无剪力存在，但趋近于该点时，其剪力值是等于作用力本点无剪力存在，但趋近于该点时，其剪力值是等于作用力本点无剪力存在，但趋近于该点时，其剪力值是等于作用力本身的。身的。身的。身的。3 3集中力作用处剪力突变的含义：这里的剪力似乎无定值，两集中力作用处剪力突变的含义：这里的剪力似乎无定值，两集中力作用处剪力突变的含义：这里的剪力似乎无定值，两集中力作用处剪力突变的含义：这里的剪力似乎无定值，两者的代数差等于集中力的值，这只是一种处理方法者的代数差等于集中力的值，

22、这只是一种处理方法者的代数差等于集中力的值，这只是一种处理方法者的代数差等于集中力的值，这只是一种处理方法实际实际实际实际是一种分布力分布力的剪力图是连续的！是一种分布力分布力的剪力图是连续的！是一种分布力分布力的剪力图是连续的！是一种分布力分布力的剪力图是连续的！4 4集中力偶处弯矩突变的含义也是如此。集中力偶处弯矩突变的含义也是如此。集中力偶处弯矩突变的含义也是如此。集中力偶处弯矩突变的含义也是如此。5 5对对对对2 2，3 3，4 4的处理是列方程时连续区间的划分（取值与连续的处理是列方程时连续区间的划分（取值与连续的处理是列方程时连续区间的划分（取值与连续的处理是列方程时连续区间的划分

23、（取值与连续区间是二种不同的概念）。区间是二种不同的概念）。区间是二种不同的概念）。区间是二种不同的概念）。（三）（三）梁的三种力学模型受外力后的剪力方程与图，梁的三种力学模型受外力后的剪力方程与图，弯矩方程与图弯矩方程与图B简支梁受集中力作用简支梁受集中力作用 解：1.求支座反力：由整体平衡校核无误。2.分段因P作用，内力方程应分AC和CB两段建立。AC段：CB段：简支梁受集中力作用简支梁受集中力作用3.作剪力图和弯矩图：AC段：CB段：结论：在集中力P作用截面，Q图发生突变，突变值等于该集中力P的大小；M图有尖角，尖角的指向与集中力P相同。内力函数的不连续是由于将集中力的作用范围简化为一个

24、点的结果。若考虑集中力为微梁段上的均布荷载，则C截面的 Q图和M图应为斜直线和抛物线。因此，当谈到集中力作用出的剪力时，必须指明是集中力的左侧截面（C左）还是集中力的右侧截面（C右）。简支梁受分布力（均布）简支梁受分布力（均布）q 作用作用解：1.求支座反力利用对称性：简支梁受分布力（均布）q 作用 2.作Q、M图：Q(x)为x的一次函数，Q图为斜直线；作 M(x)为x的二次函数，M图为抛物线；结论：当梁段上有均布荷载q作用时，Q图为斜直线，M图为二次抛物线。作 简支梁受集中力偶作用简支梁受集中力偶作用 解：1.求支座反力、分段：校核无误。AC段：CB段：简支梁受集中力偶作用 2.作Q、M图：

25、AC段：CB段：结论：在集中力偶作用截面，Q图不受影响；M图有突变，突变值等于该集中力偶的力偶矩。（谈弯矩时，必须指明集中力偶作用截面的左侧或者右侧。）悬臂梁受集中力作用解：1.列内力方程：（先确定x坐标，再由直接法求x截面的内力。）悬臂梁受集中力作用 2.作Q、M图：（先取坐标系确定端点坐标，再按内力方程特征绘图。）Q(x)等于常数，为水平线图形；由作剪力图 M(x)等于x的一次函数，为斜直线图形；由作弯矩图 结论：当梁段上没有荷载当梁段上没有荷载q作用时，剪力图作用时，剪力图为水平线，弯矩图为斜直线。为水平线，弯矩图为斜直线。悬臂梁受分布力作用解：1列内力方程即求任意截面的内力。2、剪力图

26、和弯矩图的作法：取平行梁轴的轴线表示截面位置，规定正值的剪力画轴上侧，正值的弯矩画轴下侧；可先列内力方程再作其函数曲线图。如悬臂梁：当x=o,Q(x)=-P,M(x)=0;x=l,Q(x)=-P-ql,M(x)=-Pl-ql2/2.其剪力图和弯矩图如图示。四、剪力、弯矩和分布载荷集度间的关系四、剪力、弯矩和分布载荷集度间的关系从剪力和弯矩图中可否得出什么结论？与外力的关系？从剪力和弯矩图中可否得出什么结论？与外力的关系？这里讨论剪力、弯矩和分布载荷之间的关系。这里讨论剪力、弯矩和分布载荷之间的关系。以简支梁力学模型为例：以简支梁力学模型为例：1 1条件：是条件：是x x的连续函数，载荷向上，（

27、为正值），左端的连续函数，载荷向上，（为正值），左端A A点为点为坐标原点。坐标原点。2 2分析方法：分析方法：从从ABAB上截取上截取dxdx的微段，设左侧为的微段，设左侧为QQ、MM，右侧右侧为为Q+dQQ+dQ，m+dmm+dm，可以认为微段上分布载荷是均匀的。可以认为微段上分布载荷是均匀的。设设C C为右侧截面形心。为右侧截面形心。B微段的平衡方程：微段的平衡方程：略去二阶微量略去二阶微量 则有：则有：剪力图曲线上任一点的斜率等于梁上相剪力图曲线上任一点的斜率等于梁上相 应点处的分布载荷集度应点处的分布载荷集度q q。：弯矩图曲线上任一点的斜率等于梁上相应点处的剪弯矩图曲线上任一点的斜

28、率等于梁上相应点处的剪 力力QQ。B 即为 剪力、弯矩和分布载荷集度之间的 微分关系。B3实际意义 力学意义：微分形式的平衡方程 几何意义：反映内力图的凹凸性 （一阶导数反映切线斜率;二阶导数反映曲线凹凸性。）q=0q=0无分布载荷作用无分布载荷作用集中力集中力偶作用。集中力集中力偶作用。QQ为常数为常数剪力图为水平直线；剪力图为水平直线；MM为为X X的一次函数的一次函数弯矩图为斜直线。弯矩图为斜直线。q=q=常数，均布常数，均布 QQ为为X X的一次函数的一次函数QQ图为一斜直线图为一斜直线 MM为为X X的二次函数的二次函数MM图为二次抛物线。图为二次抛物线。B4应用范围：校核、绘制Q图

29、、M图。B五五 叠加法作剪力图和弯矩图叠加法作剪力图和弯矩图 1 1、叠加原理：、叠加原理：分析图示悬臂梁。分析图示悬臂梁。叠加原理：由几个荷载所引起的反力，内力或其它参数（应力、位移）等于各个荷载单独引起的该参数值相叠加。叠加原理适用条件：参数与荷载成线性关系。即各种荷载对结构产生的效应（即各参数）彼此独立。对静定结构，小变形假设可保证这一点。2、叠加法作剪力图和弯矩图 步骤：1）先把作用在梁上的复杂荷载分解为几组简单荷载单独作用情况；2）分别作出各简单荷载单独作用下梁的剪力图和弯矩图。（各图已知或容易画出，可查表41）3）叠加各内力图上对应的纵坐标代数值，得原梁的内力图。注意：叠加不是图形

30、的拼合，而是将同一截面上的内力值代数相加；是各简单荷载下的内力图在对应点的纵坐标相加。4.3 纯弯曲时梁的正应力及正应力强度条件纯弯曲时梁的正应力及正应力强度条件 纯弯曲的概念纯弯曲的概念 内力分析：剪力、弯矩同时存在（弯曲剪应力和弯曲反应内力分析：剪力、弯矩同时存在（弯曲剪应力和弯曲反应内力分析：剪力、弯矩同时存在（弯曲剪应力和弯曲反应内力分析：剪力、弯矩同时存在（弯曲剪应力和弯曲反应力）。弯曲正应力力）。弯曲正应力力）。弯曲正应力力）。弯曲正应力横截面上最大弯曲正应力横截面上最大弯曲正应力横截面上最大弯曲正应力横截面上最大弯曲正应力建立强度条建立强度条建立强度条建立强度条件件件件梁的强度问

31、题。梁的强度问题。梁的强度问题。梁的强度问题。大力数梁在载荷作用下，横截面上既有剪力，又有弯矩；但大力数梁在载荷作用下，横截面上既有剪力，又有弯矩；但大力数梁在载荷作用下，横截面上既有剪力，又有弯矩；但大力数梁在载荷作用下，横截面上既有剪力，又有弯矩；但有少数梁，其横截面上只有弯矩而无剪力。有少数梁，其横截面上只有弯矩而无剪力。有少数梁，其横截面上只有弯矩而无剪力。有少数梁，其横截面上只有弯矩而无剪力。如图所示：如图所示：如图所示：如图所示：梁梁CDCD只受弯矩作用，而无剪力影响只受弯矩作用，而无剪力影响 这种变形称为纯弯曲。这种变形称为纯弯曲。简化后讨论梁的正应力。简化后讨论梁的正应力。B一

32、、一、梁横截面内任意指定点处的正应力梁横截面内任意指定点处的正应力（一）、变形分析（问题的几何方面）（一）、变形分析（问题的几何方面）1 1研究方法：取相邻二截面，建立坐标系；研究方法：取相邻二截面，建立坐标系；2 2受力变形假设：受力变形假设：平面假设（平面弯曲）：变形后的横截面仍为平面，仍平面假设（平面弯曲）：变形后的横截面仍为平面，仍平面假设（平面弯曲）：变形后的横截面仍为平面，仍平面假设（平面弯曲）：变形后的横截面仍为平面，仍垂直于变形后的轴线，但绕截面内某轴绕了一个角度。垂直于变形后的轴线，但绕截面内某轴绕了一个角度。垂直于变形后的轴线，但绕截面内某轴绕了一个角度。垂直于变形后的轴线

33、，但绕截面内某轴绕了一个角度。单向受力假设：将梁看成是由无数根单向受力假设：将梁看成是由无数根单向受力假设：将梁看成是由无数根单向受力假设：将梁看成是由无数根“纵向纤维纵向纤维纵向纤维纵向纤维”所组所组所组所组成，纤维层之间无拉伸和挤压作用。成，纤维层之间无拉伸和挤压作用。成，纤维层之间无拉伸和挤压作用。成，纤维层之间无拉伸和挤压作用。B3加载后变形的现象：横线仍为直线，且仍与纵线正交，但横线间不再平横线仍为直线，且仍与纵线正交，但横线间不再平行，彼此相对转动；行，彼此相对转动；纵线变成弧线，上部纵线变成弧线，上部efef缩短，下部缩短，下部efef伸长，中心线伸长，中心线不变（中性层、中性轴

34、）；不变（中性层、中性轴）；梁截面高度不变，实际为体积不变，在纵线的伸长梁截面高度不变，实际为体积不变，在纵线的伸长区，梁的宽度减小，纵线缩短区，宽度增大。区，梁的宽度减小，纵线缩短区，宽度增大。B4 4变形几何分析：变形几何分析：abab总伸长总伸长=变弯后中性层横截面处的曲率半径变弯后中性层横截面处的曲率半径 纵向线应变：纵向线应变：有有 横截面上的各点纵向线应变沿截面高度的变化规律。横截面上的各点纵向线应变沿截面高度的变化规律。曲率曲率 就是横截面在梁弯曲时所发生的相对转角就是横截面在梁弯曲时所发生的相对转角 。结论：结论：与与y y成正比。成正比。（y y为该点到中性轴的距离）为该点到

35、中性轴的距离）B （二）正应力分布规律（问题的物理方面）在正应力不超过材料比例极限在正应力不超过材料比例极限 条件下，服从虎条件下，服从虎克定律：克定律：代入虎克定律公式：代入虎克定律公式：含义：梁在弯曲时，其横截面上任一点的正含义：梁在弯曲时，其横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离成正比，距中性轴同一应力与该点到中性轴的距离成正比，距中性轴同一高度上各点的正应力具有相同的数值。高度上各点的正应力具有相同的数值。中性轴以下各点：y为正拉应力为正；中性轴以上各点：y为负压应力为负。B（三）曲率的计算与正应力计算公式 已知梁的外力已知梁的外力求横截面上的弯矩求横截面上的弯矩求正应求正应力，而

36、力，而 较难求出。找出较难求出。找出 与弯距与弯距MM的关系。的关系。形成横截面的无数微面积形成横截面的无数微面积dAdA上所作用着的力上所作用着的力 对中性轴所构成的合力矩就是该截面的弯矩对中性轴所构成的合力矩就是该截面的弯矩MM。有有 则则B 把把 称横截面对中性轴的轴惯性矩，称横截面对中性轴的轴惯性矩，用用 表示表示截面几何量（与形状和尺寸有关），截面几何量（与形状和尺寸有关），单位单位mm4 4，mmmm4 4。曲率的计算公式曲率的计算公式 含义：梁弯曲时，相对转角越大，梁弯曲时，相对转角越大，MM越大；越大；弯曲变形越大，产生的内力（弯矩）也越大。弯曲变形越大，产生的内力（弯矩）也越

37、大。截面转动与截面内力之间的关系。截面转动与截面内力之间的关系。B弯矩与正应力之间的关系：弯矩与正应力之间的关系：将将 代入代入 有：有：应用条件：应用条件：材料要服从虎克定律（建立在虎克定律的基础上的）。材料要服从虎克定律（建立在虎克定律的基础上的）。横截面上最大正应力（绝对值）：横截面上最大正应力（绝对值）：令令 横截面上最外边缘上的点到中性轴的距离。横截面上最外边缘上的点到中性轴的距离。则则 WWZ Z 横截面上对中性轴横截面上对中性轴I I的抗弯截面模量。的抗弯截面模量。（单位：（单位：mm3 3或或mmmm3 3)B若横截面不对称于中性轴若横截面不对称于中性轴将有二个抗弯截面将有二个

38、抗弯截面模量。量。二个相应的最大弯曲正应力二个相应的最大弯曲正应力 对于剪切弯曲，只要梁的对于剪切弯曲，只要梁的 l/h 5l/h 5可应用。可应用。B（四（四）截面的截面的I IZ Z和和WWZ Z 新的截面几何量：新的截面几何量：I IZ Z和和WWZ Z几何性质。几何性质。与面积的功能不同：与面积的功能不同：面积面积抗拉能力的强弱抗拉能力的强弱同面同面积抗拉能力一样。积抗拉能力一样。I IZ Z、WWZ Z抗弯能力的大小抗弯能力的大小同面积而抗弯能力同面积而抗弯能力可能有很大差异！可能有很大差异！从从 和和 中可看出：中可看出：M M相同，但相同，但I IZ Z、WWZ Z不同，会产生不

39、同的正应力；不同，会产生不同的正应力；选择梁的截面形状和尺寸时，应具有较大的选择梁的截面形状和尺寸时，应具有较大的I IZ Z和和WWZ Z。表表4-2 4-2 常用截面的几何性质常用截面的几何性质B 求矩形截面对其对称轴的惯性矩。解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则：取微面积dA=hdz,则：求圆形截面对其形心轴的惯性矩。解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：一、静矩：一、静矩：性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；二、极惯性矩：实心圆截面：空心圆截面：三、惯性矩：四、惯性积：矩形截面：圆形截面：几何关系：五、平行移轴公式：二、正应力的强度条件二、正应力的强度条

40、件 剪切弯曲时，弯矩最大的横截面是梁的危险截面，剪切弯曲时，弯矩最大的横截面是梁的危险截面，为保证安全，最大工作应力为保证安全，最大工作应力 不能超过材料的许用不能超过材料的许用弯曲应力：弯曲应力：B是许用弯曲应力是许用弯曲应力 一般取许用拉（压）应力作为许用弯曲应力，或稍高（设计规范）。三、梁的合理截面三、梁的合理截面 梁的跨长一定，截荷一定梁的跨长一定，截荷一定梁危险截面上产生的梁危险截面上产生的最大弯矩最大弯矩一一定定与截面形状无关与截面形状无关。但但截面形状不同截面形状不同，所，所承受的最大弯矩承受的最大弯矩不一样。不一样。M=W M=W 形状形状不同：不同：WW不同，则不同，则 MM

41、不同。不同。B四、提高弯曲强度的主要措施四、提高弯曲强度的主要措施 当梁的作用弯曲应力确定后，梁的强度与横截的形状和尺寸、当梁的作用弯曲应力确定后，梁的强度与横截的形状和尺寸、以及外力引起的最大弯矩有关。以及外力引起的最大弯矩有关。1 1选择合理的截面形状选择合理的截面形状选择合理的截面形状选择合理的截面形状：在较小面积的条件下获得较大在较小面积的条件下获得较大WW；2 2采用等强度梁和变截面梁采用等强度梁和变截面梁采用等强度梁和变截面梁采用等强度梁和变截面梁汽车板弹簧、阶梯轴等；汽车板弹簧、阶梯轴等；3 3改善梁的受力情况改善梁的受力情况改善梁的受力情况改善梁的受力情况合理安排加截方式和支座

42、布置，以合理安排加截方式和支座布置，以尽量减少梁内的最大弯矩值。尽量减少梁内的最大弯矩值。B4.4 直梁弯曲时的剪应力 剪切弯曲：弯矩、剪力剪切弯曲：弯矩、剪力剪应力分布规律剪应力分布规律=介绍常见截面的剪介绍常见截面的剪应力计算公式。应力计算公式。特点：剪应力比正应力小的多特点：剪应力比正应力小的多非薄壁截面梁剪切弯曲的强非薄壁截面梁剪切弯曲的强度可以只按正应力计算。度可以只按正应力计算。一、一、矩形截面梁矩形截面梁 矩形截面梁横截面上的剪应力矩形截面梁横截面上的剪应力 是沿高度按二次抛物线规律是沿高度按二次抛物线规律变化的。变化的。I IZ Z横面对工轴的轴惯性矩。横面对工轴的轴惯性矩。Q

43、Q横截面上的剪力。横截面上的剪力。yy点距中性轴的距离。点距中性轴的距离。Y=0Y=0时，时，最大（中性轴处最大（中性轴处 最大）最大）B=为平均剪应力的为平均剪应力的1.51.5倍（该截面上）倍（该截面上）二、工字形截面梁二、工字形截面梁：S S2 2是半个工字形截面（以是半个工字形截面（以I I梁为分界）对梁为分界）对I I轴的静矩。轴的静矩。三、环形截面梁三、环形截面梁四、实心圆截面梁四、实心圆截面梁B4.5 4.5 梁的变形梁的变形梁弯曲时的梁弯曲时的 位移位移关于变形关于变形关于变形关于变形 梁的变形：弯矩的产生；正应力分布规律；变形本身梁的变形：弯矩的产生；正应力分布规律；变形本身

44、梁的变形：弯矩的产生；正应力分布规律；变形本身梁的变形：弯矩的产生；正应力分布规律；变形本身 横截面位置发生的变化横截面位置发生的变化横截面位置发生的变化横截面位置发生的变化=同一截面在弯曲前后自身的变化同一截面在弯曲前后自身的变化同一截面在弯曲前后自身的变化同一截面在弯曲前后自身的变化 =梁的挠度和转角。梁的挠度和转角。梁的挠度和转角。梁的挠度和转角。一、一、一、一、梁的挠度和转角梁的挠度和转角梁的挠度和转角梁的挠度和转角 梁变形特点：梁变形特点：梁变形特点：梁变形特点：1.1.1.1.各个横截面都发生了绕各自中性轴的转动，转过的角度各个横截面都发生了绕各自中性轴的转动，转过的角度各个横截面

45、都发生了绕各自中性轴的转动，转过的角度各个横截面都发生了绕各自中性轴的转动，转过的角度称称称称截面的转角。截面的转角。截面的转角。截面的转角。正是由不同截面不同的转角导致梁由直变弯正是由不同截面不同的转角导致梁由直变弯正是由不同截面不同的转角导致梁由直变弯正是由不同截面不同的转角导致梁由直变弯。2.2.2.2.各个横截面的形心出现程度不同的位移，变形小，位移可用各个横截面的形心出现程度不同的位移，变形小，位移可用各个横截面的形心出现程度不同的位移，变形小，位移可用各个横截面的形心出现程度不同的位移，变形小，位移可用该点的横向位移来代替（垂直于变形前梁的轴线方向）该点的横向位移来代替（垂直于变形

46、前梁的轴线方向）该点的横向位移来代替（垂直于变形前梁的轴线方向）该点的横向位移来代替（垂直于变形前梁的轴线方向）称它为梁在该截面的挠度称它为梁在该截面的挠度称它为梁在该截面的挠度称它为梁在该截面的挠度。B二、梁的弹性曲线挠曲线的近似微分方程 （表（表4-44-4）变形前：变形前：变形前：变形前：ABAB为一直线为一直线为一直线为一直线变形后：弯成一条连续变形后：弯成一条连续变形后：弯成一条连续变形后：弯成一条连续 而光滑的平面曲线。而光滑的平面曲线。而光滑的平面曲线。而光滑的平面曲线。称为梁的弹性曲线或挠曲线。称为梁的弹性曲线或挠曲线。称为梁的弹性曲线或挠曲线。称为梁的弹性曲线或挠曲线。直角坐

47、标系的建立：曲线上任一点的纵坐标就是梁在该截面直角坐标系的建立：曲线上任一点的纵坐标就是梁在该截面直角坐标系的建立：曲线上任一点的纵坐标就是梁在该截面直角坐标系的建立：曲线上任一点的纵坐标就是梁在该截面 的的的的挠度挠度挠度挠度。曲线上任一点的切线与曲线上任一点的切线与曲线上任一点的切线与曲线上任一点的切线与XX轴的夹角为该点所表示截面的轴的夹角为该点所表示截面的轴的夹角为该点所表示截面的轴的夹角为该点所表示截面的转角转角转角转角。曲线方程：曲线方程：曲线方程：曲线方程：y=f(x)y=f(x)，X-Y X-Y关系得出关系得出关系得出关系得出XX为任意值时的为任意值时的为任意值时的为任意值时的

48、Y Y（挠度）挠度）挠度）挠度）。求出转角。求出转角。求出转角。求出转角。B忽略剪力对梁变形的影响，则工程中常用的细长梁的变形BB 由所选坐标系和M的符号规定，取式中的负号。则得梁的挠曲线近似微分方程：uu求弯曲变形的积分法和叠加法 等直梁：等直梁：EIEI为截面常数为截面常数转角方程：转角方程：挠度方程：挠度方程：积分常数积分常数C C、DD可利用梁上某些截面的已知变形情况可利用梁上某些截面的已知变形情况来确定，来确定，边界条件如：边界条件如：悬臂梁：悬臂梁：B求弯曲变形的积分法和叠加法求弯曲变形的积分法和叠加法但当但当m(x)m(x)必须分段建立时，挠曲线近似微分方程边应必须分段建立时，挠

49、曲线近似微分方程边应分段建立。则出现两个积分常数分段建立。则出现两个积分常数依变形边界条件，依变形边界条件，分段处梁变形的连续、光滑条件来确定。分段处梁变形的连续、光滑条件来确定。边界条件：边界条件：连续条件：连续条件：光滑条件：光滑条件：B 叠加法计算梁的位移 1、叠加原理：在弹性小变形范围内所求物理量（反力、内力、变形等）均与梁上荷载成线性关系，在这种情况下，几项荷载同时作用产生的效应与每一项荷载单独作用效应的代数和相等。2、叠加法计算步骤：分解荷载(为每一荷载单独作用情况)；分别计算各荷载单独作用时梁的变形(对应截面的挠度和转角可分别查梁的变形表确定，教材表4-4)；叠加得最后结果(同一

50、平面内荷载产生的变形代数相加，否则应该几何相加)。例：求图示简支梁的最大挠度和转角。梁的EI=常数,ab。解：=+例3-4:求图示悬臂梁自由端的转角和挠度，梁的EI为常数。解：（1）建弯矩方程，列挠曲线微分方程：（2）将微分方程积分得：（3）当x=0时，A=0,得C=0；当x=0时，yA=0,得D=0;所以转角方程为：挠度方程为：（4）求转角 挠度 得：例3-5：等截面外伸梁如图，试求C截面的挠度，梁的EI为常数。解：分解梁为AB、BC两段：例3-6 等截面悬臂梁如图，试求C截面的挠度，梁的EI为常数。解：分解荷载为1、2两种情况：三、三、梁的刚度校核梁的刚度校核 强度与刚度是不同的概念强度与